有限元基礎教程(緒論)

FiniteElementMethodandANSYS程強有限元分析及ANSYS北京工業(yè)大學機電學院課程設置英文名稱：FiniteelementmethodandANSYS課程類型：專業(yè)選修學時：32學分：2適用對象：機械制造及自動化專業(yè)本科生先修課程：線性代數、理論力學，材料力學使用教材及參考書：《有限元分析基礎教程》，曾攀，清華大學，2008Ansys軟件課程教學基本要求本課程教學環(huán)節(jié)主要包括：課堂講授（20學時）、作業(yè)、上機計算（12學時）。每章布置1-2道習題，以鞏固所學的理論。不單設考試，以大作業(yè)的報告、平時作業(yè)和考勤綜合評定成績。課程設置及要求緒論1.1概況1.2有限元方法的歷史1.3有限元分析的內容和作用1.4有限元分析的一般過程1.5有限元法的基本概念1.6有限元法的發(fā)展趨勢1概況

有限元方法(finiteelementmethod)或有限元分析(finiteelementanalysis)，是求取復雜微分方程近似解的一種非常有效的工具，是現代數字化科技的一種重要基礎性原理。有限元分析必須包含三個方面：

(1)有限元方法的基本數學力學原理；

(2)基于原理所形成的實用軟件；

(3)使用時的計算機硬件。隨著現代計算機技術的發(fā)展，一般的個人計算機就能滿足第(3)方面的要求；因此，本課的重點將在以上的第(1)和第(2)方面，將通過一些典型的實例來深入淺出地系統闡述有限元分析的基本原理，并強調原理的工程背景和物理概念。1概況有限元法：也稱為有限單元法或有限元素法，基本思想是將求解區(qū)域離散為一組有限個、且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體。由于單元可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應復雜的幾何形狀、復雜的材料特性和復雜的邊界條件。它是將彈性理論、計算數學和計算機軟件有機地結合在一起的一種數值計算方法。

任何連續(xù)體都可以假想地分割成有限個簡單形狀單元體的組合，在有限元法中將這些簡單形狀的單元體稱為單元，把單元與單元之間設置的相互連接點，稱為節(jié)點，如圖1.1所示。從理論上說，單元的分割可以是任意的，不過在實際計算中必須根據研究對象的特點，使單元分割既滿足力學分析要求，又能使計算簡便。圖1.1單元與節(jié)點左圖所示,為分析齒輪上一個齒內的應力分布,可分析圖中所示的一個平面截面內位移分布.作為近似解,可以先求出圖中各三角形頂點的位移.這里的三角形就是單元,其頂點就是節(jié)點。

從物理角度理解,

可把一個連續(xù)的齒形截面單元之間在節(jié)點處以鉸鏈相鏈接,由單元組合而成的結構近似代替原連續(xù)結構,在一定的約束條件下,在給定的載荷作用下,就可以求出各節(jié)點的位移,進而求出應力.

從數學角度理解,

把這個求解區(qū)域剖分成許多三角形子域,子域內的位移可用相應各節(jié)點的待定位移合理插值來表示.例如:1概況真實系統有限元模型

有限元模型

是真實系統理想化的數學抽象。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點連接，并承受一定載荷。定義1概況2有限元方法的歷史數學力學理論研究方面（國外）：1，1870年，英國科學家Rayleigh采用假想的“試函數”來求解復雜的微分方程，1909年Ritz將其發(fā)展成為完善的數值近似方法，為現代有限元方法打下堅實基礎。2，1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項式函數來求解扭轉問題的論文；3，1956年波音公司的研究人員在分析飛機結構時系統研究了離散桿、梁、三角形的單元剛度表達式；4，1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法”

的名稱；5，1955年德國的Argyris出版了第一本關于結構分析中的能量原理和矩陣方法的書，為后續(xù)的有限元研究奠定了重要的基礎。2有限元方法的歷史數學力學理論研究方面（國內）：我國的一些學者也在有限元領域做出了重要的貢獻：1.胡海昌于1954提出了廣義變分原理；2.錢偉長研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間關系；3.錢令希研究了力學分析的余能原理；4.馮康獨立地、并先于西方奠定了有限元分析收斂性的理論基礎。2有限元方法的歷史有限元軟件應用及學術論文：

隨著計算機技術的飛速發(fā)展，基于有限元方法原理的軟件大量出現，并在實際工程中發(fā)揮了愈來愈重要的作用；目前，專業(yè)的著名有限元分析軟件公司有幾十家，國際上著名的通用有限元分析軟件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，還有一些專門的有限元分析軟件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等；國際上著名的主要有限元分析軟件狀況見表1-1。有關有限元分析的學術論文，每年也不計其數，學術活動非?；钴S，表1-2列出的是刊登有限元分析論文的常見學術期刊。刊登有限元分析論文的常見學術期刊1-2國際上著名的主要有限元分析軟件狀況見表1-1有限元方法的發(fā)展過程見圖1-12有限元方法的歷史有限元方法的主要創(chuàng)始人：

1.RichardCourant(美國數學家),1910年在哥廷根大學獲得博士學位,1928年創(chuàng)辦了應用數學研究所，并在1928～1933年擔任所長，開始應用數學的研究，1936年去紐約大學創(chuàng)立了數學研究所，1964年該研究所被命名為Courant數學科學研究所，Courant的名字還與有限元方法緊密聯系在一起，是他給這種數值求解偏微分方程以堅實的理論基礎，“Courant–Friedrichs–Lewy條件”以及“Courant最小值原理”都是以他的名字命名的重要定理。2有限元方法的歷史有限元方法的主要創(chuàng)始人：

2.JohnArgyris(德國人)被譽為有限元分析的發(fā)明人和創(chuàng)始者之一，所創(chuàng)立的力學分析的矩陣位移方法為有限元方法的前身，被稱為世界上最先進的數學工具，先后因在有限元方法以及混沌理論方面的貢獻而獲得菲利普王子獎章、美國最高榮譽的愛因斯坦獎，獲得包括5個G8國家在內的由16發(fā)達國家授予的杰出科技與工程獎；Argyris于1950年代在斯圖加特大學創(chuàng)立計算機應用研究所，開發(fā)了幾個著名的在歐洲廣泛使用的有限元分析商業(yè)化軟件，在有限元方法的應用方面也作出了杰出的貢獻。2有限元方法的歷史有限元方法的主要創(chuàng)始人：

3.OlgierdCecilZienkiewiz(英國人)。在1968年，創(chuàng)辦了InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering雜志并任主編，該雜志至今仍然是該領域的主要刊物。Zienkiewiez教授還是5所科學院的院士，這是對他在有限元方法領域的奠基性發(fā)展和貢獻的贊譽。1967年，他出版了有限元領域的第一本專著《有限元方法》，該書目前也出版到第5版，可參見《有限元方法第1卷：基本原理)(清華大學出版社，2008)。3有限元分析的作用基于功能完善的有限元分析軟件和高性能的計算機硬件對設計的結構進行詳細的力學分析，以獲得盡可能真實的結構受力信息，就可以在設計階段對可能出現的各種問題進行安全評判和設計參數修改，據有關資料，一個新產品的問題有60％以上可以在設計階段消除，甚至有的結構的施工過程也需要進行精細的設計，要做到這一點，就需要類似有限元分析這樣的分析手段。

下面舉出幾個涉及機械工程、土木工程、車輛工程、航空工程以及生物工程的實例。

ANSYS中支架計算模型ANSYS中計算模型的網格劃分圖計算得出的支架變形圖支架應力彩圖支架變形的動畫圖立體車庫變形應力彩圖這是一個對模型飛機翅膀的模態(tài)分析的例題3有限元分析的作用

奧運場館的鳥巢是建設中最艱難的，枝蔓重達42000T，其中，頂蓋以及周邊懸空部位重量為14000T。在施工時，采用了78根支柱進行支撐，也就是產生了78個受力區(qū)域，在鋼結構焊接完成后，需要將其緩慢而又平穩(wěn)地卸去，讓鳥巢變成完全靠自身結構支撐；如何卸載？圖1-2北京奧運場館鳥巢的鋼鐵枝蔓結構支撐塔架奧運鳥巢的有限元模型3有限元分析的作用圖1-3給出的是現代列車車廂整體結構的有限元分析模型3有限元分析的作用圖1-4為空客A350后機身第19框的設計與有限元分析過程3有限元分析的作用圖1-5為人體肩部區(qū)域的骨胳有限元分析模型及計算結果3有限元分析的作用圖1-6為精密臥式加工中心有限元分析模型及計算結果3有限元分析的作用圖1-7為龍門銑床的有限元分析模型及計算結果4、有限元分析問題的一般過程確定位移模式單元特性分析單元剛度矩陣整體分析整體剛度矩陣解方程組輸出計算結果選擇結果表示形式結構離散化選擇單元類型引入邊界條件解釋結果直接平衡法；功和能量法；加權殘余法消元法；迭代法疊加法5有限元法的基本概念結構離散（有限元建模）內容：1）網格劃分---即把結構按一定規(guī)則分割成有限單元

2）邊界處理---即把作用于結構邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷要求：1）離散結構必須與原始結構保形----單元的幾何特性

2）一個單元內的物理特性必須相同----單元的物理特性單元與節(jié)點單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結構域。節(jié)點：單元與單元間的連接點。節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別；

2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別。節(jié)點載荷節(jié)點力非法結構離散不同材料節(jié)點不合法典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數節(jié)點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題

32板殼單元43四面體單元43插值函數（或位移函數）用以表示單元內物理量變化（如位移或位移場）的近似函數。由于該近似函數常由單元節(jié)點物理量值插值構成，故稱為插值函數，如單元內物理量為位移，則該函數稱為位移函數。選擇位移函數的一般原則：1）位移函數在單元節(jié)點的值應等于節(jié)點位移（即單元內部是連續(xù)的）；2）所選位移函數必須保證有限元的解收斂于真實解。注：為了便于微積分運算，位移函數一般采用多項式形式，在單元內選取適當階次的多項式可得到與真實解接近的近似解.位移函數的構造方法（廣義坐標法）廣義坐標法一維單元位移函數：為待定系數，也稱為廣義坐標位移函數的構造方法（插值函數法）插值函數法即將位移函數表示為各個節(jié)點位移與已知插值基函數積的和。如一維單元二維單元注：Ni可為Lagrange、Hamiton多項式或形函數，在+1~-1間變化6有限元方法的發(fā)展趨勢1、與CAD軟件的無縫集成在用CAD軟件完成部件和零件的造型設計后，能直接將模型傳送到CAE軟件中進行有限元網格劃分并進行分析計算，如果分析的結果不滿足設計要求則重新進行設計和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復雜工程問題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE軟件為了實現和CAD軟件的無縫集成而采用了CAD的建模技術，如ADINA軟件由于采用了基于Parasolid內核的實體建模技術，能和以Parasolid為核心的CAD軟件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）實現真正無縫的雙向數據交換。6有限元方法的發(fā)展趨勢2、更為強大的網格處理能力網格生成的質量和效率都有了很大的提高，但在有些方面卻一直沒有得到改進，如對三維實體模型進行自動六面體網格劃分和根據求解結果對模型進行自適應網格劃分。

自適應性網格劃分是指在現有網格基礎上，根據有限元計算結果估計計算誤差、重新劃分網格和再計算的一個循環(huán)過程。對于許多工程實際問題，在整個求解過程中，模型的某些區(qū)域將會產生很大的應變，引起單元畸變，從而導致求解不能進行下去或求解結果不正確，因此必須進行網格自動重劃分。自適應網格往往是許多工程問題如裂紋擴展、薄板成形等大應變分析的必要條件。6有限元方法的發(fā)展趨勢3、由求解線性問題發(fā)展到求解非線性問題許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進行非線性分析求解。例如：薄板成形就要求同時考慮結構的大位移、大應變（幾何非線性）和塑性（材料非線性）；而對塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應時則必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問題的求解是很復雜的，它不僅涉及到很多專門的數學問題，還必須掌握一定的理論知識和求解技巧，學習起來也較為困難。為此國外一些公司花費了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如ADINA、ABAQUS等。它們的共同特點是具有高效的非線性求解器、豐富而實用的非線性材料庫，ADINA還同時具有隱式和顯式兩種時間積分方法。6有限元方法的發(fā)展趨勢4