2021~2022學(xué)年度常州市高三數(shù)學(xué)期中試卷

2323常市育會業(yè)平測高數(shù)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試指定位置上2答選擇題出每小答案后鉛把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題題共小題，小題5，共分.每小題給出的四個項中，只有一項是符合題目要的1．已知集合

Ax

(CA)R

A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】

，則或x，CAR(A)BR2．已知數(shù)列

n

項和為，a，an

，則

A．

274

B．

94

C．

278

D．

98【答案】【解析】

n

時，

a

，a

，，

a19n.a，，，a，選D.a8n3．已知角A是ABC內(nèi)角，則“

A=

22

π”是“=”的4A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件【答案】

D．既不充分又不必要條件1

D．D．【解析】

22

，

A

是

的內(nèi)角，

3或，不可以得到4

.A

是的不充分條件，時sin.4“sinA

”是“”的必要條件.4．某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名，生20名男生中有20名團(tuán)，女生中有12名團(tuán)員.在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選的是男生的概率是A．

B．

58

C．

4355

D．

47【答案】【解析】設(shè)“選到團(tuán)員”為A，

3255

.設(shè)“選到男生”為，P(B

3555

，20(，PB|)55

(AB)()328

.5已知函數(shù)

,xfxx2x

.

x,,x3

是方程

f(x)

的四個互不相等的解，則

x

的取值范圍是A．

[6,

B．

(

C．

14

14,2

【答案】【解析】

xx，ln()ln()412

，2

12112321211232))2

，

2

，

，1x,xe1

.x4

，選D.6．已知

)

2021

01

2021

2021

，則

aa122223

a202122021A．

B．

C．0

D．2【答案】【解析】x，1；x

1時，02222

a222

2021

，選B.7．已知函數(shù)

f()2

(n

*

)

，則

ff(2)

A．5100【答案】

B．5150C．5200

D．5250【解析】

ff(2)f(3)

ff(2)f(4)(6)

f(98)f(100)22

2

198

252

，選A.8．若過點(diǎn)

(a,)

可以作曲線

lnx

的兩條切線，則3

A．

ba

B．

b

C．

D．

【答案】【解析】

blna時，過(,b)可作y

的兩條切線，此時

0

，選C.二、選擇題本題共4題，每小題分，共20分在每小給出的選項中，有項符合題目要求.全部對的得5分部分選對的分，有錯的得0分.9．已知隨機(jī)變量服從正分布N)，則A．隨機(jī)變量

X

的均值為10

B．隨機(jī)變量

X

的方差為10C．

(X

12

D．

X20)【答案】ACD【解析】隨機(jī)變量的均值10，方差為100，A對，B錯.(

)

，C對.11(X(X，P(X20)(X2

，0)(選ACD.

，D對.10．已知關(guān)于的不等式

ae

bx的解集為(，則A．

a

B．

b

C．

D．

a【答案】BCD【解析】比x變的快，

ae

的解集為(，，A錯方程a

bx的兩根，

，a

，4

TTab(e2)3ac2

，B對，C對.aa)(e3

1(e)(e3

222113e3e3選BCD.

，D對.11知等比數(shù)列

n

前

項之積為

T

滿足

0

a

a

，a2020a2021

，則A．

qB．

a

a

C．

T

的值是中最小的D．使

T

成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為4039【答案】ABD【解析】法：a2020，a或0，a2021

.又

，

，

a，q2021a2020

，A對.

，則

02020

a

，B對.Ta.

，

T2021，T2021202120202020

，C錯.T

a2

a4038

)

(a

)

20202020

aa20202020

.4040

a12

a40394040

aa1

)(aa2

)(a20202021

)a20202021

)

，5

中n

max

，D對.選ABD.法二：20212020

240391

可知正確；又

a2020a2021

，則有

，所以

a2019

2021

22020

，B正確.

，

，C錯誤.易知

Tn1

(

，即

aq

，只需

n2

2019即可，得n，D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)

f(xsinaxsinx，其中a且a則A．B．

f()f()

為奇函數(shù)為周期函數(shù)C．若

0

，則

f(x

在區(qū)間

(0,)

上單調(diào)遞增D．若

0，則f(

在區(qū)間)沒有零點(diǎn)【答案】AC【解析】法：f()sin())sinx()

，f(x

為奇函數(shù)，A對.對于B，取

，

f(sin

x

，g(x)sinx期為T

h(x)sin

周期為

T

，2,2

兩者沒有最小公倍數(shù)，故此時

f(x

不為周期函數(shù).

，f

cos(coscos)

，0時，axcosaxx，(coscosx

，f

在

)

恒成立，f(

在

)

，6

遞增，在遞增，在當(dāng)即

f(2asina1時，f(，2

，即

a

，此時

f()

在

)

有零點(diǎn)，D錯.法二：由

f()axsinx()

，可知

f()

為奇函數(shù)，A正確；對于B，假設(shè)

f()

是周期函數(shù)，則有

f(x)(),

，即

sinsinxsin

，取x得sin

，取

，sin(2sin

取

得sinsin(2)可知

sin(2)cos2sin所以

sincos2sin，得sin，則

（Z且k）.又有

，得

m

（

Z

且

以

.故有

，即

Q與為無理數(shù)矛盾，則

f()

不是周期函數(shù).有

fcoscosxsin

1

，由

，有0

1x，，22所以

f，則f)在(0,增，C正確.當(dāng)

時，有

，可知

f

時，x，1所以

f

在

0,

1

1

,2

遞減.則

f)f或f)f(0)

，若

，則有

f(

；若

12

，則f(2sin(2a

，7

111111又

f

f，可知f(x

有1個零點(diǎn)，D錯誤.故選：AC.三、填空題本題共4小題每小題5，共20分13一個直角三角形的三條邊的長度成等差數(shù)列則該直角三角形的內(nèi)角最小角的余弦值是__________.4【答案】5【解析】直角三角形三條邊成等差數(shù)列，三條邊為

,4a

4，最小角余弦.514．已知為銳角，且滿足11【答案】5

則tan值__________.【解析】

tan12

4tan

，tan2

4tan

tan2

，2

14tan2

，tan

1111

，2211011

115

.15正方體

ABCDABCD11

的棱長為2，點(diǎn)為段AC的中點(diǎn)，三棱錐的積為__________，過點(diǎn)且垂于的平面與底面的交線長為__________.2【答案】；3

【解析】

O

為

中點(diǎn)，

O

到平面

ABC

距離

d

，

11233

.A面CBD，取AD中點(diǎn)E取中點(diǎn)F，則OED，BD11

，8

OEF

平面BD，AC平面OEF，1又平面

OEF

與平面

交于

12

BD

.16．已知函數(shù)

fx)(

4lnx

，對于任意x，)

恒成立，則整數(shù)的最大值為__________.【答案】

0【解析】法：f)

2

e

x

x

x2ln，令x,t

，

對

R

，

tt

恒成立.令

g()t

，

gtt

，

g(t

min

(ln2

，a2ln2

，

a

，amax

.取

，有

a

，下證：

a

max

.即證

f(，易：e

x(

，所以

fx)x

2

4ln(x)

，有

g

2

42(x2xx

，所以

g()在遞減，在(1,增，則

gx)，故f()

，得證.所以

a

max

.法二：取

，有

a

，下證：

a

max

.即證

f(

，易證：

exx0)

，所以

f)(224lnx(x)

，有

2(x1)(3x2x2x

2)

，所以

g()

在

(0,1)

遞減，在

(1,

遞增，則有

gx)

，故

f()

，得證.所以

a

max

.四、解答題本題共6小題共70分答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17分）為了解觀眾對球類體節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾行調(diào)查.下面9

是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看球類育節(jié)目時間的頻率分布直方圖、日均收看球類體育節(jié)目時間超過40分鐘的觀眾稱為“球迷

列聯(lián)表（將性別

非球迷

球迷

合計男女合計（1）根據(jù)已知條件完成上圖的2聯(lián)表；（2）據(jù)此資料，是否有的把握認(rèn)為“球迷”與性別有關(guān)？

20

110200附：

2

n(ad)2()()(b)

（其中

n

）.臨界值表：(20

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）列聯(lián)表如下：（2）

2

性別非球迷球迷男6030女9020合計15050200(6090)29011050

合計90110200，故有的把握認(rèn)為“球”與性別有關(guān).18分）設(shè)ABC的內(nèi)角A,C

的對邊分別為

，且滿足

bAB

，點(diǎn)

為邊

上一點(diǎn)，

AC

.（1）求的大?。唬?）若AC，AD求.【解析】（1）法一：

Bsin2B2AcosAsinAcos，A.3（2）

AC

，

，CD

，

sinADC

43，ADC5

.44sinBAD)55

AB33)AB3

.法二：（1）因為

bsin2

，所以

2bcossin

，由正弦定理

aB

得，

baA

.因為

ab

，所以

，即

A

12

，又因為

(0,

，所以

23

.（2）因為ADAC，所以

π

2π，又因為，所以BAD，3在直角ACD中，AC，AD所以CD，所以

sinsin(ADB)sin

45

.在ABD中，由正弦定理

BDBAD

，得

BD

sinBADcsinADB42

，

22在ABC中，由弦定理

abccos

，得

15c2282

.解得

c

24324323或（舍以13

.1912分如

ABCDACD1

中是B，平面ADDA面，平面BA面1111（1）求證：面；（若二面

BB

π的小為，棱臺6ABCDCD11【解析】法一：

的高.（1）過

分別作

M

于點(diǎn)

M

，

AB

于點(diǎn)

，平面

ADDA

平面

面

ADA

平面

AM

平面

，同理由平面

B

平面

可得

N

平面

，M

與

N

重合N

兩點(diǎn)重合于點(diǎn)

A

，即

平面

.（2）易知DA面，過作

AQBB

于點(diǎn)

，連接

DQ

，則為所求二面角的平面角，

AD

，設(shè)

，AQ

2h1

，tanAQD

12

33

.1

故高為

.法二：（1）四邊形ABCD是形，所以又因為平面

ABBA面ABCD平面A11

平面ABCDAB，BC平面，所以BC平面B1

.又因為面ABBA，所以BC

，同理可得

DCAA

.又因為

BCCD平面，CD所以AA面）在四棱臺

ABCDACD1

中，由（1知平面ABCD，所以是四棱臺ABCDCD的高，設(shè)AA.111面，又90,AA立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz點(diǎn)(0,0,0)(2,0,0)h(0,1,0)而BB)

，BD

.設(shè)平面

BBD

的法向量為

nxyz)

，則

0,

即

0,可得平面BB的一個法向量為

hh,1)

.由（1）中BC面B知平面ABB的一個法向量為BC(0,1,0)1所以

BC

BC

cos

π2h3，即522

，解得

，則四棱臺

ABCDABCD11

的高為

.20分）已知數(shù)列

n

，且nn

n

n且n*（1）設(shè)

bn

an2

，是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出值否則，n說明理由；（2）求

n

項和S.【解析】

niinii（1）若

n

列，則

n，bn

n

an2

2ann22

為常數(shù)，1

，

.（2）由（1）知

an2n

差數(shù)列且首項為2，公差為1.an，a2n

n

(n

.記

項和為

.Tn

n

n

①Tn

2

n

n

n

n

②①②n

2

3

n

n

4(1n1

)

n

n

n

n

n

n

n

.Snnn

.21分）全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽活動旨在通過競賽的方式，培養(yǎng)中學(xué)生對于數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生愛好數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的鉆研神，獨(dú)立思考精神以及合作精神.現(xiàn)有同甲、乙二人積極準(zhǔn)備參加校數(shù)學(xué)競賽選拔，在5模擬訓(xùn)練中，這兩位同學(xué)的成績?nèi)缦卤?，假設(shè)甲、乙二人每次訓(xùn)練成績相互獨(dú)立.甲乙

第1次8690

第2次9286

第3次8789

第4次8988

第5次8687（1）從5次訓(xùn)練中隨機(jī)選取1次，求甲的成績高于乙的成績的概率；（2）從5訓(xùn)練中隨機(jī)選取2次，用X

表示甲的成績高于乙的成績的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)信息，你認(rèn)為誰在選拔中更具競爭力，并說明理由（注：樣本數(shù)據(jù)

，

的方差

1ns(x)ni

2

，其中

1nxni

）【解析】

22法一：（1）5次中，甲成績高于乙成績的次數(shù)為2次，故概率為

25

.（2）5次訓(xùn)練中，甲成績高于乙的有2次，低于乙的有3次，X

的所有可能取值為

，(X

2C3，P(X23210255

，

C1(XC10

，

的分布列為X

012

310

35

110314X55

.或由

XH(2,2,5)

的超幾何分布，

X

nM4N

（秒殺）.（3）5次訓(xùn)練中甲的平均分

15

928786)88

，方差為

2

15

88)

(922(8788)288)2(86

265

，乙的平均分

1(908687)5

，乙的方差為

2

15

2(8688)222(87

，x，S1

22

，乙在選拔中更有競爭力.法二：（1）記“甲的成績高于乙的成績”為事件，從5訓(xùn)練中隨機(jī)選取1次，有5個等可能基本事件，其中甲的成績高于乙的成績的有2個所以2答的成績高于乙的成績”的概率為.5

(

25

，

5555（2）

的可能取值為

.339232(，(，(X555

，所以，

的分布列為X

012

925

1225

425答：

X

的數(shù)學(xué)期望

X)

9