線性代數復習課件

線性代數與空間解析幾何復習課件第一章矩陣及其初等變換1.1

矩陣及其運算1.2

矩陣的初等變換1.3

逆矩陣1.4

分塊矩陣一、矩陣的概念

2.幾類特殊矩陣：

二、矩陣的運算

1.線性運算：

（即滿足交換律、結合律、分配率）2.矩陣的乘法：

3.方陣的冪：

4.矩陣的轉置：

三、高斯消元法

行階梯形

四、矩陣的初等變換

交換兩行（列）的位置；用一非零數乘某一行（列）的所有元；把矩陣的某一行（列）的適當倍數加到另一行（列）上去.定理

對矩陣A作一次行（列）初等變換，相當于在A的左（右）邊乘上相應的初等矩陣.

五、矩陣的逆

設A為n階矩陣，若存在n階矩陣B，使得

AB=BA=I,

則稱A為可逆矩陣，B為A的逆矩陣，記為A-1=B.1.定義：

2.性質：

（設A、B是n階可逆矩陣，數λ≠0）(1)A-1可逆，且(A-1)-1=A;(2)λA可逆，且(λA)-1=(1/λ)A-1;(3)AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1;(4)AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T;(5)Ak可逆，且(Ak)-1=(A-1)k;(6)|A-1|=|A|-1;3.矩陣可逆的條件：

3.等價矩陣：

六、分塊矩陣第二章行列式2.1n階行列式的定義2.2行列式的性質與計算2.3拉普拉斯展開定理2.4克萊默法則2.5矩陣的秩一、n階行列式的定義１.二、三階行列式：

對角線法則二階與三階行列式的計算２.n階行列式的定義：

二、行列式的性質與計算１.行列式的性質：

(1)行列式與它的轉置行列式相等；(2)互換行列式的兩行（列）,行列式變號；如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零；(4)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式；(5)行列式中如果有某行（列）元素都為零，則此行列式為零；(7)若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，則行列式可化為兩個行列式之和；(8)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變；(6)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零；

行列式性質小結：

2.三類初等變換：1.換行反號,

2.倍乘,

3.倍加.

3.三種為零：

1.有一行全為零,3.有兩行成比例.

2.有兩行相同,4.一種分解.5.1.按行展開：２.行列式的計算：

行列式的常用計算方法如下：(2)

利用行列式的性質計算：化為上（下）三角形行列式；（最常用）(1)利用行列式的定義計算：只適用于一些特殊的行列式或大多數元素為零的行列式；(3)

利用行列式展開公式計算：化高階為低階；(4)

利用遞推關系計算：適用于含有字母的行列式；(5)

利用升階法計算：在行列式值不變的情況下，加上特殊的一行和一列進行計算；(6)

利用范德蒙德行列式計算：只適用于范德蒙德行列式；(7)

利用分解之積計算：|AB|=|A||B|，|A|=|AT|；3.一些特殊行列式的值：

三、拉普拉斯展開定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和。1.行列式按行（列）展開：2.拉普拉斯定理：在行列式D中任取k(1≤k≤n-1)行（列），由這k行（列）元所組成的一切k階子式分別與它們的代數余子式的乘積之和，等于行列式D.四、克拉默法則1.求逆矩陣的一個有用的計算公式：2.克拉默法則：方陣A可逆的充要條件為|A|≠0.當A可逆時，設A可逆，則AX=b的唯一解為：五、矩陣的秩1.矩陣秩的定義：2.矩陣秩的有關結論：矩陣A中非零子式的最高階數r，稱為A的秩，記為R(A)=r.1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一個r階子式不為零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1階子式全為零。

8.矩陣P,Q可逆，則

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，9.矩陣A可逆時，R(AB)=R(B)；10.矩陣B可逆時，R(AB)=R(A)；3.矩陣秩的求法：1.利用矩陣秩的定義；2.

利用初等行（列）變換將矩陣化為行階梯形矩陣，該矩陣中非零行的行數即為矩陣的秩；（常用）16.初等變換不改變矩陣的秩，即如果矩陣A與B等價，則R(A)=R(B)；第三章幾何空間3.1

空間直角坐標系與向量3.2

向量的乘法3.3

平面3.4

空間直線一、空間直角坐標系與向量1.空間直角坐標系：

2.向量及其線性運算：

三個坐標軸的正方向符合右手系.向量：既有大小又有方向的量.設=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),向量的線性運算:+=(a1+b1,a2+b2,a3+

b3),

k?=(ka1,ka2,ka3).線性運算滿足的運算規(guī)律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0

=;(4)+(-)=0;(5)1

=;(6)k(l

)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.基向量：向量在軸上的投影：AB||A’B’||,A’B’與u同向-||A’B’||,A’B’與u反向向量的方向余弦：向量線性運算的幾何意義：平行四邊形法則：是以為邊的平行四邊形的對角線.二、向量的乘法1.內積：

=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)=a1b1+a2b2

+a3b3

2.外積：

所確定的平面垂直，且符合右手系.3.混合積：

三、平面1.點法式方程：

2.一般式方程：

法向量3.截距式方程：

4.兩平面夾角余弦公式：5.兩平面垂直與平行的充要條件：//四、空間直線1.點向式方程：

2.參數式方程：

3.一般式方程：

4.兩直線的夾角：5.兩直線的位置關系：直線直線6.直線與平面的夾角：7.直線與平面的位置關系：第四章n維向量空間4.1

n維向量空間4.2

向量組的線性相關性4.3

向量組的秩與最大無關組4.4

線性方程組解的結構一、n維向量空間的概念1.n維實向量空間Rn滿足：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0

=;(4)+(-)=0;(5)1

=;(6)k(l

)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.2.Rn的子空間：若則稱V是Rn

的一個子空間.二、向量組的線性相關性定義：

若存在數

k1,k2,…,

km

使得則稱向量為向量組1，2，…，m的線性組合，或稱可由1，2，…，m線性表出.1.向量組的線性組合：設A=(1,2,…,n),則下列命題等價：1o

bL(1,2,…,n);2o

AX=b有解;3o重要結論：若向量組B中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價.向量組等價的定義：2.向量組的線性相關性：定義若存在不全為零的數x1,x2,…,xm使得

x11+x22+…+xmm=0

則稱1,2,…,m線性相關；否則，稱1,2,…,m線性無關.線性相關性的判定：（1）向量組a1,a2,…,am線性相關《==》至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示．（2）向量組a1,a2,…,am線性無關，a1,a2,…,am，線性相關==》可由a1,a2,…,am線性表示，且表示式唯一．（3）向量組A：a1,a2,…,am線性相關《==》R(A)<m．（4）向量組A：a1,a2,…,am線性無關《==》R(A)=m．（5）“部分相關，整體必相關”．（6）“整體無關，部分必無關”．設向量組T滿足（1）在T中有r個向量1,2,…,r線性無關；（2）T中任意r+1個向量都線性相關；則稱1,2,…,r是向量組T的一個最大無關組，數r

為向量組T的秩.三、向量組的秩與最大無關組1.定義：2、最大無關組的等價定義：設向量組B是向量組A的部分組，若B線性無關，且A能由B線性表示，則B是A的一個最大無關組.3、向量組秩的重要結論：（1）矩陣的行秩=列秩=矩陣的秩.（2）設向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩（即R(B)≤R(A)）.（3）等價的向量組的秩相等. （4）4、Rn的基、維數與坐標Rn的一組基：Rn

的一個最大無關組Rn的維數(dimRn)：Rn

的秩,dimRn

=n.Rn,1,2,…,n為一組基，=x11+x22+…+xnn

在基1,2,…,n下的坐標一個向量在確定基下的坐標是惟一的(坐標的惟一性).四、線性方程組解的結構1.齊次線性方程組解的性質：（2）若為的解，為實數，則也是的解．（1）若為的解，則

也是的解.（3）Ax=0的解向量的線性組合仍為Ax=0的解.2、基礎解系及其求法：基礎解系定義：基礎解系求法：（1）對系數矩陣進行初等變換，將其化為最簡形由于令（2）得出R(A)=r，同時也可知方程組的一個基礎解系含有n-r個線性無關的解向量．故為齊次線性方程組的一個基礎解系.3、非齊次線性方程組解的性質：其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.（3）非齊次線性方程組Ax=b的通解：線性方程組解的情況：第五章特征值與特征向量5.1

特征值與特征向量的概念與計算5.2

矩陣的相似對角化5.3

n維向量空間的正交性5.4

實對稱矩陣的相似對角化一、特征值與特征向量的概念與計算1.特征值與特征向量的定義：2.特征值與特征向量的性質：（5）矩陣A不同特征值的特征向量線性無關.3.特征值與特征向量的計算：求A的特征值與特征向量的步驟：二、矩陣的相似對角化1.相似矩陣的定義：2.相似矩陣的性質：（1）等價關系：反身性、對稱性、傳遞性.（2）相似矩陣有相同的特征值.3.矩陣的相似對角化：相關定理：（2）

n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量.（3）

矩陣A不同特征值的特征向量線性無關.（4）如果矩陣

A的特征值都是單特征根，則A與對角矩陣相似.（6）n

階矩陣A與對角矩陣相似三、n維向量空間的正交性1.內積的定義與性質：（1）定義：（2）性質：（3）向量的長度：（4）向量的夾角：2.n維向量的正交性：（1）定義：正交向量組線性無關.（2）標準正交向量組：3.施密特正交化方法：把線性無關向量組

標準正交化：4.正交矩陣：（1）定義：（2）性質：若實矩陣A滿足AAT=ATA=I,則稱A為正交矩陣.3）正交矩陣的乘積也是正交矩陣.四、實對稱矩陣的相似對角化1.共軛矩陣：

共軛矩陣的性質：

2.實對稱矩陣的特征值與特征向量：（1）實對稱矩陣的特征值都是實數；（2）實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交；3.實對稱矩陣的相似對角化： 對于任意n階實對稱矩陣A，都存在一個n階正交矩陣C，使得CTAC=C-1AC為對角矩陣.求正交矩陣C的步驟：第六章二次型與二次曲面6.1

實二次型及其標準型6.2

正定二次型6.3

曲面與空間曲線6.4

二次曲面一、實二次型及其標準形1.二次型及其矩陣：

稱為

n元二次型.

則f(x1,…,xn)=XTAX.A:

二次型的矩陣.A的秩即為二次型的秩.2.合同變換：定義對n階矩陣A,B,若存在可逆矩陣C,使CTAC=B,則稱A與

B合同.記為X=CY，當C可逆時稱為合同變換.3.用配方法化二次型為標準形：只含平方項的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

稱為標準形.形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型稱為規(guī)范形.定理1任一實二次型f(X)=XTAX都可用配方法化為標準形.定理2任何一個實二次型的規(guī)范形都是惟一的.4.用正交變換化二次型為標準形：

定理3

任一n元實二次型f(X)=XTAX都可用正交變換X=CY化為標準形1y12+

2

y22+…+n

yn2其中

1，2

，…，n是A的特征值.

二、正定二次型

定義

如果任一非零實向量X=(x1,x2,…,xn)T

都使f(X)=XTAX>0,則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣A稱為正定矩陣.定理1f(X)=XTAX正定A的特征值全大于零.

推論

n

元二次型f(X)=XTAX正定f(X)的正慣性指數為n.定理2f(X)=XTAX正定A與I

合同.

定理3f(X)=XTAX正定A的順序主子式全

大于零.

定理4

對于實對稱矩陣A，以下命題等價：

(1)A為正定矩陣；

(2)A的特征值全為正實數；

(3)A與單位矩陣合同；

(4)A的各階順序主子式全大于零.定義2

對于二次型f(X)=XTAX及任一實向量X,

(1)如果f(X)=XTAX<0,則稱f(X)為負定二次型；

(2)如果f(X)=XTAX≥0，則稱f(X)為半正定二次型；

(3)如果f(X)=XTAX≤0，則稱f(X)為半負定二次型；

(4)不是正定、半正定、負定、半負定的二次型稱為不定二次型.定理5

對于二次型f(X)=XTAX，以下命題等價：

(1)f(X)為負定二次型；

(2)A的特征值全為負實數；

(3)f(X)的負慣性指數為n；

(4)A的順序主子式滿足：(-1)k

Pk>0(k=1,2,…,n).三、曲面與空間曲線1.曲面：空間點集

S={(x,y,z)|F(x,y,z)=0}稱為由方程F(x,y,z)=0所確定的曲面.柱面：與定曲線C相交，與某一定直線平行的動直線L所形成的曲面稱為柱面.橢圓柱面：拋物柱面：

S={(x,y,z)|y2=2x}雙曲柱面：2.旋轉曲面：以一條平面曲