冪級(jí)數(shù)解法本征值問題

冪級(jí)數(shù)解法本征值問題第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日系對(duì)其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會(huì)出

微分方程．這向我們提出求解帶初始條件的線性二階?，F(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程．它們大多是二階線性常微分方程定解問題.不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常微分方程

（13.1.1）第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中

為復(fù)變數(shù)，

為選定的點(diǎn)，為復(fù)常數(shù)．

這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級(jí)數(shù)解法解出．所謂冪級(jí)數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級(jí)數(shù)，

代入方程以逐個(gè)確定系數(shù)．第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍的方法，適用范圍較廣，

可借助于解析函數(shù)的理論進(jìn)行討論．

求得的解既然是級(jí)數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題．盡管冪級(jí)數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程的求解問題中．1．方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)概念第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日定義13.1.1常點(diǎn)奇點(diǎn)

如果方程（）的系數(shù)函數(shù)

和在選定的點(diǎn)的鄰域

中是解析的，則點(diǎn)方程（13.1.1）的常點(diǎn).

如果選定的點(diǎn)是或的奇點(diǎn)，則點(diǎn)

叫作方程（13.1.1）的奇點(diǎn)．叫作第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日2.常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解定理定理

若方程（）的系數(shù)

關(guān)于線性二階常微分方程在常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解，有下面的定理．和為點(diǎn)的鄰域中的解析函數(shù)，

則方程在這圓中存在唯一的解析解

滿足初始條件，其中是任意給定的復(fù)常數(shù)．第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級(jí)數(shù).

既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)的鄰域上存在唯一的解析解，

（13.1.2）其中為待定系數(shù)

第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日為了確定級(jí)數(shù)解（）中的系數(shù)，具體的做法是以

（）代入方程（），合并同冪項(xiàng)，令合并后的系數(shù)分別為零，找出系數(shù)之間的遞推關(guān)系，

最后用已給的初值，來確定各個(gè)系數(shù)從而求得確定的級(jí)數(shù)解．下面以階勒讓德方程為例，具體說明級(jí)數(shù)解法的步驟．

第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日15．1．2常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解法勒讓德方程的求解注明：推導(dǎo)解的過程僅供了解求解的方法，讀者可直接參考其結(jié)論.由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在鄰域上求解階勒讓德方程

第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日即為

故方程的系數(shù)

在，單值函數(shù)，均為有限值，它們必然在解析．

第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日點(diǎn)故可設(shè)勒讓德方程具有是方程的常點(diǎn)．根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理，解具有泰勒級(jí)數(shù)形式.（13.1.3）

泰勒級(jí)數(shù)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系（13.1.4）第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日因此，由任意常數(shù)

可計(jì)算出任一系數(shù)

．首先在（13.1.4）中令可得偶次項(xiàng)的系數(shù)(13.1.5)令，則可得奇次項(xiàng)的系數(shù)

第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日將它們代入解的表達(dá)式中，得到勒讓德方程解的形式

(13.1.7)(13.1.6)其中

分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)，

第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日不是整數(shù)時(shí)，無窮級(jí)數(shù)，容易求得其收斂半徑均為1

時(shí)，發(fā)散于無窮

是非負(fù)整數(shù)

遞推公式（13.1.4）

是偶數(shù)時(shí)，是一個(gè)次多項(xiàng)式，但函數(shù)

為在處發(fā)散至無窮的無窮級(jí)數(shù)

是奇數(shù)時(shí)，

是次多項(xiàng)式，而仍然是在處無界的無窮級(jí)數(shù)．

是負(fù)整數(shù)時(shí)

一個(gè)是多項(xiàng)式，另一個(gè)是無界的無窮級(jí)數(shù)

第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日所以不妨設(shè)

導(dǎo)出這個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式,是非負(fù)整數(shù)（因在實(shí)際問題中一般總要求有界解）．

把系數(shù)遞推公式（13.1.4）改寫成(13.1.8)于是可由多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)來表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日取多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)為(13.1.9)第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日這樣取主要是為了使所得多項(xiàng)式在處取值為1，即實(shí)現(xiàn)歸一化.可得系數(shù)的一般式為(13.1.10)因此，我們得出結(jié)論：第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日是非負(fù)偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解（13.1.11）是正奇數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.12)對(duì)上述討論進(jìn)行綜合，若用表示不大于的整數(shù)部分，用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解（13.1.13）第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日我們已經(jīng)指出，在是非負(fù)整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的基本解組

中只有一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式，也稱為第一類勒讓德函數(shù)；另一個(gè)是無窮級(jí)數(shù)，這個(gè)無窮級(jí)數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)，記為大寫的．可以得出它們的關(guān)系（13.1.14）第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)過計(jì)算后，可以通過對(duì)數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為(13.1.15)特別地第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.16)可以證明這樣定義的，其遞推公式和的遞推公式具有相同的形式．而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個(gè)獨(dú)立解的線性疊加第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日（13.1.17）但是在滿足自然邊界（即要求定解問題在邊界上有限）的形式容易看出，它在端點(diǎn)處是無界的，故必須取常數(shù)．從而勒讓德方程的解就只有第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式：

第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日注：法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre1725～1833）最早專門研究過在球坐標(biāo)系中求解數(shù)學(xué)物理方程問題時(shí)所遇到的一類特殊函數(shù)．由于這類函數(shù)具有多項(xiàng)式形式，所以命名這類函數(shù)為勒讓德函數(shù).綜合可得如下結(jié)論：（1）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間上無有界的解．

第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程的通解為，其中稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項(xiàng)式），

稱為第二類勒讓德函數(shù).為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一

類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式．因?yàn)榈诙惖诙屙?，共五十一頁?022年，8月28日勒讓德函數(shù)在閉區(qū)間上是無界的．13.1.3奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來討論這個(gè)方程的冪級(jí)數(shù)解法．按慣例，仍以表示自變量，以表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為(13.1.18)第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)（這里特用而不是，表示可以取任意數(shù)）．但在本書中由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)只限于取實(shí)數(shù)，項(xiàng)，所以在討論時(shí)，不妨?xí)合燃俣ㄗ⒁庠谪惾麪柗匠讨?，因?yàn)楣蕿榈钠纥c(diǎn)

第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日下面介紹奇點(diǎn)鄰域的冪級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程的求解．設(shè)方程（13.1.18）的一個(gè)特解具有下列冪級(jí)數(shù)形式：(13.1.19）其中，常數(shù)和可以通過把和它的導(dǎo)數(shù)代入（13.1.18）來確定．第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日將（13.1.19）及其導(dǎo)數(shù)代入（13.1.18）后，得化簡后寫成要使上式恒成立，必須使得各個(gè)次冪的系數(shù)為零，從而得下列各式：第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.20)(13.1.21)(13.1.22)由（13.1.20）得；代入（13.1.21），得．現(xiàn)暫取，代入（13.1.22）得第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.23)因?yàn)椋桑?3.1.23）知：都可以用表示，即第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日由此知（13.1.19）的一般項(xiàng)為是一個(gè)任意常數(shù)，令取一個(gè)確定的值，就得（13.1.18）的一個(gè)特解．我們把取作這樣選取與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日運(yùn)用下列恒等式使分母簡化，從而，使（13.1.19）中一般項(xiàng)的系數(shù)變成（13.1.24）以（13.1.24）代入（13.1.19）得到貝塞爾方程（13.1.18）的一個(gè)特解第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日用級(jí)數(shù)的比值判別式（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂．這個(gè)無窮級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)，稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，記作(13.1.25）第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日至此，就求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解另外，當(dāng)即取負(fù)值時(shí)，用同樣方法可得貝塞爾方程（13.1.18）的另一特解（13.1.26）比較（13.1.25）與（13.1.26）可見，只需在（13.1.25）的右端把換成，即可得到（13.1.26）．故不論是正第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用（13.1.25）統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù)．討論：(1)當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，例如為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)：等,當(dāng)時(shí)，第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日故這兩個(gè)特解與是線性無關(guān)的，由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（13.1.18）的通解為（13.1.28）其中，為兩個(gè)任意常數(shù)．根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日故級(jí)數(shù)和的收斂范圍為(2)當(dāng)為正整數(shù)或零時(shí)（注:以下推導(dǎo)凡用

即表整數(shù)），故有（13.1.27）稱為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)．易得第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日需注意在取整數(shù)的情況下，和線性相關(guān)，這是因?yàn)?第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日由于是零或正整數(shù)，只要，則是零或負(fù)整數(shù)，而對(duì)于零或負(fù)整數(shù)的函數(shù)為無窮大，所以上面的級(jí)數(shù)實(shí)際上只從開始．若令，則從零開始，故第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日可見正、負(fù)階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子這時(shí)貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個(gè)特解．我們定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為是一個(gè)特解，它既滿足貝塞爾方程，又與線性無關(guān)．這樣我們可以得到第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，為歐拉常數(shù)．第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日可以證明這個(gè)函數(shù)，確實(shí)是貝塞爾方程的一個(gè)特解，而且是與線性無關(guān)的（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為有限值，而為無窮大）．綜述：（1）當(dāng)，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程的通解可表示為（2）不論是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為其中為任意常數(shù)，為任意實(shí)數(shù)．

第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日15．2施圖姆－劉維爾本征值問題

從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件．滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值．這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相應(yīng)的非零解叫做本征函數(shù)（特征函數(shù)、固有函數(shù)．求本征值和本征函數(shù)的問題叫做本征值問題.

第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆(J.C.F.Sturm)－劉維爾(J.Liouville)本征值問題，本節(jié)就討論具有普遍意義的施圖姆－劉維爾本征值問題．15．2．1施圖姆－劉維爾本征值問題定義13.2.1施圖姆－劉維爾型方程通常把具有形式（13.2.1）第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日的二階常微分方程叫作施圖姆－劉維爾型方程，簡稱施－劉型方程．研究二階常微分方程的本征值問題時(shí)，對(duì)于一般的二階常微分方程通常乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，就可以化成施圖姆－劉維爾型方程

(13.2.2)第四十七頁，共五十一