高中數學北師大版2本冊總復習總復習 學業(yè)分層測評1

學業(yè)分層測評(十一)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．用反證法證明“三角形中最多只有一個內角為鈍角”，下列假設中正確的是()A．有兩個內角是鈍角B．有三個內角是鈍角C．至少有兩個內角是鈍角D．沒有一個內角是鈍角【解析】“最多有一個”的反設是“至少有兩個”，故選C.【答案】C2．下列命題錯誤的是()A．三角形中至少有一個內角不小于60°B．四面體的三組對棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調函數f(x)至多有一個零點D．設a，b∈Z，若a，b中至少有一個為奇數，則a＋b是奇數【解析】a＋b為奇數?a，b中有一個為奇數，另一個為偶數，故D錯誤．【答案】D3．“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定正確的為()A．a，b，c都是奇數B．a，b，c都是偶數C．a，b，c中至少有兩個偶數D．a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數【解析】自然數a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數；(2)2個奇數，1個偶數；(3)1個奇數，2個偶數；(4)3個都是偶數．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數．【答案】D4．設x，y，z都是正實數，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數()【導學號：67720231】A．至少有一個不大于2B．都小于2C．至少有一個不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6，②顯然①②矛盾，所以C正確．【答案】C5．用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設三角形的三個內角A，B，C中有兩個直角，不妨設A＝B＝90°，正確順序的序號為()A．①②③ B．①③②C．②③① D．③①②【解析】根據反證法的步驟，應該是先提出假設，再推出矛盾，最后否定假設，從而肯定結論．【答案】D二、填空題6．命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是__________________．【解析】“至少有一個”的否定是“沒有一個”．【答案】任意多面體的面沒有一個是三角形或四邊形或五邊形7．用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時，假設的內容應是________．【解析】eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關系有三種情況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設應為“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”．【答案】eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)8．設a，b是兩個實數，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出．對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1.反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.【答案】③三、解答題9．已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個不小于1.【證明】假設a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3.而與a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3矛盾，故假設不成立，即a，b，c至少有一個不小于1.10．已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．【證明】假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數列，這與a，b，c不成等差數列矛盾．所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列．[能力提升]1．有以下結論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1.下列說法中正確的是()A．①與②的假設都錯誤B．①與②的假設都正確C．①的假設正確；②的假設錯誤D．①的假設錯誤；②的假設正確【解析】用反證法證題時一定要將對立面找準．在①中應假設p＋q>2，故①的假設是錯誤的，而②的假設是正確的．【答案】D2．已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sinA≠sinB”．若用反證法證明，得出的矛盾是()A．與已知條件矛盾B．與三角形內角和定理矛盾C．與已知條件矛盾且與三角形內角和定理矛盾D．與大邊對大角定理矛盾【解析】證明過程如下：假設sinA＝sinB，因為0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B與A≠B矛盾；A＋B＝π與三角形內角和定理矛盾，所以假設不成立．所以sinA≠sinB.【答案】C3．劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學生去西安參加自主招生考試，考試結束后老師向四名學生了解考試情況．四名學生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好”．乙說：“我們四人中有人考得好”．丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”．丁說：“我沒考好”．結果，四名學生中有兩人說對了，則這四名學生中的________兩人說對了．【解析】甲與乙的關系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯，如果選丁正確，則丙也是對的，所以丁錯誤，可得丙正確，此時乙正確．故答案為乙，丙．【答案】乙，丙4．設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn＝an＋bn，證明：數列{cn}不是等比數列．【證明】假設數列{cn}是等比數列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)． ①因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，設公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(\a\