高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章統(tǒng)計 2023版第2章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①分層抽樣②線性回歸分析③頻率分布直方圖④方差與標(biāo)準(zhǔn)差抽樣方法常用的抽樣方法有三種．(1)簡單隨機(jī)抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法；(2)系統(tǒng)抽樣要求把總體均衡地分成幾部分，然后從每部分中抽取相同數(shù)目的個體；(3)分層抽樣則是根據(jù)樣本的差異分成幾層，然后在各層中按各層在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，不要求各部分抽取的樣本數(shù)相同，但各層之間要有明顯的差異．三種抽樣的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．某單位200名職工的年齡分布情況如圖2-1，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本．用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1～200編號，并按編號順序平均分為40組(1～5號，6～10號，…，196～200號)．若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應(yīng)是________，若用分層抽樣方法，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取________人．圖2-1【精彩點撥】按各種抽樣方法的步驟抽取樣本即可．【規(guī)范解答】法一：由系統(tǒng)抽樣知第1組抽出的號碼為2，則第8組抽出的號碼為2＋5×7＝37；當(dāng)用分層抽樣抽取，則40歲以下年齡段應(yīng)抽取eq\f(1,2)×40＝20名．法二：由系統(tǒng)抽樣知，第5組抽出的號碼為22，而分段間隔為5，則第6組抽取的應(yīng)為27，第7組抽取的應(yīng)為32，第8組抽取的號碼應(yīng)為37.由圖知40歲以下的人數(shù)為100人，則抽取的比例為eq\f(40,200)＝eq\f(1,5)，∴100×eq\f(1,5)＝20為抽取人數(shù)．【答案】3720[再練一題]1．某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取________所學(xué)校，中學(xué)中抽取________所學(xué)校．【解析】根據(jù)分層抽樣的特點求解．從小學(xué)中抽取30×eq\f(150,150＋75＋25)＝18(所)學(xué)校；從中學(xué)中抽取30×eq\f(75,150＋75＋25)＝9(所)學(xué)校．【答案】189用樣本估計總體用樣本估計總體的方式有兩種，一是用樣本的頻率分布估計總體分布，二是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．在用樣本的頻率分布估計總體分布時，主要是利用統(tǒng)計圖表分析估計總體的分布規(guī)律，要求掌握圖表的繪制方法，明確圖表中數(shù)據(jù)的有關(guān)意義，學(xué)會從圖表中獲取有關(guān)信息并會加以整理．樣本的數(shù)字特征可分為兩大類：一類是反映樣本數(shù)據(jù)集中趨勢的，包括眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；另一類是反映樣本波動大小的，包括方差及標(biāo)準(zhǔn)差．我們常通過樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征．某學(xué)校為了了解學(xué)生的日平均睡眠時間(單位：h)，隨機(jī)選擇了n名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查．下表是這n名同學(xué)的日睡眠時間的頻率分布表.序號(i)分組(睡眠時間)頻數(shù)(人數(shù))頻率1[4,5)62[5,6)3[6,7)a4[7,8)b5[8,9)(1)求n的值；若a＝20，將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全，并畫出頻率分布直方圖；(2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間[4,5)的中點值是作為代表．若據(jù)此計算的上述數(shù)據(jù)的平均值為，求a，b的值．【精彩點撥】(1)根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系求出相關(guān)數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表，然后結(jié)合畫頻率直方圖的步驟畫出圖形；(2)根據(jù)平均數(shù)的定義及題意列出方程組求解．【規(guī)范解答】(1)由頻率分布表可知n＝eq\f(6,＝50.補(bǔ)全數(shù)據(jù)如下表：序號(i)分組(睡眠時間)頻數(shù)(人數(shù))頻率1[4,5)62[5,6)103[6,7)204[7,8)105[8,9)4頻率分布直方圖如下：(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)6×＋10×＋a×＋b×＋4×,＝，,6＋10＋a＋b＋4＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝15.))[再練一題]2．甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成績用莖葉圖表示如圖2-2所示，則平均分?jǐn)?shù)較高的是________，成績較為穩(wěn)定的是________．圖2-2【解析】由題意得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(68＋69＋70＋71＋72)＝70，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(63＋68＋69＋69＋71)＝68.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(63－68)2＋(68－68)2＋(69－68)2＋(69－68)2＋(71－68)2]＝.∴eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙).∴甲的平均分高，且甲的成績較穩(wěn)定．【答案】甲甲線性回歸方程分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，我們可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，再利用最小平方法求出回歸直線方程，然后利用線性回歸方程可進(jìn)行預(yù)測．某種產(chǎn)品的廣告費用支出x(萬元)與銷售額y(萬元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)判斷x，y是否線性相關(guān)，若線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．【精彩點撥】eq\x(根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，寫出5組坐標(biāo)，描點得散點圖)→eq\x(觀察樣本點的分布規(guī)律判斷是否線性相關(guān))→eq\x(根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程)【規(guī)范解答】(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，寫出5組坐標(biāo)，作出散點圖如圖所示．(2)由散點圖可以看出樣本點分布在一條直線的附近，可見y與x線性相關(guān)．由所給數(shù)據(jù)得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70－5×5×50,22＋42＋52＋62＋82－5×52)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝50－×5＝，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.[再練一題]3．為了了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時間x12345命中率y小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________．【解析】平均命中率eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝；而eq\x\to(x)＝3，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，由公式得b＝， a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－×3＝，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝.【答案】數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計中，常常利用頻率分布直方圖，頻率分布折線圖、莖葉圖等來呈現(xiàn)樣本及總體的分布情況，這便是數(shù)形結(jié)合思想的具體運用，解題時要注意挖掘圖表中數(shù)字的意義及相關(guān)信息．甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(單位：環(huán))如圖2-3所示：圖2-3(1)填寫下表：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71乙3(2)請從四個不同的角度對這次測試進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成績好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成績好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢分析誰更有潛力．【精彩點撥】根據(jù)圖形得到具體的樣本數(shù)據(jù)，然后根據(jù)要求求解．【規(guī)范解答】(1)乙的射靶環(huán)數(shù)依次為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝；甲的射靶環(huán)數(shù)從小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如下表所示：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲771乙73(2)①甲、乙的平均數(shù)相同，均為7，但seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，說明甲偏離平均數(shù)的程度小，而乙偏離平均數(shù)的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位數(shù)比甲大，說明乙射靶環(huán)數(shù)的優(yōu)秀次數(shù)比甲多．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9環(huán)以上(包含9環(huán))的次數(shù)比甲多2次，可知乙的射靶成績比甲好．④從折線圖上看，乙的成績呈上升趨勢，而甲的成績在平均線上波動不大，說明乙的狀態(tài)在提升，更有潛力．[再練一題]4.甲、乙兩名運動員，在某項測試中的8次成績?nèi)鐖D2-4所示，eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2分別表示甲、乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，s1，s2分別表示甲、乙兩名運動員這項測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則eq\x\to(x)1________eq\x\to(x)2，s1________s2.(填“>”“<”或“＝”)圖2-4【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)求得eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)2＝15，且由方差公式可得seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,8)[(－7)2＋(－6)2＋(－1)2＋12＋62＋72]＝eq\f(43,2)，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－2)2＋22＋72＋82]＝eq\f(117,4)，故s1<s2.【答案】＝<1．已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.【答案】62．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖2-5所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.圖2-5【解析】底部周長在[80,90)的頻率為×10＝，底部周長在[90,100)的頻率為×10＝，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100cm的株數(shù)為＋×60＝24.【答案】243．已知一組數(shù)據(jù),,,,，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝，則方差s2＝eq\f(1,5)[－2＋－2＋－2＋－2＋－2]＝eq\f(1,5)＋＋0＋＋＝.【答案】4．在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖2-6所示，若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]