山西省太原市萬柏林區(qū)第一中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省太原市萬柏林區(qū)第一中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如下圖所示將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n(n>l，n∈N*)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為，則…= A．

B．

C． D．參考答案：B略2.如圖所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A．1﹣ B．C．1﹣ D．與a的取值有關(guān)參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】欲求擊中陰影部分的概率，則可先求出擊中陰影部分的概率對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式易求解．【解答】解：利用幾何概型求解，圖中陰影部分的面積為：，則他擊中陰影部分的概率是：=1﹣，故選A．3.過點(diǎn)(2,-1)引直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線共有(

)條A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C略4.設(shè)各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10=10，S30=70，則S40等于(

)A．150 B．﹣200 C．150或﹣200 D．400或﹣50參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】綜合題．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)S10=10，S30=70，分別得到關(guān)于q的兩個(gè)關(guān)系式，兩者相除即可求出公比q的10次方的值，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示S40比S10的值，把q的10次方的值代入即可求出比值，根據(jù)比值即可得到S40的值．【解答】解：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)S10=10，S30=70得：S10==10，S30==70，則===7，得到1+q10+q20=7，即（q10）2+q10﹣6=0，解得q10=﹣3（舍去），q10=2，則====15，所以S40=15S10=150．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．5.一個(gè)四面體共一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱兩兩互相垂直，其長(zhǎng)分別為1、、3，且四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略6.在對(duì)兩個(gè)變量x、y進(jìn)行線性回歸分析時(shí)一般有下列步驟：（）①對(duì)所求出的回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)③求線性回歸方程；④求相關(guān)系數(shù)；⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．若根據(jù)實(shí)際情況能夠判定變量x、y具有線性相關(guān)性，則在下列操作順序中正確的是

A．①②⑤③④ B．③②④⑤① C．②④③①⑤ D．②⑤④③①參考答案：D7.若實(shí)數(shù)滿足，則直線必過定點(diǎn)（

）A．（-2，8） B．（2,8） C．（-2，-8） D．（2，-8）參考答案：D8.已知，是第四象限角，則（

）A.－7 B. C. D.7參考答案：A【分析】通過和差公式變形，然后可直接得到答案.【詳解】根據(jù)題意，是第四象限角，故，而，故答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查和差公式的運(yùn)用，難度不大.9.已知等差數(shù)列{an}中，公差d=2，an=11，Sn=35，則a1=（）A．5或7 B．3或5 C．7或﹣1 D．3或﹣1參考答案：【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由已知列關(guān)于首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)n的方程組求解．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由公差d=2，an=11，Sn=35，得，解得或．∴a1=3或﹣1．故選：D．10.若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）參考答案：C【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)于任意a、bG，都有abG；②存在，使對(duì)一切都有a=a=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算為融洽集，現(xiàn)有下列集合運(yùn)算：

⑴G={非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法

⑵G={偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法⑶G={平面向量}，為平面向量的加法

⑷G={二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法其中關(guān)于運(yùn)算的融洽集有____________參考答案：⑴⑵⑶略12.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

則的取值范圍是．參考答案：(－∞，－1]13.以這幾個(gè)數(shù)中任取個(gè)數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，則共有

種不同取法.參考答案：

解析：四個(gè)整數(shù)和為奇數(shù)分兩類：一奇三偶或三奇一偶，即14.給定下列命題：①“若m＞0，則方程x2+2x﹣m=0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件．③“矩形的對(duì)角線相等”的逆命題；④全稱命題“?x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+3≤0”其中真命題的序號(hào)是

．參考答案：①②④【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；25：四種命題間的逆否關(guān)系；2J：命題的否定；2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】①只需求△，②由原命題和逆否命題同真假，可判斷逆否命題的真假，③④按要求寫出命題再進(jìn)行判斷．【解答】解：①△=4+4m＞0，所以原命題正確，根據(jù)其逆否命題與原命題互為逆否命題，真假相同故其逆否命題是真命題，因此①正確；②x2﹣3x+2=0的兩個(gè)實(shí)根是1或2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，故②正確；③逆命題：“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”是假命題．④：“?x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“?x∈R，有x2+x+3≤0”，是真命題；故答案為①②④．15.不等式logsinx2x>logsinxx2在區(qū)間(0，2π)上的解是

。參考答案：(2，π)16.已知{an}為等差數(shù)列，a2+a8=，則S9等于

．參考答案：6【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的求和公式可得：S9==，代入可得．【解答】解：由等差數(shù)列的求和公式可得：S9====6故答案為：617.過橢圓+=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使得弦被M點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為．參考答案：x+2y﹣4=0【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得，兩式相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求直線的斜率，進(jìn)而可求直線方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由題意可得，兩式相減可得由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，==﹣∴所求的直線的方程為y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案為x+2y﹣4=0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知以點(diǎn)M為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)和，線段AB的垂直平分線交圓M于點(diǎn)C和D，且．（1）求直線CD的方程；（2）求圓M的方程．參考答案：（1）；（2）或.【分析】（1）先求得直線的斜率和的中點(diǎn)，進(jìn)而求得斜率，利用點(diǎn)斜式得直線方程．（2）設(shè)出圓心的坐標(biāo)，利用直線方程列方程，利用點(diǎn)到直線的距離確定和的等式綜合求得和，則圓的方程可得．【詳解】（1）直線的斜率，的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線的方程為（2）設(shè)圓心，則由點(diǎn)在上，得．①又直徑，，．②由①②解得或，圓心或圓的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．19.已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.參考答案：（1）（2）試題分析：（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點(diǎn)斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，曲線在處切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．20.已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：(1)由題意得解得.所以橢圓C的方程為.(2)由得.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為，，則，，，.所以|MN|===.由因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線的距離，所以△AMN的面積為.由，解得.略21.（本小題15分）已知：直線，圓（1）求圓的方程；（2）若直線與圓相切，求的值；[（3）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求的值。參考答案：（1）可設(shè)圓的方程為

-----（2分）

其中為圓的半徑，由題意可列方程：

，解得

-----（2分）

所以圓的方程為

----（2分）（2）因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑。