高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量4平面向量的坐標(biāo) 2023版第2章4平面向量的坐標(biāo)

§4平面向量的坐標(biāo)平面向量的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量平行的坐標(biāo)表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．(重點(diǎn))2．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．(重點(diǎn))3．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1平面向量的坐標(biāo)表示閱讀教材P88～P89“”以上部分，完成下列問(wèn)題．圖2-4-1如圖2-4-1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x，y)，使得a＝xi＋yj.我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．()(2)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()(3)在平面直角坐標(biāo)系中，兩相等向量的坐標(biāo)相同．()【解析】(1)錯(cuò)誤．無(wú)論向量在何位置其坐標(biāo)不變．(2)錯(cuò)誤．向量的坐標(biāo)是把向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)時(shí)終點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)正確．兩相等向量的坐標(biāo)相等．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示閱讀教材P89～P91“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題．1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和實(shí)數(shù)λ，那么：①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，則eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\o(OB,\S\UP6(→))－eq\o(OA,\S\UP6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．2．向量平行的坐標(biāo)表示(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則x1y2－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0，則上式可變形為eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).(2)文字語(yǔ)言描述向量平行的坐標(biāo)表示①定理若兩個(gè)向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例．②定理若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則它們平行．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1.()(2)向量a＝(1,2)與b＝(－3，－6)共線且同向．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，則eq\f(x1,y1)＝eq\f(x2,y2).()【解析】(1)正確．a(chǎn)∥b，則a＝λb可得x1y2＝x2y1.(2)錯(cuò)誤．a(chǎn)＝－3b，a與b共線且反向．(3)錯(cuò)誤．若y1＝0，y2＝0時(shí)表達(dá)式無(wú)意義．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]平面向量的坐標(biāo)表示已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→))，eq\o(BD,\S\UP6(→))的坐標(biāo)．【精彩點(diǎn)撥】eq\x(表示出各點(diǎn)的坐標(biāo))→eq\x(用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo))→eq\x(得相應(yīng)向量的坐標(biāo))【自主解答】如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝(1－2，eq\r(3)－0)＝(－1，eq\r(3))，eq\o(BD,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).1．向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，只有當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo)．2．求向量的坐標(biāo)一般轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算．[再練一題]1．已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設(shè)eq\o(OA,\S\UP6(→))＝a，eq\o(OB,\S\UP6(→))＝b，eq\o(OC,\S\UP6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(BC,\S\UP6(→)).【解】如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，eq\o(OA,\S\UP6(→))所在射線為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．∵|eq\o(OB,\S\UP6(→))|＝1，∠AOB＝150°，∴B(－cos30°，sin30°)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).∵|eq\o(OC,\S\UP6(→))|＝3，∴C(－3sin30°，－3cos30°)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3))).又∵A(2,0)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))－(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)－2，\f(1,2)))，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－3,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)\r(3)－\f(1,2))).向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)及eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→)).求點(diǎn)C，D和eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470051】【精彩點(diǎn)撥】先求出eq\o(AB,\S\UP6(→))的坐標(biāo)，然后求eq\o(AC,\S\UP6(→))，eq\o(DA,\S\UP6(→))的坐標(biāo)，最后求出eq\o(OC,\S\UP6(→))，eq\o(OD,\S\UP6(→))及eq\o(CD,\S\UP6(→))的坐標(biāo)．【自主解答】∵A(－1,2)，B(2,8)，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，eq\o(DA,\S\UP6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\S\UP6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝(1,2)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OC,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AC,\S\UP6(→))＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，eq\o(OD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))＋eq\o(AD,\S\UP6(→))＝eq\o(OA,\S\UP6(→))－eq\o(DA,\S\UP6(→))＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，∴C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(－2,0)．因此eq\o(CD,\S\UP6(→))＝(－2，－4)．1．向量的坐標(biāo)形式的線性運(yùn)算，主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．2．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，把平面向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算．這樣使向量的線性運(yùn)算更簡(jiǎn)便，其前提是先求出參與運(yùn)算的向量的坐標(biāo)．[再練一題]2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\S\UP6(→))＝a，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝b，eq\o(CA,\S\UP6(→))＝c，且eq\o(CM,\S\UP6(→))＝3c，eq\o(CN,\S\UP6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c的坐標(biāo)；(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\S\UP6(→))的坐標(biāo)．【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\S\UP6(→))＝eq\o(OM,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\S\UP6(→))＝3c＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\S\UP6(→))＝eq\o(ON,\S\UP6(→))－eq\o(OC,\S\UP6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\S\UP6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\S\UP6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\S\UP6(→))＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[探究共研型]向量平行的坐標(biāo)表示探究1設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共線，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？反之成立嗎？【提示】這兩個(gè)向量的坐標(biāo)應(yīng)滿足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b?x1y2－x2y1＝0.探究2如果兩個(gè)非零向量共線，你能通過(guò)它們的坐標(biāo)判斷它們同向還是反向嗎？【提示】當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí)，同向．當(dāng)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)，反向．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？【精彩點(diǎn)撥】eq\x(由a，b的坐標(biāo))→eq\x(求ka＋b，a－3b坐標(biāo))→eq\x(由向量共線的條件列方程組)→eq\x(求k的值)→eq\x(判斷方向)【自主解答】法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，當(dāng)ka＋b與a－3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).即當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時(shí)，ka＋b與a－3b平行，這時(shí)ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)＜0，∴ka＋b與a－3b反向．法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b與a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).此時(shí)ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)．∴當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時(shí)，ka＋b與a－3b平行，并且反向．解決向量共線問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，將向量間的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系來(lái)求解.[再練一題]3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線？(2)若eq\o(AB,\S\UP6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\S\UP6(→))＝a＋mb且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\S\UP6(→))＝λeq\o(BC,\S\UP6(→))，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).1．下列各組向量共線的是()A．a(chǎn)1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a(chǎn)2＝(2,3)，b2＝(3,2)C．a(chǎn)3＝(1,2)，b3＝(7,14)D．a(chǎn)4＝(－3,2)，b4＝(6,4)【解析】因?yàn)閎3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3與b3共線．【答案】C2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，則a＋b＝()A．(8，－1)B．(0,7)C．(7,0)D．(－1,8)【解析】a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．【答案】B3．已知A(4,1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(3,2)))，若A，B，C共線，則x＝.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470052】【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))，eq\o(AC,\S\UP6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4，－\f(5,2)))，所以eq\f(－3,2)(x－4)＝eq\f(15,2)，解