平面波的反射與透射

平面波的反射與透射第一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第七章平面波的反射與透射在無(wú)限彈性介質(zhì)中有無(wú)旋波（縱波）和等容波（橫波）這兩種彈性波的傳播。但是實(shí)際介質(zhì)內(nèi)部，一般都會(huì)存在分界面。如地表表面、巖層的分界面。通常把實(shí)際地層稱為層狀介質(zhì)。本章研究彈性波在傳播的過(guò)程中遇到分界面的情況。

縱波和橫波地震波到達(dá)之處,介質(zhì)就產(chǎn)生形變。由力學(xué)定律知道，任何小的形變都可以分解為兩部分：一部分表示脹縮，即變體積而不變形狀；另一部分表示畸變，即變形狀而不變體積。形變傳播時(shí)，兩部分的傳播速度不同。在震源附近，兩部分還未分開(kāi)，所以波經(jīng)過(guò)處的形變是復(fù)雜的。在較遠(yuǎn)的地方，波陣面就分成兩個(gè)。脹縮波傳播較快，波陣面上的質(zhì)點(diǎn)位移和傳播方向一致，所以叫做縱波，一般用字母P(Primary)表示。較慢的叫畸變波,質(zhì)點(diǎn)位移和傳播方向垂直，所以叫做橫波,一般用字母S(shear)表示。在均勻的介質(zhì)中，波陣面在震源附近是曲面，但在相當(dāng)距離后就趨近于平面。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，現(xiàn)只討論平面波。第二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日地震P波(縱波)和S波(橫波)運(yùn)行時(shí)彈性巖石運(yùn)動(dòng)的形態(tài)第三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日縱波：間隔形成壓縮帶（密集帶）和膨脹帶（稀疏帶），傳播方向與振動(dòng)方向一致，波速――Vp橫波：傳播方向與振動(dòng)方向相垂直，波速――Vs水平面內(nèi)分量：稱SV波垂直面內(nèi)分量：稱SH波第五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日§7-1平面波在自由界面上的反射自由界面：指地表應(yīng)力為零的界面，半無(wú)限彈性體的界面就是自由界面。由于地球表面大氣壓相對(duì)于地球內(nèi)部壓力來(lái)說(shuō)是十分小的，在討論中可把大氣壓忽略不計(jì)，于是地球表面可以看作自由界面。第六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日三點(diǎn)說(shuō)明因?yàn)榈厍蚪橘|(zhì)在短暫力（如爆炸）的作用下，在離開(kāi)震源稍遠(yuǎn)的大部分地區(qū)可看成彈性體，并且地球半徑比地震波波長(zhǎng)大得多，所以可將地球看作半無(wú)限大彈性介質(zhì)，同時(shí)，可近似將地震波視為平面波。任何復(fù)雜的波都可看成一系列不同振幅，不同頻率及波長(zhǎng)諧波的疊加，因此僅討論一個(gè)平面諧波入射到自由界面的情形即可。如果平面波的傳播方向與z軸垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面內(nèi)），彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的場(chǎng)變量都依賴于x和y兩維，此時(shí)彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題為二維問(wèn)題，這時(shí)討論分層介質(zhì)波傳播問(wèn)題就是討論這樣二維彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。第七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日§7-1平面波在自由界面上的反射一、平面縱波在自由界面上的反射設(shè)半無(wú)限彈性介質(zhì)的自由表面為yoz面，z軸與圖面垂直。假定yoz面的左邊為真空，由于沒(méi)有傳播振動(dòng)的介質(zhì)，故不會(huì)產(chǎn)生透射問(wèn)題，全部入射波都在界面上被反射。P1入射縱波P1S1反射橫波P11反射縱波第八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)一平面縱波與x軸夾角為α1的方向入射到自由界面；設(shè)入射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)（即波動(dòng)方程的解）為：改寫(xiě)為第九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)入射波為拉伸波，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與波的前進(jìn)方向相反，于是可以知道在入射波中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：假設(shè)與自由界面作用后，只有縱波反射，且反射縱波的位移函數(shù)為：f2前面的負(fù)號(hào)原因：反射波相對(duì)于x軸而言，是正向傳播。δ1為常數(shù)，表示由反射所引起的相位改變。仍假設(shè)反射波為拉伸波，在此波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：第十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題：確定反射波的各參數(shù)方法：由邊界條件可以確定邊界條件：在自由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對(duì)于y與t的任意值有由廣義胡克定理和幾何方程可以得到：在此波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)與z無(wú)關(guān)，且位移在z方向的分量w=0第十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)樵谧杂山缑嫔霞扔腥肷洳◣?lái)的位移，又有反射波帶來(lái)的位移。所以在假定只有反射縱波的時(shí)候，有代入邊界條件可以得到：第十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于y的任意值，為了使第一式得到滿足，必須有上面兩式是等價(jià)的，說(shuō)明經(jīng)過(guò)自由界面的反射，位移的位相改變了π，但是將其代入第二式卻不能使第二式得到滿足。于是我們可以知道僅有一反射的縱波，是不能同時(shí)滿足邊界上無(wú)正應(yīng)力和無(wú)剪應(yīng)力的邊界條件的。現(xiàn)在我們證明還有一反射的橫波，入射縱波、反射縱波、反射橫波代入可以同時(shí)滿足邊界上的邊界條件。第十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)反射橫波的傳播方向與x軸的夾角為β2，相應(yīng)于此波質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：考慮到橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移與傳播方向垂直，且假定z方向無(wú)運(yùn)動(dòng)，因此振動(dòng)必然發(fā)生在oxy平面內(nèi)，這樣，在次波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：第十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日入射縱波、反射縱波、反射橫波同時(shí)存在，在自由界面上質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：代入邊界條件可以得到：第十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日整理可以得到：第十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日由此可以得到:一、二、入射波、反射波振幅間的關(guān)系第十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：平面縱波在自由界面上反射的特點(diǎn)（1）、縱波入射到自由界面上時(shí)，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射縱波和反射橫波。（2）、入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為縱波的時(shí)候，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角與入射角的夾角，類似與光的折射的關(guān)系。（3）如果取反射波的位相改變量為零，入射波和反射波的振幅也存在相應(yīng)的關(guān)系。當(dāng)入射波的振幅、入射角以及材料的彈性常數(shù)已知時(shí)，可以求出反射縱波、反射橫波的反射角及振幅。第十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日反射時(shí)波的能量分配關(guān)系波的能量與振幅的平方成正比，引入振幅比應(yīng)用線性代數(shù)的克萊姆法則第十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日不同材料反射系數(shù)隨入射角的變化第二十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日研究入射縱波的應(yīng)力與反射波的應(yīng)力之間的關(guān)系：入射縱波在傳播方向引起的應(yīng)力為：第二十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日反射縱波的位移方程為：反射橫波的位移方程為：第二十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：入射縱波引起的應(yīng)力和兩個(gè)反射波引起的應(yīng)力都是時(shí)間和位置的函數(shù)。在自由界面上存在：入射縱波的應(yīng)力與反射波應(yīng)力的關(guān)系。第二十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日二、平面橫波在自由界面上的反射橫波：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向垂直，但是不限定于那個(gè)面內(nèi)。故考慮任一橫波所引起的位移可以是振動(dòng)方向互相垂直的二波疊加而成。無(wú)論質(zhì)點(diǎn)在什么方向振動(dòng)，它與波的傳播方向垂直，可以分解為一個(gè)平行于z軸和垂直于z軸（即在xoy面）的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波，我們稱為SH波；質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸振動(dòng)的橫波，我們稱為SV波。第二十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日在研究中，通常把橫波看作是由兩個(gè)方向的振動(dòng)所組成，一個(gè)是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在水平平面內(nèi)的橫波分量，稱為SV波，一個(gè)是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在垂直平面內(nèi)的橫波分量，稱為SH波，SV波SH波第二十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日（1）質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波（SH波），到達(dá)自由界面時(shí)應(yīng)該滿足的邊界條件。邊界條件為：在x=0的平面上由于振動(dòng)平行于z軸，故在此波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有x和y方向的位移，即u=v=0，由于w只是x、y、t的函數(shù)，與z沒(méi)有關(guān)系。由這個(gè)唯一的邊界條件可以分析得到以下結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波（SH波），入射到自由界面時(shí)，只產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是平行于z軸振動(dòng)的反射橫波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅與入射波的振幅數(shù)值相等，但是位相改變了；沒(méi)有縱波反射。第二十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日SH波入射到自由界面第二十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日SH波第二十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日由這個(gè)唯一的邊界條件可以分析得到以下結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波（SH波），入射到自由界面時(shí)，只產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是平行于z軸振動(dòng)的反射橫波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅與入射波的振幅數(shù)值相等，但是位相改變了；沒(méi)有縱波反射。SH波第三十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日（2）對(duì)于質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在xoy面）振動(dòng)的橫波（sv波），質(zhì)點(diǎn)在z方向上沒(méi)有運(yùn)動(dòng)。分析問(wèn)題的方式和入射縱波在自由界面上反射的問(wèn)題相似邊界條件：在自由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對(duì)于y與t的任意值有由邊界條件得到結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在xoy面）振動(dòng)的橫波（sv1波）入射到自由界面上時(shí)，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射橫波sv11和反射縱波sv1P1。第三十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日SV波入射到自由界面第三十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為橫波的時(shí)候，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角與入射角有如下的關(guān)系。如果取反映反射時(shí)位相改變的量等于零，則反射橫波的振幅和反射縱波的振幅與入射橫波的振幅之間的關(guān)系為第三十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日用位移場(chǎng)來(lái)討論取自由界面為xoy平面，y為波前與自由界面的交線，z軸指向介質(zhì)內(nèi)部。波前面垂直于xoz面，因此和都與y無(wú)關(guān)。第三十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日P波入射第三十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日SV波入射第三十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)上進(jìn)行投影質(zhì)點(diǎn)平行于xoz面的位移由平面縱波P和平面SV波引起；質(zhì)點(diǎn)垂直于xoz面的位移由平面SH、波引起。第三十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日P波和平面SV波上面公式的通解形式為：第三十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日P波和平面SV波第三十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日P波和平面SV波第四十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日邊界條件第四十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日求解第四十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)只有SV波入射時(shí)第四十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)SH波入射時(shí)第四十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日§7-2平面波在兩種介質(zhì)分界面上的反射和透射實(shí)際地球內(nèi)部是成層結(jié)構(gòu)的，我們稱為層狀介質(zhì)。地震波在層與層之間的分界面上將會(huì)產(chǎn)生反射和透射?？梢宰C明，當(dāng)任何一種彈性波到達(dá)緊密接觸的兩種介質(zhì)的分界面時(shí)，一般來(lái)講，都會(huì)產(chǎn)生四種波，其中兩種波透射到第二種介質(zhì)中去；另外兩種波反射回原來(lái)的介質(zhì)。緊密接觸的兩種介質(zhì)：對(duì)于地球內(nèi)部的情況來(lái)說(shuō)，壓縮很大，對(duì)于相當(dāng)微弱的彈性振動(dòng)，可以認(rèn)為分界面兩邊的介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)是緊密接觸的，界面上的介質(zhì)是連續(xù)的。在兩種介質(zhì)的分界面上的位移和應(yīng)力都是連續(xù)的。于是可以得到分界面上的邊界條件。第四十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日邊界條件：在分界面上有力的邊界條件：分界面兩邊的應(yīng)力相等；在分界面上有位移的邊界條件：分界面兩邊的位移相等。即：下述四個(gè)量應(yīng)該相等1、正應(yīng)力2、剪應(yīng)力3、質(zhì)點(diǎn)的法向位移4、質(zhì)點(diǎn)的切向位移上述每個(gè)量都由五個(gè)位移分量組合而成。其中三個(gè)分量來(lái)自原來(lái)介質(zhì)的入射波和兩個(gè)反射波，另外兩個(gè)來(lái)自第二種介質(zhì)的兩個(gè)透射波。一、入射波為縱波。yoz面為兩種介質(zhì)a介質(zhì)和b介質(zhì)的分界面，x軸為界面的法線，一平面縱波平行于xoy面與x軸夾角為α1的方向入射到自由界面。第四十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日層狀介質(zhì)第四十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日P1入射縱波P1S1反射橫波P12透射縱波P1S2透射橫波設(shè)入射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：第四十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)反射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：相應(yīng)的位移分量為：設(shè)反射橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：第四十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)透射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：相應(yīng)的位移分量為：設(shè)透射橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：第五十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日在a介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的總位移分量為：在b介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的總位移分量為：設(shè)入射縱波的各個(gè)參數(shù)為已知，于是可以由邊界條件確定反射波和投射波的各參數(shù)。1、在分界面上位移連續(xù)，有第五十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日代入可得：第五十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2、在分界面上應(yīng)力連續(xù)，有第五十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論：1、入射縱波到達(dá)兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)，反射兩種波，即反射縱波和反射橫波；透射兩種波，即透射縱波和透射橫波。2、入射波、反射波及透射波的傳播方向之間存在關(guān)系：3、入射波、反射波及透射波的振幅之間存在關(guān)系：第五十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日寫(xiě)成矩陣形式：這就是著名的佐普瑞茲Zoepritz方程。第五十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)能量守恒原則有：第五十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日第五十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日垂直入射（或法向入射）時(shí)波的反射和透射由此可推導(dǎo)出用于揭示入射、反射、透射波能量分配關(guān)系的佐普瑞茲(Zoepritz)方程。在該方程中，令入射角求解得：第五十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日要把質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)分解為平行于z軸和在oxy平面內(nèi)的兩個(gè)分量。1、對(duì)于質(zhì)點(diǎn)平行于z軸的振動(dòng)；即SH波它沒(méi)有垂直于分界面的運(yùn)動(dòng)，因此不產(chǎn)生反射和透射的縱波，即存在如下關(guān)系：二、入射波為橫波第五十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日2、對(duì)于質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在oxy平面內(nèi)）的振動(dòng)；即SV波SV1：入射橫波SV11：反射橫波SV1P1：反射縱波SV1P2：透射縱波SV12：透射橫波第六十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日入射波、反射波即透射波相應(yīng)的各參數(shù)關(guān)系如下：第六十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日垂直入射（或法向入射）時(shí)波的反射和透射求解得：第六十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日全反射問(wèn)題：當(dāng)反射波和透射波的速度大于入射波的速度時(shí)，就存在入射的臨界角，在這種角度之下，反射角和透射角成為90。如果入射角比它還大，關(guān)系式就不對(duì)。從而出現(xiàn)了類似在光學(xué)中所謂的全反射的情況。全反射:第六十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭?，但還未到時(shí)，已增大到，這時(shí)透射波在第二種介質(zhì)中沿界面“滑行”，出現(xiàn)“全反射”現(xiàn)象。開(kāi)始出現(xiàn)“全反射”時(shí)的入射角叫臨界角

第六十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于入射角大于臨界角的問(wèn)題，必須借助復(fù)變函數(shù)來(lái)解決?？梢宰C明。代替一部分反射或透射的平面波，將產(chǎn)生一種波動(dòng)，它是隨著離開(kāi)分界面距離的增加而按指數(shù)規(guī)律減弱的波，這個(gè)波并不從邊界帶走能量，入射波的能量是分給了剩下來(lái)的反射波和透射波，但是，這種衰減波的存在，使所產(chǎn)生的其他波的位相有所改變。縱波入射到兩種介質(zhì)的分界面上的透射縱波；SV波入射于兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)的透射縱波和透射SV波；或者SH波入射于兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)的透射SH波等一般