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山西省忻州市長征街聯(lián)合學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)處的切線方程是A.
B.
C.
D.參考答案:D2.函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值,則 (
)A. B. C. D.參考答案:D3.若A={x||x﹣|<1},B={x|≥1},定義A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B},則A×B=(
)A. B. C. D.(0,1]參考答案:B考點:交、并、補集的混合運算.專題:常規(guī)題型;新定義.分析:本題要抓住A×B={x|x∈A∪B且x?A∩B}中x所滿足的條件,然后求出A∪B、A∩B的解集,最后再求出(A∪B)∩(A∩B)解集即為所求.解答:解:∵A={x||x﹣|<1},B={x|≥1},∴,B={x|0<x≤1},∴A∩B={x|0<x≤1},,∴故選B.點評:理解題目A×B中x所滿足的條件是關(guān)鍵,同時要會求絕對值不等式和分式不等式的解集,會求兩個集合的交集、并集4.閱讀如右圖所示的程序框圖,如果輸入的的值為6,那么運行相應(yīng)程序,輸出的的值為(
)A.3
B.10
C.5
D.16參考答案:C5.已知正三角形ABC的邊長為2,D是BC邊的中點,將三角形ABC沿AD翻折,使,若三棱錐A﹣BCD的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.7π B.19π C. D.參考答案:A【考點】球的體積和表面積.【分析】通過底面三角形BCD求出底面圓的半徑DM,判斷球心到底面圓的距離OD,求出球O的半徑,即可求解球O的表面積.【解答】解:△BCD中,BD=1,CD=1,BC=,所以∠BDC=120°,底面三角形的底面圓半徑為:DM=CM=1,AD是球的弦,DA=,∴OM=,∴球的半徑OD=.該球的表面積為:4π×OD2=7π;故選:A6.直線x﹣3y+1=0的傾斜角為()A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案:A【考點】直線的傾斜角.【專題】計算題.【分析】先由直線的方程求出斜率,再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率,再結(jié)合傾斜角的范圍求出傾斜角.【解答】解:由題意,直線的斜率為即直線傾斜角的正切值是又傾斜角大于或等于0°且小于180°,故直線的傾斜角為30°,故選A.【點評】本題以直線為載體,考查由直線的方程求直線的斜率,直線的斜率和傾斜角的關(guān)系,應(yīng)注意直線傾斜角的范圍.7.已知x>0,y>0,且三數(shù)成等差數(shù)列,則的最小值為A.8
B.16
C.
D.參考答案:D8.如圖,三棱錐A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成的角的余弦值為()A. B. C. D.﹣參考答案:A【考點】異面直線及其所成的角.【分析】連結(jié)ND,取ND的中點E,連結(jié)ME,推導(dǎo)出異面直線AN,CM所成角就是∠EMC,通解三角形,能求出結(jié)果.【解答】解:連結(jié)ND,取ND的中點E,連結(jié)ME,則ME∥AN,∴∠EMC是異面直線AN,CM所成的角,∵AN=2,∴ME==EN,MC=2,又∵EN⊥NC,∴EC==,∴cos∠EMC===,∴異面直線AN,CM所成的角的余弦值為.故選:A.【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).9.以橢圓的頂點為頂點,離心率為的雙曲線方程(
)A.
B.
C.或
D.以上都不對參考答案:C略10.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x<0時,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)參考答案:D【考點】3L:函數(shù)奇偶性的性質(zhì);63:導(dǎo)數(shù)的運算;R1:不等式.【分析】先根據(jù)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0可確定'>0,進而可得到f(x)g(x)在(﹣∞,0)上遞增,結(jié)合函數(shù)f(x)與g(x)的奇偶性可確定f(x)g(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù),最后根據(jù)g(3)=0可求得答案.【解答】解:因f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即'>0故f(x)g(x)在(﹣∞,0)上遞增,又∵f(x),g(x)分別是定義R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),∴f(x)g(x)為奇函數(shù),關(guān)于原點對稱,所以f(x)g(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù).∵f(3)g(3)=0,∴f(﹣3)g(﹣3)=0所以f(x)g(x)<0的解集為:x<﹣3或0<x<3故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓經(jīng)過點和,且點在直線上,則圓的方程
參考答案:12.若的展開式中項的系數(shù)為,則的值為
參考答案:13.設(shè),在約束條件下,目標函數(shù)的最大值為4,則的值為__***___.參考答案:3略14.拋物線的準線方程是
.參考答案:15.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足,且當時,,則________.參考答案:1008【分析】由已知可得:,,由可得:是周期為的函數(shù),即可得到,問題得解.【詳解】由題可得:,由可得:是周期為函數(shù),所以所以【點睛】本題主要考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化能力,還考查了計算能力,屬于較易題。16.計算:
參考答案:17.設(shè)函數(shù),觀察:,,,,,根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當且時,
.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.
若是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,且成等比數(shù)列.(1)求等比數(shù)列的公比;(2)若,求的通項公式;(3)設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m.參考答案:解:∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴,
∵S1,S2,S4成等比數(shù)列,∴S1·S4=S22
∴,∴
∵公差d不等于0,∴
………3分
(1)
………4分
ks5u
(2)∵S2=4,∴,又,∴,∴
………6分(3)∵………7分∴…
………10分
要使對所有n∈N*恒成立,∴,………11分ks5u∵m∈N*,∴m的最小值為30
………12分19.銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為P(單位:萬元)和Q(單位:萬元),它們與投入資金(單位:萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.
今將3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品,其中對甲種商品投資(單位:萬元)(1)試建立總利潤(單位:萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指明函數(shù)定義域;(2)如何投資經(jīng)營甲、乙兩種商品,才能使得總利潤最大.參考答案:略20.在等比數(shù)列中,已知,求:(1)數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列的前項和.ks5u參考答案:解:(1)由已知,,易得2,所以數(shù)列的通項公式(2).略21.(滿分13分)從某校高三年級800名學(xué)生中隨機抽取50名測量身高,據(jù)測量被抽取的學(xué)生的身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160),第二組[160,165),……,第八組[190.195],下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)求第七組的頻數(shù)。(2)試估計這所學(xué)校高三年級800名學(xué)生中身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為多少;參考答案:(1)由條形圖得第七組頻率為1-(0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3)=0.06.3分0.06×50=3.
……………5分
∴第七組的人數(shù)為3人.
…………………6分(2)由條形圖得前五組頻率為(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82
………7分后三組頻率為1-0.82=0.18.
………11分估計這所學(xué)校高三年級身高在180cm以上(含180cm)的人數(shù)為800×0.18=144(人)
……………13分22..已知對任意的實數(shù)m,直線都不與曲線相切.(I)求實數(shù)的取值范圍;(II)當時,函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點P,使得點P到x軸的距離不小于.
參考答案:解:(I),
…………2分∵對任意,直線都不與相切,∴,,實數(shù)的取值范圍是;
…………4分(II)存在,證明方法1:問題等價于當時,,…………6分設(shè),則在上是偶函數(shù),故只要證明當時,,①當上單調(diào)遞增,且,
;
…………8分②當,列表:
在上遞減,在上遞增,
…………10分注意到,且,∴時,,時,,∴,…………12分由及,解得,此時成立.∴.由及,解得,此時成立.∴.∴
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