GLC12 工程力學B 第12章 應力狀態(tài)分析

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第十二章

應力狀態(tài)分析StressStatesAnalysis12.1

引言12.1.1一點的應力狀態(tài)：過一點所有截面上的應力情況。FFnnσaτapA而過A點各斜截面上的應力為：研究應力狀態(tài)的目的：1.解釋構(gòu)件的破壞現(xiàn)象；2.建立復雜應力狀態(tài)的強度條件（強度理論）。如圖，軸向拉壓桿，過A點橫截面上的應力為：低碳鋼拉伸試驗例如，同是拉伸，為什么低碳鋼的破壞是沿450截面方向出現(xiàn)滑移線(屈服破壞)，而鑄鐵的破壞是沿橫截面被拉斷？如圖。鑄鐵拉伸試驗又如，為什么鑄鐵壓縮時沿450截面斷裂？原因是在此截面上有最大剪應力。低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗鑄鐵扭轉(zhuǎn)試驗例如，同樣是扭轉(zhuǎn)，為什么低碳鋼的破壞發(fā)生在橫截面上，而鑄鐵的破壞發(fā)生在450的螺旋面上？如圖?，F(xiàn)在我們還不能回答這個問題，這是因為我們還不知道扭轉(zhuǎn)時構(gòu)件上一點的應力狀態(tài)。例如，工字型截面梁橫力彎曲時，在滿足上述強度條件下，破壞還常常會發(fā)生且發(fā)生在腹板和翼緣的交界處。如圖。因此，以前建立的強度條件對復雜應力狀態(tài)不再適用，需要重新建立。以前建立的強度條件是：σmax≤[σ]或τmax≤[τ]前提條件是:在σmax的地方τ=0,而在τmax的地方σ=0那么，在既有正應力又有剪應力（一般稱為復雜應力狀態(tài)）的地方，上述強度條件還能用嗎？不能。研究一點應力狀態(tài)的方法：圍繞一點取一個邊長為無限小的正六面體稱為單元體（一般取在危險點處）。單元體分析法。xyz單元體dxdydzxyz單元體的特點：相互平行的一對側(cè)面上的應力相等。

xy應力角標的規(guī)定：σ的角標表示其作用面的法線方向；τ的第一個角標表示其作用面的法線方向,第二個角標表示其指向。xyzxy從拉伸桿上截取單元體：截取單元體的方法：用一對橫截面和兩對相互垂直的縱截面截取，如圖所示。

從梁上截取單元體A又例如：Axyz本章用單元體分析法研究一點的應力狀態(tài)：用截面法求單元體其它各截面上應力的方法。12.1.2主平面、主應力可以證明，通過受力構(gòu)件內(nèi)的任意點一定可以找到這樣一個單元體，在其三對相互垂直的平面的切應力等于零。如圖所示。這樣的單元體叫主單元體。主應力：σ1σ1σ2σ2σ3σ3主平面：主方向：一般情況下，一點處有三個不同的主應力，分別用σ1,σ2和σ3表示；它們的命名是根據(jù)其代數(shù)值的大小排列來命名的，即σ1≥σ2≥σ3規(guī)定：σ1≥σ2≥σ3分別叫第一、二、三主應力。主單元體：三對正交平面上的切應力等于零的單元體。切應力等于零的平面。主平面上的正應力。主平面的法線方向（主應力的方向）。1.單向應力狀態(tài)：應力狀態(tài)分為三類。（簡單應力狀態(tài)）單向拉應力狀態(tài)單向壓應力狀態(tài)三個主應力中只有一個不等于零。12.1.3應力狀態(tài)的分類：2.二向應力狀態(tài)：（平面應力狀態(tài)）二向拉壓應力狀態(tài)二向拉應力狀態(tài)二向壓應力狀態(tài)三個主應力中有兩個不等于零。3.三向應力狀態(tài)：（空間應力狀態(tài)）單向應力狀態(tài)叫簡單應力狀態(tài)叫復雜應力狀態(tài)二向（平面）應力狀態(tài)三向（空間）應力狀態(tài)三向拉應力狀態(tài)三向拉壓應力狀態(tài)三向壓應力狀態(tài)三個主應力都不等于零。12.2二向（平面）應力狀態(tài)分析—解析法xyxy應力狀態(tài)分析就是：在已知σx,σy和τxy的條件下，求出單元體任意斜截面上的應力，以及主應力、主方向、最大剪應力及其方向等。α?對于正應力，拉為正，壓為負。正負規(guī)定：拉應力

壓應力?對于切（剪）應力，使單元體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的為正，反之為負。正負規(guī)定：xy?對于轉(zhuǎn)角α，從x軸轉(zhuǎn)到斜截面的外法線方向n，逆時針轉(zhuǎn)時為正，反之為負。α正負規(guī)定：α首先，求斜截面上的應力:tydAα三角形單元體應滿足平衡方程

xs斜截面上的正應力和切應力計算公式注意：1.為垂直于z面（主平面）的任意斜截面上的應力；2.

拉為正，反之為負；3.

使單元體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的為正，反之為負；4.

α從x軸轉(zhuǎn)到斜截面的外法線方向n，逆時針轉(zhuǎn)時為正，反之為負。12.3應力圓（二向應力狀態(tài)分析—圖解法）由（12.1）式：由（12.2）式：等號兩邊平方相加，整理后得12.3.1應力圓（莫爾圓）這是一個在σ-τ坐標系內(nèi)的圓方程，稱為應力圓方程或莫爾圓方程。相當于數(shù)學上的圓方程：（x–a)2+(y–0)2=R

2即在σ-τ坐標系內(nèi)：圓心坐標為:半徑為:的圓。叫應力圓或莫爾圓，如下圖。RCO（x–a)2+(y–0)2=R2

1.選適當?shù)谋壤ⅵ?τ坐標系；O12.3.2應力圓的繪制和應用由x面上的應力(σx

,τx)確定D點，由y面上的應力(σy

,τy)確定D’點；畫應力圓，求的步驟:O連接D，D’交σ軸于C點，以C為圓心，CD為半徑畫圓，即為應力圓(莫爾圓)；以D為起點，按與單元體上的α相同的轉(zhuǎn)向，沿圓周轉(zhuǎn)2α的圓心角得到E點，則E點的坐標即為σα，τα

；證明見P270。O轉(zhuǎn)角兩倍：轉(zhuǎn)向相同：點面對應：應力圓與單元體的關系：應力圓上點的坐標對應單元體上面的應力。應力圓上半徑的轉(zhuǎn)向與單元體上面的法線的轉(zhuǎn)向相同。應力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度是單元體上面的法線轉(zhuǎn)過角度的兩倍。O12.4平面應力狀態(tài)的極值應力與主應力1.主應力：+++---O2.主方向：將（12.3）式等號兩邊相加得：+++---1.代入（12.1）式判別；單元體右側(cè)面上

指向的象限為所在象限。注意：例如：O3.極值剪應力：極大和極小剪應力所在平面與主平面夾角為45°。畫應力圓，求主應力、主方向和極值剪應力：注意：2.單元體中的1.和為垂直于z面（主平面）的這組截面中的最大（小）正應力和剪應力；三、三個特殊的應力圓:單向應力狀態(tài)應力圓在原點與τ軸相切圓心與原點重合純剪切(二向)應力狀態(tài)鑄鐵例12.1分析鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。在試件表面取單元體，如圖。為純剪切應力狀態(tài)。∴鑄鐵試件受扭時的破壞是沿450螺旋面被拉斷。例12.2下列單元體處于什么應力狀態(tài)？單向應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)（練習冊P38，選3.2）例12.3

試求下述單元體中指定斜截面上的應力。（a）、（b）、(c)、（d）單元體的主應力，最大切應力，在原單元體中畫出主平面位置。圖中應力單位為MPa

。（練習冊P39，計4.1(d)）解：求指定斜截面上的應力；xyn由（12.1）式：xyn由（12.2）式：求主應力并畫出主平面的位置:由（12.3）式：xy由（12.5）式：求最大剪應力：由（12.8）式。例12.4計算圖示應力狀態(tài)的主應力和最大切應力。20030050(MPa)由（12.3）式：由（12.8）式：若由（12.7）式：12.5.1三向應力狀態(tài)的應力圓在已知σ1,σ2,σ3的條件下,求任意斜截面上的應力：12.5三向應力狀態(tài)的最大主應力先分析平行于主應力的各斜截面上的應力：平行σ3

各斜截面上的應力與σ3無關，只與σ1

和σ2

有關，由σ1

和σ2所畫的應力圓確定。s3因為σα,τα可分別由平衡方程∑Fn=0，∑Ft=0求出，由于σ3與n軸和t軸垂直，所以σ3在平衡方程∑Fn=0，∑Ft=0中不出現(xiàn)，故σα,τα和σ3與無關。tsOIs2s1Is2s1s3利用s1和s2畫出圓I。由σ1和σ2所畫的應力圓為：ts利用s2和s3畫出圓IIs3s2IIIIs1s2s3平行σ1

各斜截面上的應力與σ1無關，只與σ2

和σ3

有關，由σ2

和σ3所畫的應力圓確定。Is1IIIs1

s3IIIs2利用s1和s3畫出圓III平行σ2

各斜截面上的應力與σ2無關，只與σ1

和σ3

有關，由σ1

和σ3所畫的應力圓確定。tsIIs2s3Is1三向應力圓s1IIIIIs3Is2Ots在三向應力圓中：三個圓所圍陰影區(qū)點的坐標代表單元體上與三個主應力都不平行的任意斜截面上的應力。三個圓周上點的坐標代表單元體上與三個主應力平行的任意斜截面上的應力。12.5.2最大主應力和最大切應力例12.5求圖示單元體的主應力及最大切應力。應力單位為MPa

。（練習冊P39，計4.3）

單位：MPa解：1.求主應力∵

z面為主平面，

∴σz=30MPa為主應力之一。yxz取坐標軸如圖。此時，可以對著主平面(z面)做視圖，將其化為二向應力狀態(tài)來處理。即做正視圖。由（12.3）式：yxzyxyxzyx由（12.8）式：2.求最大切應力復習：sxsxzxy12.6廣義胡克定律橫向應變：zxytxytyx2.剪切胡克定律：1.單向應力狀態(tài)的胡克定律：m--泊松比廣義胡克定律：zxy注意：對各向同性材料，在彈性范圍內(nèi)和小變形條件下，ε只與σ有關，而與τ無關；γ只與τ有關，而與σ無關。討論沿σx方向的線應變εx：σx單獨作用時：σy單獨作用時：σz

單獨作用時：當σx，σy，σz

共同作用時，由疊加原理得：zxy同理：γ只與τ有關，而與σ無關，則由剪切胡克定律得：（12.10）式中各分量的角標滿足輪換關系：（12.10）式稱為廣義胡克定理xzyzxy對主單元體：（12.9）式中各分量的角標滿足輪換關系：廣義胡克定律變?yōu)椋篹1、e2、e3

稱為主應變1321.構(gòu)件的材料必須是各向同性的；廣義胡克定律的適用條件：2.應力和應變關系必須在線彈性范圍之內(nèi)；3.構(gòu)件的變形必須是小變形。各向同性材料的3個彈性常數(shù)中只有兩個是獨立的。各向同性材料彈性常數(shù)之間的關系：例12.6立方體試驗設備，如圖立方體材料置于經(jīng)過潤滑的剛性墻體之間，載荷P作用在剛性平板上，在x方向上產(chǎn)生均勻的壓力。計算應力σx，sy，sz及應變

ex，ey

和

ez。P解:∵y方向是剛性墻體又∵z方向是自由面計算ex

:計算ez

:由（12.10）式:計算σy:首先計算

sx：（自學）12.7三向應力狀態(tài)下的應變能主要注意：畸變能密度公式（12.15）式的推導。本章完看書上的例12.1~例12.7例12.5求圖示應力狀態(tài)的1.主應力和主方向，2.畫三向應力圓，3