7-3-2 離散型隨機變量的方差教案

7.3.2離散型機變量的方差學設計課題

離散型隨機變量的方差

單元

第七單元

學科

數(shù)學

年級

高二教材分析教學目標與核心素養(yǎng)重點難點

本節(jié)內(nèi)容主要是離散型隨機變量的方差生活中的實際情景導入學習求解離散型隨機變量的方差的方法，并使用其解決一些實際問.1、數(shù)學抽象：利用生活中的實問題，為了比較隨機變量取值的離散程度，引入方差的概念及計算方法；2、邏輯推理：通過導入及課堂究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；3、數(shù)學建模：掌握離散型隨機量方差的一般求解過程，利用其解決實際問題；4、數(shù)學運算：能夠正確列出隨變量的分布列，并計算方差；5、數(shù)學分析：通過經(jīng)歷提出問—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密.掌握離散型隨機變量方差的計.利用離散型隨機變量的方差，解決一些實際問.教學過程教學環(huán)節(jié)導入新課

教師活動新知導入：情景一：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下兩表所示：如何評價這兩名同學的射擊水平？E(X)=;E(Y)=8因為兩個均值相，所以均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平。射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和的概率分布圖：

學生活動學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。

設計意圖設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。

2222發(fā)現(xiàn)乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的設計成績更穩(wěn)定。思考：我們?nèi)绾味靠坍嬰S機變量取值的離散程度？則稱)()(1??????∑????=1

2

??為隨機變量X的方差，有時也記為（X）并√為機變量X的準差，記。講授新課

新知講解：隨機變量的方差和標準差都可以度量隨學根據(jù)情境機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變問，探究離量取值的離散程度，方差或標準差越小，隨機變量散隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取的差值越分散。因此，可以用兩名同學射擊成績的方差和標準差來

利用情境問題，探究離散型隨機變量的方差，培養(yǎng)學生探索的精神

D(X)刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學射擊成績的方差和標準差分別為D(X))iP))1.077;i(YP(Y0.92,Y)i因為等價地，)，所以隨機變量Y的值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定。思考：方差的計算可以簡化嗎？D)

n

(x())i

2

ii

(xi

E()(i

)piii

pE())i

i(X2)E(X))思考離型隨機變量X加一個常數(shù)方會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)差又有怎樣的變化？它們和期望的性質有什么不同？離散型隨機變量X加一個常數(shù)b僅X的值產(chǎn)生一個平移不變X與均值的散程度方倍，即差保持不變D(X+b)=離型隨機變量X乘一常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2D(aX)=aD(X)，因此D(X)例題講解：例：拋擲一枚質地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)的方差。解：隨機變量X的分列為P(X=k)=1/6,k=1,2,3,4,5,6

利用例題引導學生掌握并靈

加深學生對基礎知識的掌握，并

,62176,6217626212因為)

72

活運用離散型

能夠靈活運用基1∑22222226

隨機變量的方差解決實際相

礎知識解決具體問題??=1所以∑()??=1例：投資、兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和2所：

關問題收益X/元概率

-10.1

00.3

20.6收益X/元概率

00.3

10.4

20.3（）資哪種股票的期望收益大？（）資哪種股票的風險較高？解：(1)股票A和票投收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因為所投資股票的期望收益較大。（）票A和股票投收益的方差分別D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為和E(Y)相不大，且D(X)>D(Y),所以資股票比資票B的險。例3:A、兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：次品數(shù)ξ

1

0123

22概率P0.70.20.060.04次品數(shù)ξ

0123概率P0.80.060.040.10問哪一臺機床加工質量較好？解：ξ=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,1ξ=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.2它們的期望相同，再比較它們的方差Dξ2×0.7+(1-0.44)21×0.06+(3-0.44)×0.04=0.6064,Dξ2×0.8+(1-0.44)22×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴ξξ

故機加較定量較.例4：有甲、乙兩個單位都愿意用你，而你能獲得如下信息：根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：E(X1)=1200×××0.2+1800×0.1=1400E(X2)=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400×+(1600-1400××0.1=40000D(X2)=(1000-1400)20.××+(2200-1400×0.l=160000因為E(X1)=E(X2),，以兩家單位的

工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位．利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟：(1)比較均值．在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．(2)在均值相等或接近的情況下算方.分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn).(3)得出結論．依據(jù)均值和方差做出判.課堂練習：已知隨變量x的布列為

通過課堂練習，檢驗學生對本節(jié)課知識點的掌握程度，同時加深學生對本節(jié)課知識點的掌握及運用

通過練習，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數(shù)學的探索精神。則Ex與Dx的為D)(A)0.6和0.7(B)1.7和0.3(C)0.3和0.7(D)1.7和0.212.甲、乙兩種冬小麥試驗品種連5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位）表所：則其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種___種．3．已知某運動員投籃命中率p求次投籃命中次數(shù)X的期望與方差；解：投籃一次命中次數(shù)X的布列為

則＝×0.4×0.6=0.6，D(X)＝－×＋－×＝隨變量ξ的取值為

，若，E(ξ，D(ξ)=__0.4__；5.甲乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等．而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的值和方差為：1E(ξ＝×＋×0.3＋×＋×＝1D(ξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2＋－11.3)2×＋－1.3)2×＝乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)ξ的值方差為：2E(ξ＝×＋×0.5＋×＝2D(ξ＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2＋－21.3)2×＝E(ξ＝E(ξ)，ξξ1212所以甲保護區(qū)的管理水平低于乙保護區(qū)的管理水平6.已隨機變量X的布列為另一隨機變量Y=2X-3，，D(Y)解：∵×0.1+2×0.2+3×0.4+4

72311723111222∴∵××0.2+(3-3)2×××0.1=1.2∴D(Y)=22x×拓展提高：7．某投資公司在2019年初準備將1000萬投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一源車據(jù)場調研到該項目上，到年底可能獲利也可能虧損15%且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項目二：通信設據(jù)場調研投資到該項目上，到年底可能獲利可能損失也能不賠不賺這種情況發(fā)生的概率分別為和針5315以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由解：若按“項目一”投資，設獲利為X萬則X的分布列為

1X

1

300

-150P

所以E(X)=300××萬)若按“項目二”投資，設獲利X萬.則X的分布列為X

2

500

-300

0P

15所以E(X×3/5+(××萬

1212123512121235535D(X)=(300

×

×2/9=35000D(X)=(5002

×2

×2×1/15=140000所以E(X＝E(X，)<D(X，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥綜所述，建議該投資公選擇項目一投8.隨互聯(lián)網(wǎng)金融的發(fā)展多臺都推出了自己的虛擬信用支付，比較常用的有螞蟻花唄、京東白條花與信用卡有一個共同點就是可以透支消費，對于很多90后說，他們更習慣提前消.某究機構隨機抽取了1000名90后對他們的信用支付方式進行了調查，得到如下統(tǒng)計表：每個人都僅使用一種信用支付方式，各人支付方式相互獨立，以頻率估計概.（）計90后使用螞蟻花唄的概率；（）所抽取的人用分層抽樣的方法在使用銀行信用卡和螞蟻花唄的人中隨機抽取8人，再在這8人隨機抽取4人X為中使用螞蟻花唄的人數(shù)，求X的布列及數(shù)學期望和方解：（）所以使用螞蟻花唄的概率為500/1000=0.5（）這8人中使用信用卡的數(shù)為8×人螞蟻花唄的人數(shù)為人則隨機變量X的取值為12，，4344883343)441488則的布列為

X

1234P

114

37

37

114所以

)

鏈接高考：9（浙高考真題）設0<p<1隨機變量的分布列如圖，則當p在0,1)內(nèi)大時D)X

0

1

2P

D(X)減C.D(X)先小后增大

B.D(X)大D.先增大后減小10（湖高考真題（理袋中有個小相同的球其記上0號有10個記n號有n個n=1,2,3,4).從袋中任取一個球ξ表示所取球的標號(1)求ξ的分布列、期望和方;(2)若ηξηη試a,b的值解：(1)ξ的分布列為：ξ0

1

2

3

4P

所以E(X)=0×1/2+1×1/20+2×1/10+3×3/20+4×1/5=1.5D(X)=(0×1/2+(12×1/20+(2?1.5)2×1/10+(3

?1.5)×3/20+(4?1.5)×1/5=2.75(2)由D(η2D(ξ，a2x2.75=，得a=±2，又η)=aE(ξ，以當時由1=2x1.5+b得b=-