第十一章連續(xù)小波變換

第十一章連續(xù)小波變換

短時(shí)傅里葉變換必須在時(shí)域分辨率和頻域分辨之間做折衷

Gabor變換在時(shí)頻相平面上按固定窗口大小堆砌理想狀態(tài)

既能用短持續(xù)時(shí)間的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)中的快速變化分析

又能用長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間窗函數(shù)對(duì)信號(hào)中的緩慢變化分析

時(shí)頻堆砌“變焦”功能示意圖寬分析窗窄分析窗小波變換的發(fā)展地質(zhì)物理學(xué)家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸縮和平移概念數(shù)學(xué)家Y.Meyer構(gòu)造了近似光滑的正交小波基S.Mallat提出了多分辨率概念，引出構(gòu)造正交小波基的一般方法I.Daubeices在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了著名的Daubeices正交小波基11．1分析窗的尺度伸縮和平移特性 分析窗函數(shù)（小波函數(shù)）的時(shí)域局域化指標(biāo)分析窗的尺度伸縮平移尺度伸縮平移窗函數(shù)的局域化指標(biāo)尺度伸縮平移窗函數(shù)的特性尺度a增加，分析窗時(shí)域伸展，帶寬變小尺度a減小，分析窗時(shí)域收縮，帶寬變大分析窗的時(shí)間——帶寬乘積等于常數(shù)例，尺度調(diào)節(jié)對(duì)時(shí)頻相平面的影響調(diào)節(jié)尺度可改變分析窗的時(shí)、頻域分辨率，類似調(diào)節(jié)顯微鏡的焦距尺度大時(shí)，可以觀察被分析信號(hào)的低頻頻部分（信號(hào)全貌）尺度小時(shí)，可以觀察被分析信號(hào)的細(xì)節(jié)或局部11．2連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換的定義時(shí)域和頻域局域化特性的分析窗（小波）函數(shù)信號(hào)小波函數(shù)尺度伸縮與平移CWT變換某尺度下CWT的計(jì)算過程某尺度和某位移下的CWT值等于求信號(hào)與小波函數(shù)的尺度伸縮平移的相關(guān)連續(xù)小波變換的頻域分析頻域觀察CWT的物理意義若小波函數(shù)的頻譜具有帶通特性，不同尺度CWT等效提取信號(hào)在不同頻帶的成份尺度參數(shù)a與模擬角頻率參數(shù)等效頻域局域化指標(biāo)為尺度大，帶寬小，便于精確分析信號(hào)中的低頻成份尺度小，帶寬大，便于分析信號(hào)中的高頻成份典型小波函數(shù)不同尺度下的頻率特性連續(xù)小波變換的逆變換Moyal定理連續(xù)小波變換的逆變換小波函數(shù)的特性振蕩性正則性小波函數(shù)的階原點(diǎn)距正則性小波函數(shù)的正則性階次為p時(shí)，小波變換中只包含被分析信號(hào)的p階導(dǎo)數(shù)以上的成份當(dāng)需要提取被分析信號(hào)的快速變化信息時(shí)，必須選擇正則性條件高的小波函數(shù)其它特性光滑性和連續(xù)性:避免短時(shí)加窗截?cái)鄷r(shí)的非線性影響

緊支集性:時(shí)域或頻域緊支性可保證小波函數(shù)在一個(gè)域中具有最好的局域化特性線性相位性:防止小波變換過程中產(chǎn)生相位失真正交性:變換之后的冗余度最小，實(shí)現(xiàn)最大限度的數(shù)據(jù)壓縮具有解析表達(dá)式:方便連續(xù)小波變換的計(jì)算常見小波函數(shù)Morlet小波Haar小波墨西哥草帽（MexicanHat）或Marr小波Meyer小波無解析表達(dá)式的小波Daubechies小波系列dbN；雙正交小波系列biorNr.Nd;Coiflet小波系列Symlets小波系列symN;樣條小波系列Matlab工具箱中常用小波及其特性比較11．3連續(xù)小波變換的性質(zhì)線性性時(shí)移不變性尺度伸縮性內(nèi)積定理（Moyal定理）交叉項(xiàng)特性冗余度和再生核CWT變換結(jié)果中信息是冗余:離散化的依據(jù)，降噪

選擇正交基小波函數(shù)可去除CWT變換中的相關(guān)性11．4連續(xù)小波變換的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)CWT變換的數(shù)值卷積實(shí)現(xiàn)CWT卷積法計(jì)算過程由計(jì)算歸一化尺度a=1時(shí)小波函數(shù)對(duì)應(yīng)的短時(shí)分析窗寬度

Ts1小波采樣頻率

Ts信號(hào)采樣頻率任意尺度a小波函數(shù)對(duì)應(yīng)的短時(shí)分析窗對(duì)抽樣或插值得

CWT變換的最大尺度值

MatlabCWT變換函數(shù)：Coefs=CWT（x，scale，‘wname’）分析50HZ和450HZ信號(hào)成份尺度的選擇采樣頻率為時(shí)，50HZ信號(hào)成份一個(gè)周期對(duì)應(yīng)400個(gè)點(diǎn)，450HZ信號(hào)成份一個(gè)周期對(duì)應(yīng)44個(gè)點(diǎn)左右。尺度等于1時(shí)對(duì)應(yīng)的分析窗寬度約為4個(gè)采樣點(diǎn)。只有當(dāng)尺度等于100左右時(shí)，分析窗的寬度才能與50HZ信號(hào)成份相匹配，當(dāng)尺度等于10左右時(shí)，分析窗的寬度可以與450HZ信號(hào)成份相匹配CWT變換的應(yīng)用特點(diǎn)可以在某一局部尺度范圍內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確分析較小時(shí)，分析步長(zhǎng)仍可選任意小應(yīng)用梅林變換計(jì)算CWTCWT卷積算法一次可以計(jì)算固定尺度下不同位移處的CWT值梅林變換一次可以計(jì)算固定位移下不同尺度處的CWT值梅林變換梅林逆變換梅林變換時(shí)間方向的對(duì)數(shù)壓縮梅林變換性質(zhì)