第四章第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)四、函數(shù)圖形的描繪定理1.(函數(shù)單調(diào)性的判別法).(1)若x(a,b)有f(x)>0.則y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)若x(a,b)有f(x)<0.則y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少;設(shè)y=f(x)C([a,b]),且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).一、函數(shù)單調(diào)性的判定法注釋：若在(a,b)內(nèi)

f(x),且等號(hào)僅在個(gè)別點(diǎn)成立，則y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增(減).定理中的閉區(qū)間換成其它區(qū)間，結(jié)論也成立.證任取由拉格朗日中值定理得即這說明在I內(nèi)單調(diào)遞增.證畢僅就定理1(1)加以證明,記區(qū)間為I(1)若x(a,b)有f(x)>0.則y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;所以有推論1設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f(x)=0,xI.則f(x)=C,xI.回顧拉格朗日中值定理的推論導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)是常量函數(shù)對(duì)于某區(qū)間上的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為正，曲線上升；導(dǎo)數(shù)為零，曲線水平；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，曲線下降。使f'(x)為零的點(diǎn)稱為f(x)的駐點(diǎn).例1.1

討論y=lnx在(0,+)上的單調(diào)性.解:由定理1知y=lnx在(0,+)內(nèi)單調(diào)增加.oxyy=lnx例1.2討論f(x)=x3的單調(diào)性.解:因?yàn)閒(x)=3x2>0(x0)由定理1知f(x)=x3在(,0)和(0,+)內(nèi)均單調(diào)增加.這里x=0時(shí)f(0)=0.但x<0時(shí)有f(x)<f(0),而x>0時(shí),有f(0)<f(x).故f(x)=x3在定義域(,+)內(nèi)單調(diào)增加.0yxy=x3例3.1

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,例3.2例4.1試證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x，有證令所以對(duì)任何實(shí)數(shù)x，例4.2證明:令則從而即例5.

證明時(shí),成立不等式證:令從而因此且證明定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大值點(diǎn),稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小值點(diǎn),稱為函數(shù)的極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)的極值及其求法極值的概念是一個(gè)局部性的概念.注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點(diǎn),是極大值是極小值為極小值點(diǎn),函數(shù)(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn).但其逆命題不成立.(2)連續(xù)函數(shù)在其導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處,也有可能取得極值.0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0處不取極值.例如y=|x|在x=0處有極小值f(0)=0.定理1.(Fermat)若f(x)在x0可導(dǎo),且在x0取得極值,則

f'(x0)=0.0yxx00yxx0(1)當(dāng)x<x0時(shí),f(x)>0,當(dāng)x>x0時(shí),f(x)<0,則f(x)在x0處取極大值;(2)當(dāng)x<x0時(shí),f(x)<0,當(dāng)x>x0時(shí),f(x)>0,則f(x)在x0處取極小值.定理2.(判別法則I)設(shè)f(x)

在可導(dǎo)且0yxy=x3例1求f(x)=x33x29x+5的極值.解

f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得駐點(diǎn)x1=1,x2=3對(duì)于x=1:x<1時(shí)f'(x)>0.x>1時(shí)f'(x)<0

對(duì)于x=3:x<3時(shí)f'(x)<0.x>3時(shí)f'(x)>0

x=1為極大值點(diǎn),極大值f(1)=10.x=3為極小值點(diǎn),極小值f(3)=22.例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得當(dāng)時(shí)3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.前面例1求f(x)=x33x29x+5的極值.再解

f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得駐點(diǎn)x1=1,x2=3x=1為極大值點(diǎn),極大值f(1)=10.x=3為極小值點(diǎn),極小值f(3)=22.例3.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.定義.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.三、曲線的凹凸與拐點(diǎn)定理1.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)判別連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).拐點(diǎn)例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)為曲線的拐點(diǎn).凹凸對(duì)應(yīng)例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)及均為拐點(diǎn).凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)首先是預(yù)備知識(shí)——漸近線然后是函數(shù)圖形描繪的一般步驟四、函數(shù)圖形的描繪無漸近線.點(diǎn)M與某一直線L的距離趨于0,（一）曲線的漸近線定義.若曲線C上的點(diǎn)M

沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有鉛直漸近線例1.求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為鉛直漸近線.直線y=A為曲線的水平漸近線.直線x=x0為曲線的鉛直漸近線.2.斜漸近線斜漸近線若例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱性及周（二）函數(shù)圖形描繪的一般步驟例3.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o對(duì)稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn))(極小)4)例4.描繪函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)閳D形對(duì)稱于y軸.2)求關(guān)鍵點(diǎn)3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線5)作圖4)求漸近線(極大)(拐點(diǎn))例*.描繪解：定義域：(,0)(0,+)令f'(x)=0得駐點(diǎn)x=1.漸近線y=1和

x=0.f'(x)xf''(x)++y=f(x)++(,0)(0,1)010++++0拐點(diǎn)間斷點(diǎn)極小0011M1M3M2xy思考與練習(xí)

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近