勾股定理競(jìng)賽培優(yōu)

七年級(jí)春季班 自信釋放潛能；付出鑄就成功!七年級(jí)春季班 自信釋放潛能；付出鑄就成功!七年級(jí)春季班 自信釋放潛能；付出鑄就成功!七年級(jí)春季班 自信釋放潛能；付出鑄就成功!.已知：如圖，在^ABS,AB=AC/A=120°,AB的垂直平分線MN^另?J交BGAB于點(diǎn)M,N,求證:CM=2BMD為斜邊BC中.如圖，在RtZXABC^,/A=90°,點(diǎn)）DEE!DF）求證：ef2=be:+cfD為斜邊BC中.在△ABC中,AB=AC(1)如圖，若點(diǎn)P是BC邊上的中點(diǎn)，連接AP.求證：BP?CP=EP-APZ;(2)如圖，若點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面(1)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明、若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，若點(diǎn)P是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，線段AB,AP,BP,CP之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形，寫出你的結(jié)論．(不必證明)顯示解析（1999年全國(guó)聯(lián)賽試期）圖I-9—5—11+外+%+…+?。?999年全國(guó)聯(lián)賽試期）圖I-9—5—11+外+%+…+啊00=（1990年全聯(lián)賽試題）1,△閨圮的周長(zhǎng)是24,朋是的中點(diǎn)，MC=MA=5,△ARC的面積是.如圖I-9-5-11,公路】同側(cè)有兩村莊4.B,A村到公路1的距離AC=4km,8村到公路，的距離M=2km,且C、。兩點(diǎn)間的距離為8km.要在公路,上建一車站P,使AP^BP最小，則這個(gè)最小值為. （1999年河北省競(jìng)賽題）.在△ABC中*AB=4C=2,8C上有100個(gè)不同的點(diǎn)不、Pz、P3,…、Pm,記兌用+HP廠2C（￡=12….100）,則四.已知A4■是三邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，且2HC=8C+加，則下面各數(shù)再能是這個(gè)直角三角形的一條邊長(zhǎng)的是 （ ）A.41 B.51 C.61 D.71 （1997年哈爾濱市競(jìng)宴題）.如圖I-9一5-12,已知=N8.44i，PP|,身?i均垂直于4月1，A4]=17,FF]=16,58]=20,4]助=12,則AP+PB等于 （ ）“知年全國(guó)聯(lián)賽試題）圖1-9-5-13“知年全國(guó)聯(lián)賽試題）圖1-9-5-13I-9-5-13,在等腰直角AABC的斜邊他上取兩點(diǎn)M、N,使/MCN=45°,記AM-m^MN-xtBN-n,則以為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是 （ ）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D,隨著叫m,河的變化而變化（1的7年安微省競(jìng)賽題）.在中，皮;=17,G4=18,鉆=19,尸為AABC內(nèi)的一點(diǎn)，WLAC于。，陽(yáng)工匣？于E,PFJ_抑于尸，且BD+CE+4T=27,求BD+6F的長(zhǎng)，.AABC中，AZ）是HC邊上的中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在4c邊上,并且NMfW=W\如果BM2+C/V2-DM2+DM.求證：S二十/JU【知識(shí)點(diǎn)精講】1股股定理： 2股股定理的逆定理： 3勾股數(shù):、、、、、、4兩種特殊的直角三角形：①30角的直角三角形②45角的直角三角形 5兩點(diǎn)之間 最短，但螞蟻在圓柱體表面爬行時(shí)，所走的路線必定是 線。6立體圖形轉(zhuǎn)化為 圖形，再轉(zhuǎn)化為 問題7勾股定理是求——的長(zhǎng)度的主要方法，若缺少直角條件則可以通過作垂線段的方法構(gòu)造RTA,為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造必要的條件。8勾股定理和勾股定理逆定理的綜合運(yùn)用，還經(jīng)常利用方程求線段的和差等關(guān)系。【典型例題與思維拓展】?例1已知如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90,AC=7,BC=24,CD是斜邊AB上的高，求CD的長(zhǎng).拓展與變式練習(xí)11.已知如圖，在RtAABC^,/ACB=90,BC=40,AB=41,CDt斜邊上白^高，求CD的長(zhǎng)。拓展變式練習(xí)2.如圖折疊長(zhǎng)方形 ABCD先折出對(duì)角線BD,再折疊AD邊與BD重合，得到折痕DG.若AB=12,AD=9求AG的長(zhǎng).

.如圖將長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使C點(diǎn)落在F處,BF交AD于點(diǎn)E,AD=10,AB=6,求4BDE的面積是多少？?例3如圖，在^ABC中，/BAC=90,AB=AC,D,E在BC上，/DAE=45求證：CD2+BE2=dE?.拓展變式練習(xí)3.已知如圖，在^ABC中，/A=90°,DE為BC的垂直平分線，求證：BE2=AC2+AE2

.如圖在Rt/XABC中，/C=90°,DA=DB,EF分別在AC和BC上，且EDLDF,求證：EF2=AE2+BF2?例4?例4如圖在四邊形的面積.ABCDt,已知/B=90°,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26求四邊形ABCDAA拓展變式練習(xí)4.如圖，在四邊形ABCDK已知AB,BC,DA的長(zhǎng)分別為2、2、2,且CD2=12,AB!BC,求/DAB的度數(shù).

.如圖在△ABC^,BC=6,AC=8,在z\ABE中,DE是AB邊上的高，DE=7,z\ABE的面積為35,求/C的度數(shù).?例5若4ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足條件：a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,試判斷△ABC的形狀.例6:（最短路徑問題）有一個(gè)長(zhǎng)寬高分為2cmi）1cmn,3cm的長(zhǎng)方體）有一只小蟻想從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C處，則它爬行的最路程為cm.?變式拓展訓(xùn)練.【變式11△ABC中，AB=17cmBC=16cmBC邊上的中線AD=15cm△ABC是三角形.【變式2](天府前沿)如果△ABC勺三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0,那么△ABC一定是( )A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【變式3】如圖，AB兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=1阡米，BD=3阡米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水， L □ L鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)，請(qǐng)你在河流三CD土選擇水廠的位置M使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)奢二圣ET總費(fèi)用是多少？【創(chuàng)新探究】1.（教材1+1.思維拓展）如圖，在MBC中，

AB=5,AC=13,BCi上的中線AD=6求證：MB防直角三角形。M（2009中考）若MBC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26q則此三角形為三角形PQB0°,P、Q柩.（2008天津）在RtAABCPQB0°,P、Q在AB上，且/PCQ=45,求證：AP2+BQ=PQP★（天津市競(jìng)賽汝形）4.如圖，在4PABg,AB=ACP為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)用學(xué)過的知識(shí)說(shuō)明：AB—AfP=PB<PC★★5.（天府前沿？2010培優(yōu)）RtZXABC一直角邊的長(zhǎng)為11,另兩邊為自然數(shù)，則RtZXABC勺周長(zhǎng)為.★★6.（天府前沿?2010培優(yōu)）如圖，在^ABC中，/ACE=90o,AC=BCP是△ABCft的一點(diǎn)，且PB=1,PC=2,PA=3,求/BPC勺度數(shù).★★7.（2009年“希望杯”晉升訓(xùn)練）知△ABC中，AB=AC,/B=2/Ac求證：AB2-BC2=ABXBC（方法:造直角三角形）拓展變式練習(xí)5已知a、b、c為AABC勺三邊長(zhǎng)，且滿足條件：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,試判斷△ABC的形狀.【思維與能力提升】1.如圖在^ABC中,CE平分/ACBCF平分/ACD且EF//BC交AC于點(diǎn)M,若CM=5求CE2+CF2的值2如圖，△ABC是直角三角形，/CAB=90,D是斜邊BC上的中點(diǎn)，E、F分別是ARAB邊上的點(diǎn)，且DE!DF.（1）（如圖1）若AB=ACBE=12,CF=5,求△DEF的面積。（2）（如圖2）求證：be2+cf2=ef2（3）設(shè)AB=6點(diǎn)E,F在AB,AC上移動(dòng)，且保持/EDF=90°,設(shè)AE=k當(dāng)其從1開始逐漸變?yōu)?（每次增加1）時(shí)，寫出EF的長(zhǎng)度，并猜想點(diǎn)E移到何位置時(shí)EF最短.【家庭作業(yè)】A卷一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.直角三角形的兩直角邊分別為5、12,則斜邊上的高為（ ）A.6 B.8C. 80D.6013 13.已知RtzXABC中，/C=90°,若a+b=14cm,c=10cm則Rtz\ABC的面積為（ ）A.24cm2A.24cm2B.36cm22C.48cm2D.60cm.等腰三角形底邊上的高為8,周長(zhǎng)為32,則三角形的面積為（ ）A.56 B.48 C.40 D.32.如圖△ABC中，/B=90°,兩直角邊AB=7；BC=24三角形內(nèi)有一點(diǎn)P到各邊的距離相等,則這個(gè)距離為（ ）A.1 B.3 C.4 D.5

AA.下列幾組數(shù)：①6,7,8;②8,6,15;③n2-1,2n,n2+1;④m2-n2,2mn,m2+n2.其中以它們?yōu)檫吥芙M成直角三角形的是（ ）A.①③B.②④C.①②D.③④.在△ABC中，/A,/B,/C的對(duì)邊分別為a,b,c.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A./C-/B=/A,那么/C=90° B.如果/C=90°,則c2-b2=a2C.如果(a+b)(a-b)=c2,那么/C=90D.如果/A=30°,BB=60°那么AB=2BC二、填空題.4ABC中，/C=90°,兩直角邊之比為3:4,斜邊長(zhǎng)為10,則這個(gè)三角形的面積為一.已知一三角形三邊分別為5k,12k,13k,則這個(gè)三角形為,理由是.以a,b,c為三邊的三角形，其三邊滿足a2+b2=25,a2-b2=7,且c=5,則這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊位,這條邊上的高為..若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為m+1,m+2,m+3Hm=時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.在4ABC中，AB=AC=17BC=16cm則這個(gè)三角形的面積為.12B卷12一.填空題.在RT4ABC中,AC=4BC=3則AB=.如圖是一長(zhǎng)方體長(zhǎng)4、寬3、高的三角形的周長(zhǎng)為。.若二次根式3行與辰是同類二次根式，則x的值為 時(shí)Q,直角三角形有一條直角邊長(zhǎng)為13,另外兩條邊長(zhǎng)都是自然數(shù)，則周長(zhǎng)為。.在△ABC中,AB=2QAC=15BC邊上的高為12,則△ABC的周長(zhǎng)為(二、解答題1.如圖在Rt^ABC中，/C=90°,/DAB=DAC,AB=26AC=10BD:CD=13:5,求點(diǎn)D到AB的距離..在4ABC中，已知/B=22.5°,/C=60°,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,EC=1,A已BC,求BD2的值..如圖△ABC中，/ACB=90,CD平分/ACBAE!CD于點(diǎn)D,AE交BC于點(diǎn)E,EF，AB于點(diǎn)F,