高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明單元測(cè)試【省一等獎(jiǎng)】2

第二章推理與證明第一節(jié)合情推理和演繹推理第二課時(shí)類比推理一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）、了解類比推理的含義、特點(diǎn)，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；（2）、能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；（3）、通過(guò)生活和學(xué)習(xí)中的實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境、進(jìn)行探究，提高學(xué)生觀察猜想、抽象概括的能力，滲透類比的思想方法，體會(huì)并認(rèn)識(shí)類比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和生活中的作；（4）、找到合適的類比對(duì)象，分析兩類事物在結(jié)構(gòu)或功能等方面的關(guān)系，正確運(yùn)用類比推理的思想方法.2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）．類比推理：由兩類對(duì)象具有某些 特征和其中一類對(duì)象的某些 ，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)．簡(jiǎn)言之，類比推理是由 到 的推理．（2）．合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò) ，再進(jìn)行 ，然后提出 的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．（3）“三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形”，可類比為：“四面體是由所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形”。（4）合情推理的大致步驟為①②③④（5）類比推理的一般步驟:①②③。二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.類比推理的特點(diǎn)（1）.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究的事物的屬性,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果.（2）.類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性.（3）.類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠,但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能.2.歸納推理與類比推理聯(lián)系與區(qū)別（1）聯(lián)系：歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理．由這兩種推理得到的結(jié)論都不一定正確,其正確性有待進(jìn)一步證明.（2）區(qū)別：歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法，類比推理是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式．類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物,同時(shí),類比推理比歸納推理更富于想像,因而也就更具有創(chuàng)造性.人類在科學(xué)研究中建立的不少假說(shuō)和教學(xué)中許多重要的定理，公式都是通過(guò)類比提出來(lái)的,工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的．因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具.3.合情推理的理解合情推理是指“合乎情理”的推理．?dāng)?shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．三、典例導(dǎo)析題型一類比概念的理解例1定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為_(kāi)_____________，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)________．思路導(dǎo)析:解決本題的關(guān)鍵是理解即時(shí)定義“等和數(shù)列”．解：由等和數(shù)列的定義，知a1＋a2＝a2＋a3＝a3＋a4＝…，即有a1＝a3＝a5＝…，a2＝a4＝a6＝…．又a1＝2，公和為5，得a18＝a2＝5－2＝3．即有an＝，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．規(guī)律總結(jié):類比某些熟悉的概念，產(chǎn)生的類比推理型試題；在求解時(shí)可以借助原概念所涉及的基本方法與基本思路．變式練習(xí)1“在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓”，類比上述圓的定義，在空間中可得到類比命題是_________________________,它是_________(真、假)命題.題型二類比性質(zhì)的應(yīng)用例2在等差數(shù)列中，若，則等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式成立．思路導(dǎo)析:本題是已知等差數(shù)列的性質(zhì)，類比推理等比數(shù)列的性質(zhì)．解：由題設(shè)，應(yīng)該有如果，則等式：成立，我們知道，如果，其中是自然數(shù)，對(duì)于等差數(shù)列，則有，而對(duì)于等比數(shù)列則有，所以可以得出結(jié)論：若，則等式成立．在本題中，故填．規(guī)律總結(jié):從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，產(chǎn)生類比推理型問(wèn)題．求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵．變式練習(xí)2：若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列(n∈N*)也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且cn＞0(n∈N*)，則有dn＝_________(n∈N*)也是等比數(shù)列．題型三類比方法的應(yīng)用例3設(shè)f(x)＝，利用課本推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為_(kāi)______．思路導(dǎo)析:本題是類比數(shù)學(xué)方法，即利用倒序相加法，通過(guò)類比方法即可解決．解：由f(x)＋f(1－x)＝＋＝．設(shè)S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝．即S＝3，故填3．規(guī)律總結(jié):有一些處理問(wèn)題的方法，具有類比性，結(jié)合這些方法產(chǎn)生的問(wèn)題，在求解時(shí)，要注意知識(shí)的遷移．變式練習(xí)3在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cosA＋cosB＝1，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想．題型四情景類比例4定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)于正整數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝3(n*1)．則n*1用含n的代數(shù)式表示是_________．思路導(dǎo)析:本題是新定義一種運(yùn)算，此運(yùn)算類比數(shù)列通項(xiàng)的情景而命題，故轉(zhuǎn)化為數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題，即可解決．解：設(shè)n*1＝an，則(n＋1)*1＝，由條件可得a1＝1，＝3an，從而有{an}是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．∴an＝．故填．規(guī)律總結(jié):借助類比推理進(jìn)行命題是命題改革產(chǎn)生的一類新型試題，應(yīng)要注意對(duì)課本知識(shí)的聯(lián)想及遷移．變式練習(xí)4類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知四面體的下列一些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ俑骼忾L(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角相等；②各個(gè)面是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)的任何兩條棱的夾角都相等.（A）①（B）①②（C）①②③（D）③四、隨堂練習(xí)1.下列說(shuō)法中正確的是（）.A.合情推理是正確的推理B.合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理D.類比推理是從特殊到特殊的推理2.一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圓若將此若干個(gè)圓按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么在前2023個(gè)圓中有個(gè)黑圓.3.在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.4.已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質(zhì)．五、課后作業(yè)1．類比推理和歸納推理的相同點(diǎn)是 ()A．從一般到一般B．前提蘊(yùn)涵結(jié)論C．結(jié)論都是或然的D．從個(gè)別到一般2．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2)D．不可類比3．下列哪個(gè)平面圖形與空間圖形中的平行六面體作為類比對(duì)象較合適 ()A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形4．醫(yī)藥研究中，研制新藥初期，常用一些動(dòng)物作藥性、藥理試驗(yàn)，最后才作臨床試驗(yàn)與應(yīng)用，通過(guò)對(duì)動(dòng)物的觀察，得出對(duì)人應(yīng)用的一些結(jié)論，所用推理為_(kāi)______________．5．等差數(shù)列{}中，>0，公差d>0，則有·>·，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{}中，若>0，q>1，寫出，，，的一個(gè)不等關(guān)系________．6.如圖，已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO、BO、CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊分別于A′、B′、C′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”．eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體V－BCD，存在什么類似的結(jié)論？并用“體積法”證明．第二課時(shí)類比推理答案解析一、基礎(chǔ)預(yù)探（1）答案：類似；已知特征；特殊；特殊。（2）答案：觀察、分析、比較；聯(lián)想、歸納；猜想。（3）答案：空間中；平面。（4）答案：從具體問(wèn)題出發(fā);觀察，分析，比較，聯(lián)想;歸納類比;提出結(jié)論（5）答案：觀察、比較；聯(lián)想、類推；猜想新結(jié)論三．典例導(dǎo)析變式訓(xùn)練1.在空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是球面.真2.解：在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等，則對(duì)于，則數(shù)列{}也是等差數(shù)列．類比推斷：若數(shù)列{}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)=eq\r(n,c1·c2·…·cn)時(shí)，數(shù)列{}也是等比數(shù)列．答案：eq\r(n,c1·c2·…·cn)3.解：cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結(jié)論類比到四面體P－A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P－A′B′C′中，若三個(gè)側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.4.（C）解析：由合情推理可知①②③全部正確.四、隨堂練習(xí)1.D.提示：由歸納推理和類比推理的定義容易判斷。2.答案：61.觀察一下，以“實(shí)心個(gè)數(shù)加空心個(gè)數(shù)”為一組，這樣圓的總數(shù)是：2+3+4+…+=2023而（2+63）2/2=2023說(shuō)明第2023個(gè)圓在第62組中，因?qū)嵭膱A排在每一組的末尾，所以第62組沒(méi)有實(shí)心圓．空心圓的個(gè)數(shù)等于組數(shù)2023個(gè)球中空心的有：61個(gè)．故答案是61．3.答案：21。規(guī)律：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的和。故x=8+13=21.4.解：等比數(shù)列{bn}中，公比q，前n項(xiàng)和Sn.(1)通項(xiàng)an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，則am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．五、課后作業(yè)1.C由類比推理和歸納推理的定義可知，兩者的結(jié)論都是猜測(cè)性的，其正確性有待于證明．故應(yīng)選C.2.C三角形的高對(duì)應(yīng)扇形的半徑，三角形的底對(duì)應(yīng)扇形的弧長(zhǎng)，所以可猜測(cè)S扇＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(lr,2).故應(yīng)選C.3.C從構(gòu)成幾何圖形的幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面考慮，用平行四邊形作為平行六面體的類比對(duì)象較為合適．4.答案：類比推理符合類比推理的方法，故應(yīng)為類比推理．5.答案：＋>＋將乘積與和對(duì)應(yīng)，再注意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)，有＋>＋.6.解：在四面體V－BCD中，任取一點(diǎn)O，連結(jié)VO，DO，BO，CO并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于E，F(xiàn)，G，H點(diǎn)，則eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.證明：在四面體O－BCD與V－BCD中，eq\f(OE,VE)＝eq\f(h1,h)＝＝eq\f(\f(1,3