5.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象教學(xué)設(shè)計(jì)

5.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖高一年級(jí)數(shù)學(xué)組張松學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正切函數(shù)的畫(huà)法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)能夠利用正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)

正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式

＝tan圖象定義域值域R最小正π周期

奇偶性單調(diào)性對(duì)稱(chēng)性

奇函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都單調(diào)遞增對(duì)稱(chēng)中心思考

正切函數(shù)圖象與直線＝π＋，有共點(diǎn)嗎？答案

沒(méi)有．正切曲線是由被互相平行的直線＝π隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的．1．切函數(shù)的定義域和值域都是×)2切函數(shù)圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱(chēng)中心√)3正切函數(shù)圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，其對(duì)稱(chēng)軸是×)4．切函數(shù)是增函數(shù)．(×)

xπ±，一、正切函數(shù)的奇偶性與周

期性例數(shù))＝tan最小正周期為)A.B.CπD．2π(2)＝sin奇偶性為()A．函數(shù)C．奇非偶函數(shù)答案(1)A(2)A解析方法一

B偶函數(shù)D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)＝＝＝.方法二＝tan＝，∴＝.

(＝tan(2))定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又tan(－＝

()－)

＝－(，∴(為奇函數(shù)．反思感悟

與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問(wèn)題的解決策略(1)般地＝tan(＋的最小正周期為＝利用此公式來(lái)求周期．(2)斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)無(wú)奇偶性；若對(duì)稱(chēng)，再判斷－與(的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)函的最小正周期是，則

答案(1)A(2)±2解析要使有意義，必須滿足即≠π＋，且≠(2＋1)π(，∴函數(shù)(的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又－＝＝－＝－(，故(＝是奇函數(shù)．(2)題意＝＝，∴|，∴＝±2.二、正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例較下列兩個(gè)數(shù)的大小用“>”或“<”填空：①tan________tan；②tan________tan.答案①<②<

解析①tan＝tan，且0<<<，又＝tanx在上單調(diào)遞增，所以<tan，即<tan.②tan＝tan，tan，因?yàn)?<<<，又＝tanx在上單調(diào)遞增，所以<tan，則<tan.(2)函的單調(diào)區(qū)間．解∵＝tan(∈Z)上是增函數(shù)，∴－＋π<2＋π(∈Z)，即－＋(∴函數(shù)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是∈Z)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．(學(xué)留)

反思感悟運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法①運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．②運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系．(2)函＋的單調(diào)區(qū)間的方法＝tan(＋>0)單調(diào)區(qū)間的求法是把＋成一個(gè)整體，解－π<＋＋π∈Z即可．時(shí)，先用誘導(dǎo)公式把化為正值再求單調(diào)區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練求函數(shù)＝3tan的單調(diào)遞減區(qū)間．解

＝3tan可化為＝－3tan，由π－<－<π＋，∈Z得2π－<<2π＋，∈Z故單調(diào)遞減區(qū)間為，三、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例設(shè)函數(shù)(

(1)函的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心；(2)不等式－1≤()≤的解集．解由－≠＋π(∈Z)，得≠＋2π(所以(的定義域是.因?yàn)椋?，所以最小正周期＝＝?π.由－＋π<－<＋π(∈Z)，得－π<＋2π(∈Z)．所以函數(shù)(的單調(diào)遞增區(qū)間是(∈Z)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．由－∈Z)，得＝π＋(故函數(shù)(的對(duì)稱(chēng)中心是∈Z)．(2)－1≤tan≤，

得－＋π≤－≤＋π(∈Z)，解得＋π≤≤π(∈Z)．所以不等式－1≤()≤的解集是.反思感悟

解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)稱(chēng)性：正切函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是(∈Z)，不存在對(duì)稱(chēng)軸．(2)調(diào)性：正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間(∈Z)上都單調(diào)遞增，但不能說(shuō)其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．跟蹤訓(xùn)練畫(huà)出函數(shù)＝|tan的圖象象判斷其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性．解

由＝|tan得＝其圖象如圖：由圖象可知，函數(shù)|定義域?yàn)椋涤?/p>

為，＋∞)，是偶函數(shù)．函數(shù)＝|tan的周期＝π，函數(shù)＝|tan的單調(diào)遞增區(qū)間為區(qū)間為1函數(shù)＝tan最小正周期為)A．2πB．πC.D.答案C解析

根據(jù)周期公式計(jì)算得＝＝.2．＝－2＋tan的單調(diào)遞增區(qū)間是)A.，∈ZB.，∈ZC.，∈ZD.，∈Z

答案A解析

由－＋π<＋π，∈Z解得－π<π，3．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是)Aπ，0)答案C解析

令＋＝，得＝－，∈Z所以函數(shù)＝tan對(duì)稱(chēng)中心是，∈Z.令，可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.4．，∈的值域?yàn)開(kāi)_______．答案解析∵∈，∴－∈，

∴tan∈(，)，∴值域?yàn)椋?．較大?。簍an________tan.答案>解析

因?yàn)?，tan＝tan，又0<<<，＝t