有限元基礎(chǔ)教程(緒論)

FiniteElementMethodandANSYS程強(qiáng)有限元分析及ANSYS北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院課程設(shè)置英文名稱：FiniteelementmethodandANSYS課程類型：專業(yè)選修學(xué)時(shí)：32學(xué)分：2適用對象：機(jī)械制造及自動化專業(yè)本科生先修課程：線性代數(shù)、理論力學(xué)，材料力學(xué)使用教材及參考書：《有限元分析基礎(chǔ)教程》，曾攀，清華大學(xué)，2008Ansys軟件課程教學(xué)基本要求本課程教學(xué)環(huán)節(jié)主要包括：課堂講授（20學(xué)時(shí)）、作業(yè)、上機(jī)計(jì)算（12學(xué)時(shí)）。每章布置1-2道習(xí)題，以鞏固所學(xué)的理論。不單設(shè)考試，以大作業(yè)的報(bào)告、平時(shí)作業(yè)和考勤綜合評定成績。課程設(shè)置及要求緒論1.1概況1.2有限元方法的歷史1.3有限元分析的內(nèi)容和作用1.4有限元分析的一般過程1.5有限元法的基本概念1.6有限元法的發(fā)展趨勢1概況

有限元方法(finiteelementmethod)或有限元分析(finiteelementanalysis)，是求取復(fù)雜微分方程近似解的一種非常有效的工具，是現(xiàn)代數(shù)字化科技的一種重要基礎(chǔ)性原理。有限元分析必須包含三個(gè)方面：

(1)有限元方法的基本數(shù)學(xué)力學(xué)原理；

(2)基于原理所形成的實(shí)用軟件；

(3)使用時(shí)的計(jì)算機(jī)硬件。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一般的個(gè)人計(jì)算機(jī)就能滿足第(3)方面的要求；因此，本課的重點(diǎn)將在以上的第(1)和第(2)方面，將通過一些典型的實(shí)例來深入淺出地系統(tǒng)闡述有限元分析的基本原理，并強(qiáng)調(diào)原理的工程背景和物理概念。1概況有限元法：也稱為有限單元法或有限元素法，基本思想是將求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體。由于單元可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件。它是將彈性理論、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)軟件有機(jī)地結(jié)合在一起的一種數(shù)值計(jì)算方法。

任何連續(xù)體都可以假想地分割成有限個(gè)簡單形狀單元體的組合，在有限元法中將這些簡單形狀的單元體稱為單元，把單元與單元之間設(shè)置的相互連接點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)，如圖1.1所示。從理論上說，單元的分割可以是任意的，不過在實(shí)際計(jì)算中必須根據(jù)研究對象的特點(diǎn)，使單元分割既滿足力學(xué)分析要求，又能使計(jì)算簡便。圖1.1單元與節(jié)點(diǎn)左圖所示,為分析齒輪上一個(gè)齒內(nèi)的應(yīng)力分布,可分析圖中所示的一個(gè)平面截面內(nèi)位移分布.作為近似解,可以先求出圖中各三角形頂點(diǎn)的位移.這里的三角形就是單元,其頂點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)。

從物理角度理解,

可把一個(gè)連續(xù)的齒形截面單元之間在節(jié)點(diǎn)處以鉸鏈相鏈接,由單元組合而成的結(jié)構(gòu)近似代替原連續(xù)結(jié)構(gòu),在一定的約束條件下,在給定的載荷作用下,就可以求出各節(jié)點(diǎn)的位移,進(jìn)而求出應(yīng)力.

從數(shù)學(xué)角度理解,

把這個(gè)求解區(qū)域剖分成許多三角形子域,子域內(nèi)的位移可用相應(yīng)各節(jié)點(diǎn)的待定位移合理插值來表示.例如:1概況真實(shí)系統(tǒng)有限元模型

有限元模型

是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。定義1概況2有限元方法的歷史數(shù)學(xué)力學(xué)理論研究方面（國外）：1，1870年，英國科學(xué)家Rayleigh采用假想的“試函數(shù)”來求解復(fù)雜的微分方程，1909年Ritz將其發(fā)展成為完善的數(shù)值近似方法，為現(xiàn)代有限元方法打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。2，1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的論文；3，1956年波音公司的研究人員在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)式；4，1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法”

的名稱；5，1955年德國的Argyris出版了第一本關(guān)于結(jié)構(gòu)分析中的能量原理和矩陣方法的書，為后續(xù)的有限元研究奠定了重要的基礎(chǔ)。2有限元方法的歷史數(shù)學(xué)力學(xué)理論研究方面（國內(nèi)）：我國的一些學(xué)者也在有限元領(lǐng)域做出了重要的貢獻(xiàn)：1.胡海昌于1954提出了廣義變分原理；2.錢偉長研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間關(guān)系；3.錢令希研究了力學(xué)分析的余能原理；4.馮康獨(dú)立地、并先于西方奠定了有限元分析收斂性的理論基礎(chǔ)。2有限元方法的歷史有限元軟件應(yīng)用及學(xué)術(shù)論文：

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，基于有限元方法原理的軟件大量出現(xiàn)，并在實(shí)際工程中發(fā)揮了愈來愈重要的作用；目前，專業(yè)的著名有限元分析軟件公司有幾十家，國際上著名的通用有限元分析軟件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，還有一些專門的有限元分析軟件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等；國際上著名的主要有限元分析軟件狀況見表1-1。有關(guān)有限元分析的學(xué)術(shù)論文，每年也不計(jì)其數(shù)，學(xué)術(shù)活動非?；钴S，表1-2列出的是刊登有限元分析論文的常見學(xué)術(shù)期刊?？怯邢拊治稣撐牡某Ｒ妼W(xué)術(shù)期刊1-2國際上著名的主要有限元分析軟件狀況見表1-1有限元方法的發(fā)展過程見圖1-12有限元方法的歷史有限元方法的主要?jiǎng)?chuàng)始人：

1.RichardCourant(美國數(shù)學(xué)家),1910年在哥廷根大學(xué)獲得博士學(xué)位,1928年創(chuàng)辦了應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，并在1928～1933年擔(dān)任所長，開始應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究，1936年去紐約大學(xué)創(chuàng)立了數(shù)學(xué)研究所，1964年該研究所被命名為Courant數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，Courant的名字還與有限元方法緊密聯(lián)系在一起，是他給這種數(shù)值求解偏微分方程以堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，“Courant–Friedrichs–Lewy條件”以及“Courant最小值原理”都是以他的名字命名的重要定理。2有限元方法的歷史有限元方法的主要?jiǎng)?chuàng)始人：

2.JohnArgyris(德國人)被譽(yù)為有限元分析的發(fā)明人和創(chuàng)始者之一，所創(chuàng)立的力學(xué)分析的矩陣位移方法為有限元方法的前身，被稱為世界上最先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具，先后因在有限元方法以及混沌理論方面的貢獻(xiàn)而獲得菲利普王子獎(jiǎng)?wù)?、美國最高榮譽(yù)的愛因斯坦獎(jiǎng)，獲得包括5個(gè)G8國家在內(nèi)的由16發(fā)達(dá)國家授予的杰出科技與工程獎(jiǎng)；Argyris于1950年代在斯圖加特大學(xué)創(chuàng)立計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所，開發(fā)了幾個(gè)著名的在歐洲廣泛使用的有限元分析商業(yè)化軟件，在有限元方法的應(yīng)用方面也作出了杰出的貢獻(xiàn)。2有限元方法的歷史有限元方法的主要?jiǎng)?chuàng)始人：

3.OlgierdCecilZienkiewiz(英國人)。在1968年，創(chuàng)辦了InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering雜志并任主編，該雜志至今仍然是該領(lǐng)域的主要刊物。Zienkiewiez教授還是5所科學(xué)院的院士，這是對他在有限元方法領(lǐng)域的奠基性發(fā)展和貢獻(xiàn)的贊譽(yù)。1967年，他出版了有限元領(lǐng)域的第一本專著《有限元方法》，該書目前也出版到第5版，可參見《有限元方法第1卷：基本原理)(清華大學(xué)出版社，2008)。3有限元分析的作用基于功能完善的有限元分析軟件和高性能的計(jì)算機(jī)硬件對設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的力學(xué)分析，以獲得盡可能真實(shí)的結(jié)構(gòu)受力信息，就可以在設(shè)計(jì)階段對可能出現(xiàn)的各種問題進(jìn)行安全評判和設(shè)計(jì)參數(shù)修改，據(jù)有關(guān)資料，一個(gè)新產(chǎn)品的問題有60％以上可以在設(shè)計(jì)階段消除，甚至有的結(jié)構(gòu)的施工過程也需要進(jìn)行精細(xì)的設(shè)計(jì)，要做到這一點(diǎn)，就需要類似有限元分析這樣的分析手段。

下面舉出幾個(gè)涉及機(jī)械工程、土木工程、車輛工程、航空工程以及生物工程的實(shí)例。

ANSYS中支架計(jì)算模型ANSYS中計(jì)算模型的網(wǎng)格劃分圖計(jì)算得出的支架變形圖支架應(yīng)力彩圖支架變形的動畫圖立體車庫變形應(yīng)力彩圖這是一個(gè)對模型飛機(jī)翅膀的模態(tài)分析的例題3有限元分析的作用

奧運(yùn)場館的鳥巢是建設(shè)中最艱難的，枝蔓重達(dá)42000T，其中，頂蓋以及周邊懸空部位重量為14000T。在施工時(shí)，采用了78根支柱進(jìn)行支撐，也就是產(chǎn)生了78個(gè)受力區(qū)域，在鋼結(jié)構(gòu)焊接完成后，需要將其緩慢而又平穩(wěn)地卸去，讓鳥巢變成完全靠自身結(jié)構(gòu)支撐；如何卸載？圖1-2北京奧運(yùn)場館鳥巢的鋼鐵枝蔓結(jié)構(gòu)支撐塔架奧運(yùn)鳥巢的有限元模型3有限元分析的作用圖1-3給出的是現(xiàn)代列車車廂整體結(jié)構(gòu)的有限元分析模型3有限元分析的作用圖1-4為空客A350后機(jī)身第19框的設(shè)計(jì)與有限元分析過程3有限元分析的作用圖1-5為人體肩部區(qū)域的骨胳有限元分析模型及計(jì)算結(jié)果3有限元分析的作用圖1-6為精密臥式加工中心有限元分析模型及計(jì)算結(jié)果3有限元分析的作用圖1-7為龍門銑床的有限元分析模型及計(jì)算結(jié)果4、有限元分析問題的一般過程確定位移模式單元特性分析單元?jiǎng)偠染仃囌w分析整體剛度矩陣解方程組輸出計(jì)算結(jié)果選擇結(jié)果表示形式結(jié)構(gòu)離散化選擇單元類型引入邊界條件解釋結(jié)果直接平衡法；功和能量法；加權(quán)殘余法消元法；迭代法疊加法5有限元法的基本概念結(jié)構(gòu)離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元

2）邊界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形----單元的幾何特性

2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同----單元的物理特性單元與節(jié)點(diǎn)單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。節(jié)點(diǎn)：單元與單元間的連接點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)力：單元與單元間通過節(jié)點(diǎn)的相互作用力節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別；

2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別。節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)力非法結(jié)構(gòu)離散不同材料節(jié)點(diǎn)不合法典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點(diǎn)數(shù)節(jié)點(diǎn)自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題

32板殼單元43四面體單元43插值函數(shù)（或位移函數(shù)）用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點(diǎn)物理量值插值構(gòu)成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。選擇位移函數(shù)的一般原則：1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。注：為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解.位移函數(shù)的構(gòu)造方法（廣義坐標(biāo)法）廣義坐標(biāo)法一維單元位移函數(shù)：為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo)位移函數(shù)的構(gòu)造方法（插值函數(shù)法）插值函數(shù)法即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值基函數(shù)積的和。如一維單元二維單元注：Ni可為Lagrange、Hamiton多項(xiàng)式或形函數(shù)，在+1~-1間變化6有限元方法的發(fā)展趨勢1、與CAD軟件的無縫集成在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，能直接將模型傳送到CAE軟件中進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分并進(jìn)行分析計(jì)算，如果分析的結(jié)果不滿足設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。為了滿足工程師快捷地解決復(fù)雜工程問題的要求，許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE軟件為了實(shí)現(xiàn)和CAD軟件的無縫集成而采用了CAD的建模技術(shù)，如ADINA軟件由于采用了基于Parasolid內(nèi)核的實(shí)體建模技術(shù)，能和以Parasolid為核心的CAD軟件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）實(shí)現(xiàn)真正無縫的雙向數(shù)據(jù)交換。6有限元方法的發(fā)展趨勢2、更為強(qiáng)大的網(wǎng)格處理能力網(wǎng)格生成的質(zhì)量和效率都有了很大的提高，但在有些方面卻一直沒有得到改進(jìn)，如對三維實(shí)體模型進(jìn)行自動六面體網(wǎng)格劃分和根據(jù)求解結(jié)果對模型進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分。

自適應(yīng)性網(wǎng)格劃分是指在現(xiàn)有網(wǎng)格基礎(chǔ)上，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果估計(jì)計(jì)算誤差、重新劃分網(wǎng)格和再計(jì)算的一個(gè)循環(huán)過程。對于許多工程實(shí)際問題，在整個(gè)求解過程中，模型的某些區(qū)域?qū)a(chǎn)生很大的應(yīng)變，引起單元畸變，從而導(dǎo)致求解不能進(jìn)行下去或求解結(jié)果不正確，因此必須進(jìn)行網(wǎng)格自動重劃分。自適應(yīng)網(wǎng)格往往是許多工程問題如裂紋擴(kuò)展、薄板成形等大應(yīng)變分析的必要條件。6有限元方法的發(fā)展趨勢3、由求解線性問題發(fā)展到求解非線性問題許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴(kuò)展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進(jìn)行非線性分析求解。例如：薄板成形就要求同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的大位移、大應(yīng)變（幾何非線性）和塑性（材料非線性）；而對塑料、橡膠、陶瓷、混凝土及巖土等材料進(jìn)行分析或需考慮材料的塑性、蠕變效應(yīng)時(shí)則必須考慮材料非線性。眾所周知，非線性問題的求解是很復(fù)雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題，還必須掌握一定的理論知識和求解技巧，學(xué)習(xí)起來也較為困難。為此國外一些公司花費(fèi)了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件，如ADINA、ABAQUS等。它們的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器、豐富而實(shí)用的非線性材料庫，ADINA還同時(shí)具有隱式和顯式兩種時(shí)間積分方法。6有限元方法的發(fā)展趨勢4