【教案】函數(shù)模型的應用-方程的根與函數(shù)的零點+教學設計人教A版（2019）必修第一冊

函數(shù)模型的應用——方程的根與函數(shù)的零點教學設計一．教學目標1.根據(jù)二次函數(shù)零點的定義抽象出一般函數(shù)零點的定義．在此過程中培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng)；2.通過對一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點以及二次函數(shù)的圖像與x軸的交點的橫坐標之間的關系的認識，推斷出一般的方程的根與相應的函數(shù)圖像與x軸交點橫坐標、函數(shù)零點的等價關系．在此過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力以及對數(shù)形結合思想的應用；3.通過分析具體二次函數(shù)零點附近的圖像和函數(shù)值的特征，再結合更多函數(shù)圖像，通過觀察、對比、分析、總結歸納出函數(shù)零點存在的條件，得出函數(shù)零點存在定理。在此過程中培養(yǎng)學生直觀想象，數(shù)學運算，數(shù)學建模等核心素養(yǎng)．二．教學重難點：函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點與方程的解的關系，以及函數(shù)零點存在定理．三．教學過程：函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)內一定有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的解．根據(jù)前面的探究以及定理的內容請同學們思考以下問題：問題1.f(a)·f(b)<0則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點。

問題2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內零點，則f(a)·f(b)<0。

問題3.f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內只有一個零點。

函數(shù)零點存在定理的三個注意點：

1.函數(shù)是連續(xù)的。

2.定理不可逆。

3.至少存在一個零點。

思考：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，再加上什么條件就能保證函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點？再加上條件：在區(qū)間上單調，則函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點．例1.求方程的實數(shù)解的個數(shù)．解：根據(jù)方程的跟與函數(shù)零點的關系，我們將方程的解的問題轉化為函數(shù)的零點問題：學生回答解法一：根據(jù)表1結合函數(shù)的單調性，畫出函數(shù)的圖像如圖2所示，由圖可知函數(shù)有且只有一個零點，即方程只有一個實數(shù)解．表1xy1-42-1．306931．098643．386355．609467．791879．9459812．0794914．1972設函數(shù)解法二：因為，，即，且函數(shù)圖象在定義越(0，+∞)上連續(xù)．由函數(shù)零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間(2，3)內至少有一個零點．另外，對于函數(shù)，x∈(0，+∞)，可以先將其轉化為兩個基本函數(shù)與，由于它們在(0，+∞)內都單調遞增，所以函數(shù)在(0，+∞)內是增函數(shù)．兩方面結合，可以判定它只有一個零點，即相應方程只有一個實數(shù)解．解法三：由函數(shù)和函數(shù)的圖像可知，這兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點，即方程只有一個實數(shù)解．練習