高中數學人教A版1第二章圓錐曲線與方程 全國優(yōu)質課

2023學年山東省濟南市歷城二中高一（下）開學數學試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若p：?x∈R，sinx≤1，則（）A．?p：?x0∈R，sinx0＞1 B．?p：?x∈R，sinx＞1C．?p：?x0∈R，sinx0≥1 D．?p：?x∈R，sinx≥12．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知雙曲線的實軸長為2，焦距為4，則該雙曲線的漸近線方程是（）A．y=±3x B． C． D．y=±2x4．在△ABC中，內角A、B的對邊分別是a、b，若，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形5．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S5=30，則a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．636．下列命題中，真命題的個數為（）①若a，b，c∈R則“a＞b”是“ac2＞bc2”成立的充分不必要條件；②若橢圓+=1的兩個焦點為F1，F2，且弦AB過點F1，則△ABF2的周長為20．③若命題“￢p”與命題“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題；④若命題p：?x∈R，x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2+x+1≥0．A．1 B．2 C．3 D．47．已知，給出下列四個結論：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④8．設z=x+y，其中實數x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．69．已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上，且，則A點的橫坐標為（）A． B．4 C．3 D．210．已知P是△ABC內的一點（不含邊界），且?=2，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面積分別為x，y，z，記h（x，y，z）=++，則h（x，y，z）的最小值為（）A．26 B．32 C．36 D．4811．已知點P為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一點，F1，F2為雙曲線的左、右焦點，使（+）（﹣）=0（O為坐標原點），且||=||，則雙曲線離心率為（）A． B．+1 C．+1 D．12．設橢圓+=1的左右交點分別為F1，F2，點P在橢圓上，且滿足?=9，則||?||的值為（）A．8 B．10 C．12 D．15二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13．過（3，2）點的直線與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，△AOB面積的最小值．14．已知拋物線x2=4y的焦點F和點A（﹣1，8），點P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值為．15．已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則的值是．16．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，其中a2=2，a5=16，則的最小值是．三、解答題：本大題共6小題，共70分.17．已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負實數根；命題q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0無實數根．（1）若“￢p”為假命題，求m范圍；（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．18．設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）當A=30°時，求a的值；（Ⅱ）當△ABC的面積為3時，求a+c的值．19．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，拋物線上一點P點橫坐標為2，|PF|=3（1）求拋物線的方程；（2）過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．20．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最??？21．已知等差數列{an}，a2+a3+a4=15，an＞0，且a2，a3+4，a4+20為等比數列{bn}的前三項，（1）求{an}，{bn}的通項公式．（2）設數列dn=的前n項和為Tn，求Tn．（3）若數列cn=an?bn，求數列{cn}的前n和Sn．22．已知橢圓的焦點坐標為F1（﹣2，0），F2（2，0），過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且，（1）求橢圓的方程；（2）M為橢圓的上頂點，過點M作直線MA、MB交橢圓于A、B兩點，直線MA、MB的斜率分別為k1、k2，且k1+k2=8，求證：AB過定點，并求出定點坐標．

2023學年山東省濟南市歷城二中高一（下）開學數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若p：?x∈R，sinx≤1，則（）A．?p：?x0∈R，sinx0＞1 B．?p：?x∈R，sinx＞1C．?p：?x0∈R，sinx0≥1 D．?p：?x∈R，sinx≥1【考點】全稱命題；命題的否定．【分析】根據全稱命題的否定為特稱命題，分別對量詞和命題的結論分別進行否定即可求解【解答】解：根據全稱命題的否定為特稱命題可知，?x∈R，sinx≤1的否定為：?x∈R，sinx＞1故選A2．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：由x≥2且y≥2”推出“x+y≥4”，是充分條件，由x+y≥4推不出x≥2且y≥2，比如x=1，y=5，故不是必要條件，故選：A．3．已知雙曲線的實軸長為2，焦距為4，則該雙曲線的漸近線方程是（）A．y=±3x B． C． D．y=±2x【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】通過雙曲線的幾何性質，直接求出a，b，c，然后求出，求出雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線的實軸長為2，焦距為4，所以2a=2，2c=4，所以a=1，c=2，b==，故有=．所以雙曲線的漸近線方程為：y=±x．故選C．4．在△ABC中，內角A、B的對邊分別是a、b，若，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【考點】三角形的形狀判斷．【分析】利用正弦定理將條件轉化為，三角變形后判斷角A、B之間的關系，可得答案．【解答】解：由正弦定理得：，∴?sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B，∵A、B為三角形的內角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故選C．5．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S5=30，則a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．63【考點】等差數列的性質．【分析】由已知可得a1和d，可得Sn，而a7+a8+a9=S9﹣S6，代入計算可得．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，則S3=3a1+3d=9，S5=5a1+10d=30，聯立解得a1=0，d=3，∴Sn=na1+d=，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=108﹣45=63，故選：D．6．下列命題中，真命題的個數為（）①若a，b，c∈R則“a＞b”是“ac2＞bc2”成立的充分不必要條件；②若橢圓+=1的兩個焦點為F1，F2，且弦AB過點F1，則△ABF2的周長為20．③若命題“￢p”與命題“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題；④若命題p：?x∈R，x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2+x+1≥0．A．1 B．2 C．3 D．4【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①當a=0時，“ac2=bc2”，充分性不成立，可判斷①錯誤；②由橢圓的方程+=1知長軸長為10，依題意，利用橢圓的定義可求得△ABF2的周長為20，可判斷②正確；③由命題“￢p”與命題“p或q”都是真命題，可知p假q真，可判斷③正確；④寫出命題p的否定￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，可判斷④正確．【解答】解：對于①，若a，b，c∈R則“a＞b”不能推出“ac2＞bc2”，如c=0時就不成立，即充分性不成立，故①錯誤；對于②，橢圓+=1的兩個焦點為F1，F2，則長軸長為10，又弦AB過點F1，則△ABF2的周長l=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20，故②正確；對于③，若命題“￢p”與命題“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題，故③正確；對于④，若命題p：?x∈R，x2+x+1＜0，則￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，故④正確．綜上所述，真命題的有個數為3個，故選：C．7．已知，給出下列四個結論：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由條件可b＜a＜0，然后根據不等式的性質分別進行判斷即可．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，錯誤．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正確．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正確的是②④．故選：B．8．設z=x+y，其中實數x，y滿足，若z的最大值為12，則z的最小值為（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出可行域，得到角點坐標．再利用z的最大值為12，通過平移直線z=x+y得到最大值點A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如圖：由得：A（k，k），目標函數z=x+y在x=k，y=k時取最大值，即直線z=x+y在y軸上的截距z最大，此時，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目標函數z=x+y在x=﹣12，y=6時取最小值，此時，z的最小值為z=﹣12+6=﹣6，故選B．9．已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F與雙曲線的右焦點重合，拋物線的準線與x軸的交點為K，點A在拋物線上，且，則A點的橫坐標為（）A． B．4 C．3 D．2【考點】圓錐曲線的共同特征．【分析】根據雙曲線得出其右焦點坐標，可知拋物線的焦點坐標，從而得到拋物線的方程和準線方程，進而可求得K的坐標，設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣3，y0），根據|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，進而可求得A點坐標．【解答】解：∵雙曲線，其右焦點坐標為（3，0）．∴拋物線C：y2=12x，準線為x=﹣3，∴K（﹣3，0）設A（x0，y0），過A點向準線作垂線AB，則B（﹣3，y0）∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，從而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故選C．10．已知P是△ABC內的一點（不含邊界），且?=2，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面積分別為x，y，z，記h（x，y，z）=++，則h（x，y，z）的最小值為（）A．26 B．32 C．36 D．48【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由向量的數量積公式和三角形的面積公式可得x+y+z=1，再根據基本不等式即可求出答案．【解答】解：∵?=2，∠BAC=30°，∴||?||?cos30°=2，∴||?||=4．∵S△ABC=||?||?sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）的最小值為36，故選：C．11．已知點P為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一點，F1，F2為雙曲線的左、右焦點，使（+）（﹣）=0（O為坐標原點），且||=||，則雙曲線離心率為（）A． B．+1 C．+1 D．【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據雙曲線的定義可知和||=||，可得|PF2|=（+1）a，再根據（+）（﹣）=0，得到△OPF2為等邊三角形，即可得到c=（+1）a，即可求出離心率．【解答】解：|PF1|﹣|PF2|=2a，||=||，∴|PF2|=（+1）a，∵（+）（﹣）=0，∴||=||，設Q為PF2的中點，∴+=2，﹣=，∴⊥，∴△OPF2為等邊三角形，∴c=（+1）a，∴e==+1，故選：C．12．設橢圓+=1的左右交點分別為F1，F2，點P在橢圓上，且滿足?=9，則||?||的值為（）A．8 B．10 C．12 D．15【考點】橢圓的簡單性質；向量在幾何中的應用．【分析】根據橢圓的定義可判斷|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是橢圓+=1一點，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，?=9，即||?||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||?||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|?|PF2|﹣18=16，∴|PF1|?|PF2|=15，故選：D．二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13．過（3，2）點的直線與坐標軸的正半軸交于A，B兩點，△AOB面積的最小值12．【考點】直線的截距式方程．【分析】由題意設直線的截距式方程為=1（a，b＞0），可得=1，由基本不等式可得ab≥24，可得△AOB的面積S≥12，即可得出結論．【解答】解：由題意設直線的截距式方程為=1（a，b＞0），∵直線過（3，2），∴=1，∴1=≥2，∴ab≥24，當且僅當即a=6且b=4時取等號，∴△AOB的面積S=ab≥12，∴△AOB面積的最小值為12，故答案為：12．14．已知拋物線x2=4y的焦點F和點A（﹣1，8），點P為拋物線上一點，則|PA|+|PF|的最小值為9．【考點】拋物線的簡單性質；拋物線的定義．【分析】根據拋物線的標準方程求出焦點坐標和準線方程，利用拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到準線的距離）為所求．【解答】解：拋物線標準方程x2=4y，p=2，焦點F（0，1），準線方程為y=﹣1．設p到準線的距離為PM，（即PM垂直于準線，M為垂足），則|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（當且僅當P、A、M共線時取等號），故答案為9．15．已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則的值是．【考點】等差數列的性質．【分析】由a1，a3，a9成等比數列求得a1與d的關系，再代入即可．【解答】解：∵a1，a3，a9成等比數列，∴（a1+2d）2=a1?（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．16．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，其中a2=2，a5=16，則的最小值是9．【考點】等比數列的前n項和．【分析】由題意易得等比數列的公比和Sn和S2n，代入要求的式子由基本不等式可得．【解答】解：∵等比數列{an}的前n項和為Sn，a2=2，a5=16，∴等比數列{an}的公比q==2，∴a1=1，∴Sn===2n﹣1，∴S2n=22n﹣1，∴===2n++1≥2+1=9當且僅當2n=即n=2時取等號，∴的最小值為9故答案為：9三、解答題：本大題共6小題，共70分.17．已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負實數根；命題q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0無實數根．（1）若“￢p”為假命題，求m范圍；（2）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍．【考點】復合命題的真假；命題的否定．【分析】（1）根據四種命題之間的關系判斷即可；（2）通過討論p真q假，p假q真，從而得到m的范圍．【解答】解：（1）由p得：△1=m2﹣4＞0，﹣m＜0，則m＞2；（2）△2=16（m﹣2）2﹣16＜0，則1＜m＜3，∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，∴p，q一真一假，①p真q假時：，解得：m≥3，②p假q真時：，解得：1＜m≤2，∴m的取值范圍是：m≥3或1＜m≤2．18．設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）當A=30°時，求a的值；（Ⅱ）當△ABC的面積為3時，求a+c的值．【考點】解三角形．【分析】（Ⅰ）因為，可得，由正弦定理求出a的值．（Ⅱ）因為△ABC的面積=3，，可以求得ac=10，再由余弦定理可得a2+c2=20=（a+c）2﹣2ac，由此求出a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）因為，所以．…由正弦定理，可得．…所以．…（Ⅱ）因為△ABC的面積=3，且，所以，ac=10．…由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…得，即a2+c2=20．…所以（a+c）2﹣2ac=（a+c）2﹣20=20，故（a+c）2=40，…所以，．…19．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，拋物線上一點P點橫坐標為2，|PF|=3（1）求拋物線的方程；（2）過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）先求拋物線y2=2px（p＞0）的準線方程，根據拋物線的定義，將拋物線y2=2px（p＞0）上橫坐標為2的點到焦點的距離等于3，轉化為點到準線的距離為3，即可求得結論．（2）由拋物線方程求出焦點坐標，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點縱坐標的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．【解答】解：（1）由拋物線定義可知，|PF|=2+=3，∴p=2，∴拋物線方程為y2=4x．（2）由y2=34，得F（1，0）．∴過A，B的直線方程為y=（x﹣1），聯立得y2﹣4y﹣4=0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=|y1﹣y2|==4．20．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最??？【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】根據題意建立相應的函數模型是解決本題的關鍵．建立起函數的模型之后，根據函數的類型選擇合適的方法求解相應的最值問題，充分發(fā)揮導數的工具作用．【解答】解：設船速度為x（x＞0）時，燃料費用為Q元，則Q=kx3，由6=k×103可得，∴，∴總費用，，令y′=0得x=20，當x∈（0，20）時，y′＜0，此時函數單調遞減，當x∈（20，+∞）時，y′＞0，此時函數單調遞增，∴當x=20時，y取得最小值，答：此輪船以20公里/小時的速度使行駛每公里的費用總和最小．21．已知等差數列{an}，a2+a3+a4=15，an＞0，且a2，a3+4，a4+20為等比數列{bn}的前三項，（1）求{an}，{bn}的通項公式．（2）設數列dn=的前n項和為Tn，求Tn．（3）若數列cn=an?bn，求數列{cn}的前n和Sn．【考點】數列的求和．【分析】（1）設等差數列{an}的公差為d，運用等差數列的通項公式和等比數列的中項的性質和等比數列的通項公式，解方程即可得到所求；（2）求出dn===﹣，運用裂項相消求和，化簡即可得到所求和；（3）求得cn=an?bn=（2n﹣1）?3n，運用錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，化簡即可得到所求和．【解答】解：（1）設等差數列{an}的公差為d，a2+a3+a4=15，可得3a1+6d=15，①a2，a3+4，a4+20為等比數列{bn}的前三項，可得（a3+4）2=a2（a4+20），檢驗（a1+2d+4）2=（a1