第三章受約束回歸問(wèn)題

第三章受約束回歸問(wèn)題一、模型參數(shù)的線性約束二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)四、非線性約束2/4/2023受約束回歸在建立回歸模型時(shí)，有時(shí)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論需要對(duì)模型中的參數(shù)施加一定的約束條件。例如：需求函數(shù)的0階齊次性條件：當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變。生產(chǎn)函數(shù)的1階齊次性條件：α+β=1模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱(chēng)為受約束回歸（restrictedregression）;未加任何約束的回歸稱(chēng)為無(wú)約束回歸（unrestrictedregression）。2/4/2023一、模型參數(shù)的線性約束多元回歸模型:2/4/2023施加約束:得:或:(1)(2)2/4/2023如果對(duì)（2）式回歸得出:則由約束條件可得：

然而，對(duì)所研究的具體問(wèn)題能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有：F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)

在同一樣本下，記無(wú)約束樣本回歸模型為:2/4/2023受約束樣本回歸模型為:于是:2/4/2023

受約束樣本回歸模型的殘差平方和：RSSR于是e′e為無(wú)約束樣本回歸模型的殘差平方和：RSSU(3)受約束與無(wú)約束模型都有相同的總離差平方和TSS（因?yàn)槭芗s束與無(wú)約束模型都有相同的被解釋變量和樣本）

這意味著，通常情況下，對(duì)模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力。（模型的擬合優(yōu)度=回歸平方和/總平方和)但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無(wú)約束回歸模型具有相同或者近似的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小。2/4/2023由（3）式RSSR

≥

RSSU從而ESSR≤

ESSU（ESS為回歸平方和）2/4/2023可用二者的差:RSSR-RSSU的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：其中kU為無(wú)約束模型解釋變量個(gè)數(shù)，kR為受約束模型解釋變量個(gè)數(shù)，于是：結(jié)論如果約束條件無(wú)效，RSSR

與RSSU的差異較大，計(jì)算的F值也較大。于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。注意，kU-kR恰為參數(shù)關(guān)系約束條件的個(gè)數(shù)。2/4/2023模型參數(shù)約束回歸案例

例3.1建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。2/4/2023

根據(jù)需求理論，城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為:

Q:城鎮(zhèn)居民的食品支出總額，X：城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)支出總額,P1：食品價(jià)格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)。

(4)2/4/2023

零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變。

(5)為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（4）式與（5）式。

2/4/2023

根據(jù)恩格爾定律，居民對(duì)食品的消費(fèi)支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)的變化關(guān)系:

首先,確定具體的函數(shù)形式對(duì)上式進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，得到:

(6)2/4/2023考慮到零階齊次性時(shí)(7)式相當(dāng)于是對(duì)（6）式施加如下約束而得:因此，對(duì)（7）式進(jìn)行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。(7)2/4/2023X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P1：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=1002/4/2023中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)

特征：消費(fèi)行為在1981~1995年間表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性；1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動(dòng)特征。

因此：我們只建立1981~1994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型。各變量的彈性之和，比較接近于零，但不為零。2/4/2023建立1981~1994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型:

(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34))ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)?ln(01PPXQ--+=2/4/2023按零階齊次性表達(dá)式回歸:

（75.86）(52.66)(-3.62)

2/4/2023與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。為了比較，改寫(xiě)該式為：

零階齊次性檢驗(yàn)2/4/2023

例1.1

中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求實(shí)例中，對(duì)零階齊次性檢驗(yàn)：

無(wú)約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3

受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2

樣本容量n=14，約束條件個(gè)數(shù)kU-kR=3-2=1取=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96結(jié)論：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。2/4/2023說(shuō)明：這里的F檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)

例1.2生產(chǎn)函數(shù)的一階齊次性檢驗(yàn)2/4/202321

生產(chǎn)函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為

在最初提出的C-D生產(chǎn)函數(shù)中，假定參數(shù)滿足+=1

，也就是假定研究對(duì)象滿足規(guī)模報(bào)酬不變條件。Q為產(chǎn)出，K為資本投入，L為勞動(dòng)力投入。很容易推出參數(shù),分別是資本和勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性。那么由產(chǎn)出彈性的經(jīng)濟(jì)意義，應(yīng)該有,

即當(dāng)資本與勞動(dòng)的數(shù)量同時(shí)增長(zhǎng)倍時(shí)，產(chǎn)出量也增長(zhǎng)

倍。1937年，提出了C-D生產(chǎn)函數(shù)的改進(jìn)型，即取消了+=1

的假定，允許要素的產(chǎn)出彈性之和大于1或小于1。2/4/202322

例1.2

Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)形式如下：

利用美國(guó)主要金屬工業(yè)企業(yè)的數(shù)據(jù)（27個(gè)企業(yè)的數(shù)據(jù)），C-D生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)結(jié)果如下（Eviews輸出結(jié)果）：

2/4/202323

從結(jié)果看LogL和logK的系數(shù)和小于1，但為確定這種差異是統(tǒng)計(jì)顯著的，常進(jìn)行有約束的Wald系數(shù)檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)。選擇View/CoefficientTests/Wald-CoefficientRestrictions，在編輯對(duì)話框中輸入約束條件。為檢驗(yàn)

+=1的規(guī)模報(bào)酬不變的假設(shè)，輸入下列約束：

c(2)+c(3)=1EViews顯示W(wǎng)ald檢驗(yàn)如下結(jié)果（原假設(shè)：約束條件有效）：

EViews顯示F統(tǒng)計(jì)量和

2統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的P值。2統(tǒng)計(jì)量等于F統(tǒng)計(jì)量乘以檢驗(yàn)約束條件數(shù)。本例中，僅有一個(gè)約束條件，所以這兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量等價(jià)。它們的P值表明可以接受規(guī)模報(bào)酬不變的原假設(shè)。二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個(gè)回歸模型2/4/2023(8)(9)(8)式可看成是（9）式的受約束回歸：H0：2/4/2023相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計(jì)量為：

將上式分子和分母同時(shí)除以TSS,得到Ｆ統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式：2/4/2023

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對(duì)Ｙ?zèng)]有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較??；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)Ｙ有較強(qiáng)的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較大。因此，可通過(guò)F統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值與臨界值的比較，來(lái)判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。結(jié)論：

檢驗(yàn)若干線性約束條件是否成立的F

檢驗(yàn)

例11.1：建立中國(guó)國(guó)債發(fā)行額模型選擇3個(gè)解釋變量，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，財(cái)政赤字額，年還本付息額，根據(jù)散點(diǎn)圖建立中國(guó)國(guó)債發(fā)行額模型如下：

DEBTt=0

+1GDPt

+2DEFt

+3REPAYt

+ut其中DEBTt表示國(guó)債發(fā)行總額（單位：億元），GDPt表示年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：百億元），DEFt表示年財(cái)政赤字額（單位：億元），REPAYt表示年還本付息額（單位：億元）。

例11.1：建立中國(guó)國(guó)債發(fā)行額模型EViews可以有三種途徑完成上述F檢驗(yàn)。（1）在輸出結(jié)果窗口中點(diǎn)擊View，選CoefficientTests,WaldCoefficientRestrictions功能（Wald參數(shù)約束檢驗(yàn)），在隨后彈出的對(duì)話框中填入c(3)=c(4)=0?？傻萌缦陆Y(jié)果。其中F=537.5。例11.1：建立中國(guó)國(guó)債發(fā)行額模型

（第3版256頁(yè)）例11.1：建立中國(guó)國(guó)債發(fā)行額模型三、參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)2/4/20231、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)(ChowTest，鄒檢驗(yàn))

建立模型時(shí)往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變，這將提高模型的預(yù)測(cè)與分析功能。如何檢驗(yàn)？

假設(shè)需要建立的模型為在兩個(gè)連續(xù)的時(shí)間序列（1,2,…，n1）與（n1+1,…，n1+n2）中，相應(yīng)的模型分別為：2/4/2023

合并兩個(gè)時(shí)間序列為(1,2,…，n1

，n1+1,…，n1+n2)，則可寫(xiě)出如下無(wú)約束回歸模型

如果=，表示沒(méi)有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對(duì)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)：

H0:=(10)式施加上述約束后變換為受約束回歸模型(10)（11）2/4/2023因此，檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量為：

記RSS1與RSS2為在兩時(shí)間段上分別回歸后所得的殘差平方和。容易證明：于是)]1(2,[~)]1(2/[/)(2121+-++-+-=knnFknnRSSk+1RSSRSSFUUR)]1(2,[~)]1(2/[)(/)]([21212121+-++-+++-=knnK+1FknnRSSRSSk+1RSSRSSRSSFRK+1參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟（1）分別以兩連續(xù)時(shí)間序列作為兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方：RSS1與RSS2

（2）將兩序列并為一個(gè)大樣本后進(jìn)行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR（施加相等約束）（3）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值，與臨界值比較：

若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。該檢驗(yàn)也被稱(chēng)為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)鄒檢驗(yàn)（Chowtestforparameterstability）。2/4/2023

2/4/2023

例1.3

中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒檢驗(yàn)。

X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P1：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=1002/4/2023

1.參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)1981~1994：RSS1=0.003240

1995~2001：

(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)

2/4/20231981~2001:

(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)給定=5%，查表得臨界值F0.05(4,13)=3.1834.10)821/()000058.0003240.0(4/)]0000580.0003240.0(013789.0[=-++-=F2/4/2023

結(jié)論：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。

2/4/20232、預(yù)測(cè)檢驗(yàn)

上述參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)要求n2>k。（k為自變量個(gè)數(shù)）如果出現(xiàn)n2<k

，則往往進(jìn)行如下的鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)（Chowtestforpredictivefailure）。

鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)的基本思想:

先用前一時(shí)間段n1個(gè)樣本估計(jì)原模型，再用估計(jì)出的參數(shù)進(jìn)行后一時(shí)間段n2個(gè)樣本的預(yù)測(cè)。

如果預(yù)測(cè)誤差較大，則說(shuō)明參數(shù)發(fā)生了變化，否則說(shuō)明參數(shù)是穩(wěn)定的。2/4/2023

分別以、表示第一與第二時(shí)間段的參數(shù)，則:其中，(12)2/4/2023

如果

=0，則

=，表明參數(shù)在估計(jì)期與預(yù)測(cè)期相同(12)的矩陣式：

可見(jiàn)，用前n1個(gè)樣本估計(jì)可得前k個(gè)參數(shù)的估計(jì)，而是用后n2個(gè)樣本測(cè)算的預(yù)測(cè)誤差X2(-)(13)2/4/2023如果參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，則=0，矩陣式簡(jiǎn)化為(14)（14）式與（13）式2/4/2023這里：KU-KR=n2；RSSU=RSS1

分別可看成受約束與無(wú)約束回歸模型，于是有如下F檢驗(yàn)：2/4/2023

(1)

在兩時(shí)間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR

；

(2)

對(duì)前一時(shí)間段的n1個(gè)子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1

；

(3)

計(jì)算檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量，做出判斷：鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)步驟

給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(n2,n1-k-1)，如果

F>F(n2,n1-k-1)

，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測(cè)期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。2/4/20232、鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)給定=5%，查表得臨界值F0.05(7,10)=3.18

結(jié)論：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)

例1.3

中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒檢驗(yàn)。

參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——數(shù)據(jù)表參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——全部樣本估計(jì)參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——選擇Chow檢驗(yàn)參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——選擇突變點(diǎn)參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——檢驗(yàn)在5%的顯著性水平下，自由度為（4，13）的F分布的臨界值為3.18，可見(jiàn)計(jì)算的F值遠(yuǎn)大于臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求行為在1995年前后發(fā)生了顯著變化。2/4/202352

例1.4:中國(guó)1978年?2006年的數(shù)據(jù)建立的居民消費(fèi)方程：

const=449.07+0.734*inct+?t

(8.64)(126.1)R2=0.998D.W.=0.53其中:cons是居民消費(fèi)；inc是可支配收入。方程中c0=449.07代表自發(fā)消費(fèi)，表示收入等于零時(shí)的消費(fèi)水平；而c1=0.734代表了邊際消費(fèi)傾向，0<c1<1，即收入每增加1元，消費(fèi)將增加

c1元。從系數(shù)中可以看出邊際消費(fèi)傾向是0.73。也即1978年~2006年中國(guó)居民可支配收入的73%用來(lái)消費(fèi)。參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)——選擇預(yù)測(cè)檢驗(yàn)2/4/202353

選擇View/StabilityTest/ChowForecastTest進(jìn)行Chow預(yù)測(cè)檢驗(yàn)。對(duì)預(yù)測(cè)樣本開(kāi)始時(shí)期或觀測(cè)值數(shù)進(jìn)行定義。數(shù)據(jù)應(yīng)在當(dāng)前觀測(cè)值區(qū)間內(nèi)。

仍以例1.4所建立的消費(fèi)函數(shù)為例，定義1994作為預(yù)測(cè)區(qū)間第一個(gè)分割點(diǎn)。檢驗(yàn)重新估計(jì)1978—1993的方程，并且使用這個(gè)結(jié)果來(lái)計(jì)算剩余時(shí)期的預(yù)測(cè)誤差。結(jié)果如下：

對(duì)數(shù)似然比（LR）統(tǒng)計(jì)量和F統(tǒng)計(jì)量拒絕原假設(shè)（5%水平），說(shuō)明中國(guó)的消費(fèi)函數(shù)在1994年前后有結(jié)構(gòu)變化。

四、非線性約束

也可對(duì)模型參數(shù)施加非線性約束,如對(duì)模型2/4/202354

施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型:

該模型必須采用非線性最小二乘法（nonlinearleastsquares）進(jìn)行估計(jì)。如果施加于模型的約束是非線性的，模型存在參數(shù)非線性，或者擾動(dòng)項(xiàng)的分布不是正態(tài)的，在這些情況下，F(xiàn)檢驗(yàn)就不再適用，通常需要采用最大似然比檢驗(yàn)LikelihoodRatio,LR)、沃爾德檢驗(yàn)(Wald)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)(LagrangeMultiplier,LM)這三個(gè)檢驗(yàn)方法中的一個(gè)來(lái)檢驗(yàn)約束條件是否成立。這些檢驗(yàn)是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的。2/4/2023

1、似然比檢驗(yàn)(likelihoodratiotest,LR)基本思路是如果約束條件成立，則相應(yīng)的約束模型與無(wú)約束模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)極大值應(yīng)該是近似相等的。似然函數(shù)

表示由無(wú)約束模型得到的對(duì)數(shù)似然函數(shù)極大值。表示由受約束模型得到的對(duì)數(shù)似然函數(shù)極大值2/4/20232/4/20231、似然比檢驗(yàn)

(likelihoodratiotest,LR)

估計(jì):無(wú)約束回歸模型與受約束回歸模型，

方法:極大似然法，

檢驗(yàn):兩個(gè)似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。

記L(,2)為一似然函數(shù):無(wú)約束回歸

:Max:受約束回歸

:Max:約束：g()=02/4/2023

受約束的似然函數(shù)值不會(huì)超過(guò)無(wú)約束的函數(shù)值，但如果約束條件為真，則兩個(gè)似然函數(shù)值就非常“接近”。

由此，定義似然比（likelihoodratio）:

2/4/2023

判斷規(guī)則：

如果比值很小，說(shuō)明兩似然函數(shù)值差距較大，則應(yīng)拒絕約束條件為真的假設(shè)；

如果比值接近于１，說(shuō)明兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng)接受約束條件為真的假設(shè)。

具體檢驗(yàn)時(shí)，由于大樣本下：h是約束條件的個(gè)數(shù)。因此：通過(guò)LR統(tǒng)計(jì)量的2分布特性來(lái)進(jìn)行判斷。LR檢驗(yàn)要檢驗(yàn)的是

是否顯著異于0。

似然比（LR）檢驗(yàn)例11.2：用LR統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)原假設(shè)b3=b4=0。是否成立。估計(jì)結(jié)果如下；

DEBTt=4.31

+0.35

GDPt

+0.99

DEFt

+0.88

REPAYt

(0.2)(2.2)(31.5)(17.8)

R2=0.9990,DW=2.12,T=22,logL=-115.8888,(1980-2001)

得約束模型估計(jì)結(jié)果如下，

DEBTt=-388.40

+4.49

GDPt

(-3.1)(17.2)

R2=0.94,DW=0.25,T=22,logL=-161.0583,(1980-2001)

計(jì)算LR統(tǒng)計(jì)量的值，

LR=-2[logL(b~,

2~s)-

logL(b?,

2?s)]=

-2(-161.0583+115.8888)=90.34

因?yàn)長(zhǎng)R=90.34>c

2(2)=5.99，所以推翻原假設(shè)。結(jié)論是不能從模型中

刪除解釋變量DEFt和REPAYt。檢驗(yàn)結(jié)果與上面的F檢驗(yàn)結(jié)論相一致。

似然比（LR）檢驗(yàn)2/4/2023

在中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)需求例中，對(duì)零階齊次性的檢驗(yàn)：LR=-2(38.57-38.73)=0.32

給出=5%、查得臨界值20.05(1)＝3.84，

LR<20.05(1),不拒絕原約束的假設(shè)，

結(jié)論:中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。

2、沃爾德（Wald）檢驗(yàn)在實(shí)踐中似然比檢驗(yàn)的缺點(diǎn)是需要估計(jì)約束和無(wú)約束參數(shù)向量，既要進(jìn)行約束回歸，又要進(jìn)行無(wú)約束回歸。如果模型結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，其估計(jì)值可能很難計(jì)算。兩個(gè)可供選擇的方法沃爾德檢驗(yàn)（WaldTest)和拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)，可以解決這個(gè)問(wèn)題。這兩個(gè)檢驗(yàn)只需要估計(jì)約束和無(wú)約束參數(shù)向量之一。２、沃爾德檢驗(yàn)（Waldtest,W）沃爾德檢驗(yàn)是由沃爾德1943年提出來(lái)的，F(xiàn)檢驗(yàn)和似然比LR檢驗(yàn)都需要估計(jì)約束模型和無(wú)約束模型兩個(gè)模型。沃爾德檢驗(yàn)只需要估計(jì)一個(gè)無(wú)約束模型。沃爾德檢驗(yàn)既適用于線性參數(shù)約束，又適用于非線性參數(shù)約束。2/4/202364

設(shè)是在無(wú)約束情況下得到的參數(shù)估計(jì)值向量，要檢驗(yàn)的原假設(shè)為：若約束條件成立，則至少應(yīng)該近似地滿足約束條件。如果原假設(shè)是錯(cuò)的，則應(yīng)該顯著地不等于0。W檢驗(yàn)就是遵循這個(gè)思路構(gòu)建的。

W統(tǒng)計(jì)量：

成立和大樣本的情況下，W服從自由度為約束條件個(gè)數(shù)的分布。其中

需注意的是，W統(tǒng)計(jì)量?jī)H需要無(wú)約束模型的計(jì)算，但仍需要計(jì)算協(xié)方差矩陣，其估計(jì)值由下式給出：

其中表示估計(jì)。是一個(gè)矩陣，J是約束條件的個(gè)數(shù)，K是待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，它的第j行是第j個(gè)約束關(guān)于的第k個(gè)元素的導(dǎo)數(shù)。２、沃爾德檢驗(yàn)（Waldtest）例

沃爾德檢驗(yàn)中，只須估計(jì)無(wú)約束模型。如對(duì)2/4/2023

在所有經(jīng)典假設(shè)都成立的條件下，容易證明2/4/2023因此，在1+2=1的約束條件下:

記可建立沃爾德統(tǒng)計(jì)量:沃爾德（Wald）檢驗(yàn)（第3版261頁(yè)）沃爾德（Wald）檢驗(yàn)（第3版262頁(yè)）3、拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)

拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗(yàn)基于受約束模型，只需估計(jì)受約束模型，無(wú)需估計(jì)無(wú)約束模型。（第3版第265頁(yè)）拉格朗日乘子（LM）檢驗(yàn)（第3版265頁(yè)）11.6拉格朗日乘子（LM）檢驗(yàn)（第3版266頁(yè)）11.6拉格朗日乘子（LM）檢驗(yàn)（第3版267頁(yè)）11.6拉格朗日乘子（LM）檢驗(yàn)4、實(shí)際應(yīng)用中三種檢驗(yàn)法