2023年初二平行四邊形所有知識點(diǎn)總結(jié)和?？碱}提高難題壓軸題練習(xí)含答案解析

初二平行四邊形所有知識點(diǎn)總結(jié)和常考題知識點(diǎn):１、平行四邊形定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì):＝１\*GB２⑴平行四邊形的對邊相等;=2\*ＧB2⑵平行四邊形的對角相等:=3＼*ＧB2⑶平行四邊形的對角線互相平分。３平行四邊形的鑒定：=１＼*GB2⑴．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;=2＼＊ＧB２⑵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；＝3\＊GB2⑶兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；=４＼*GB2⑷一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4、矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形。?5、矩形的性質(zhì):=1\*GB2⑴矩形的四個(gè)角都是直角；＝2\*GB２⑵矩形的對角線相等。

6、矩形鑒定定理:=1\*GB2⑴有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;=2\*GB2⑵對角線相等的平行四邊形是矩形。7、中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。)8、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形。

９、菱形的性質(zhì)：＝1\*ＧB２⑴菱形的四條邊都相等；=2\＊GB2⑵菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角。S菱形=1/2×ab(a、ｂ為兩條對角線長）

10、菱形的鑒定定理:＝1\*GB２⑴四條邊相等的四邊形是菱形。=2\*ＧB2⑵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。１1、正方形定義:一個(gè)角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。12正方形鑒定定理:=１\＊ＧB2⑴鄰邊相等的矩形是正方形。=２＼＊ＧB2⑵有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（矩形＋菱形＝正方形）?？碱}:一．選擇題(共14小題）１.矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是(）Ａ.兩組對邊分別平行?B.對角線相等C．對角線互相平分 D．兩組對角分別相等2．平行四邊形ABCD中,AC、BD是兩條對角線，假如添加一個(gè)條件,即可推出平行四邊形AＢCＤ是矩形，那么這個(gè)條件是（）A.AB=BC?Ｂ．ＡC=BD?Ｃ．ＡＣ⊥BD?D.AB⊥ＢD３．如圖,已知四邊形ＡＢCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不對的的是（)A.當(dāng)AB=BC時(shí),它是菱形 B.當(dāng)AC⊥BD時(shí),它是菱形C．當(dāng)∠AＢＣ=90°時(shí),它是矩形 D.當(dāng)AＣ=BD時(shí),它是正方形4.順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是(）A．平行四邊形 B．矩形 C.菱形?D.正方形5.在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ＡBCＤ的頂點(diǎn)A,Ｂ，Ｄ的坐標(biāo)分別是(0，0),(5，0)，（2,3)，則頂點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)是()A.（3，７) Ｂ．（５,3）?Ｃ.(７,３） Ｄ．（8,2）6.如圖,?ABCＤ的對角線ＡC與BD相交于點(diǎn)O，AＢ⊥AＣ,若AB=4，AＣ=6，則ＢD的長是（）A.8?Ｂ．9?C．10 Ｄ.１17．如圖,把矩形ＡＢCD沿ＥF翻折,點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2,DE＝6，∠EＦB=6０°,則矩形ABＣD的面積是(）Ａ.１2?B．2４?C．12?Ｄ．168.如圖,在菱形ABCD中,∠ＢＡD＝80°，AＢ的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)Ｆ,垂足為E,連接DF，則∠CＤF等于（）A．５0°?B.６０°?Ｃ．70° D．80°9．如圖，在?AＢCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若BＦ=6,AＢ=5，則AE的長為（）A.4?Ｂ.6 C.8?Ｄ．1010.如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,AB＝4,則以AＣ為邊長的正方形AＣＥＦ的周長為（）Ａ.1４?B．15?Ｃ.16 D．1７１1.如圖，在平行四邊形ＡBCD中，AＢ=4,∠BAＤ的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E,與DＣ交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F為邊DＣ的中點(diǎn),ＤＧ⊥ＡＥ,垂足為G,若ＤＧ=1，則ＡE的邊長為（)Ａ．２?B.4 Ｃ．４ D．８１2.如圖,邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+Ｓ2的值為()A．１6 B.１７ Ｃ．18?D．１9１3.如圖，正方形ABCＤ的邊長為４,點(diǎn)E在對角線ＢＤ上，且∠ＢＡＥ=２2.5°,EF⊥AB，垂足為F，則EＦ的長為（）A.1?B. Ｃ．4﹣2 D.3﹣4１４．如圖,在正方形ABＣD的外側(cè)，作等邊三角形AＤE,AＣ、BE相交于點(diǎn)F,則∠ＢFＣ為（)Ａ.45° B.55° Ｃ.６0°?D．75°二.填空題(共1３小題)1５．已知菱形的兩對角線長分別為６ｃm和8cm，則菱形的面積為ｃm２．１6.如圖,在?ABＣＤ中，BE平分∠ＡBC,BC＝6，ＤE＝2,則?ABＣD的周長等于.１7．如圖，?ABCＤ的對角線ＡC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，Ｆ分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC+ＢD=24厘米，△OＡB的周長是１8厘米,則EF＝厘米.１8．如圖，矩形ABＣD的對角線ＡＣ和BＤ相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的直線分別交AD和BＣ于點(diǎn)E、Ｆ，AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為．1９．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若菱形AＢCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3,０)，(2，0)，點(diǎn)D在ｙ軸上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．20．如圖,在正方形ABＣＤ中,點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，ＢF與ＡC交于點(diǎn)E．若∠CBＦ=２0°,則∠AED等于度.21．如圖,?ABCＤ中，∠ABC=6０°,E、F分別在CＤ和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，ＥＦ=，則AＢ的長是．2２．如圖所示，菱形ABCD的邊長為４，且ＡE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝60°,則菱形的面積為.23．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),ＢD⊥ＣＤ，AD＝6，BD=4,CＤ=3,E、F、G、H分別是AＢ、AC、CD、BＤ的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長是．24．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ＯABC中，A（１0，0)，C(０,4),D為OA的中點(diǎn),Ｐ為BC邊上一點(diǎn).若△POD為等腰三角形,則所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.２5．如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ａ（﹣2,０）,B（﹣1,2),Ｃ（2,0）．請直接寫出以A，Ｂ,C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).26．如圖，在菱形ABCＤ中,ＡB=４cm，∠ADC=1２0°,點(diǎn)E、F同時(shí)由A、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AＢ、ＣB方向向點(diǎn)Ｂ勻速移動（到點(diǎn)Ｂ為止），點(diǎn)E的速度為1cm/s,點(diǎn)F的速度為2cm／ｓ,通過t秒△DEF為等邊三角形，則ｔ的值為．２7.如圖,四邊形ABCD中，∠Ａ=90°,ＡＢ=3,AD=3,點(diǎn)M，Ｎ分別為線段BC，ＡＢ上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合）,點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn),則EF長度的最大值為．三．解答題(共13小題）28．如圖,已知:AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，CＦ⊥ＡD，垂足為點(diǎn)Ｆ,并且AＥ=DF.求證：四邊形BECF是平行四邊形.２9．已知:如圖,在△ABC中,ＡB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)Ｄ，AＮ是△ABC外角∠ＣAM的平分線,ＣE⊥AN，垂足為點(diǎn)E,(1）求證:四邊形ADCE為矩形;(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AＤCE是一個(gè)正方形？并給出證明.3０．如圖,分別以Rt△AＢＣ的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ＡBE．已知∠BAC=3０°，ＥF⊥AB，垂足為F，連接DF.（1）試說明AC＝EＦ;（2）求證:四邊形ADFE是平行四邊形．31．如圖,矩形AＢＣD中,ＡC與BD交于點(diǎn)O，ＢE⊥ＡＣ,CF⊥BD,垂足分別為E，Ｆ.求證:BE=CF．３2．如圖，在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),Ｅ是AＤ的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BＣ的平行線交CE的延長線于點(diǎn)Ｆ,且AF=BD，連接BＦ．（1)線段BD與CＤ有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ＡＦBＤ是矩形?并說明理由．3３．如圖，在△ABＣ中，Ｄ、E分別是AＢ、ＡC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長DE到點(diǎn)Ｆ,使得EＦ=BE,連接CF.（1)求證：四邊形ＢCFE是菱形；（２)若CＥ=4，∠ＢCＦ＝1２0°,求菱形BCFＥ的面積．３4.如圖,在正方形ＡＢCＤ中,E是AB上一點(diǎn),F是AＤ延長線上一點(diǎn),且DＦ=BE.(1）求證:CE=CF;(2）若點(diǎn)G在AD上,且∠ＧＣＥ=4５°，則ＧE＝BE+ＧＤ成立嗎？為什么？３5．如圖，在△AＢＣ中，點(diǎn)O是AＣ邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)Ｏ作直線ＭN∥BC,設(shè)MN交∠BCＡ的角平分線于點(diǎn)E,交∠BＣA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：ＥO＝FO；(２）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AＥＣＦ是矩形？并證明你的結(jié)論．36．如圖，已知:在平行四邊形ＡBCＤ中,點(diǎn)Ｅ、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上,AE＝CＧ，ＡＨ=CF,且ＥG平分∠HEＦ．求證：（1)△AEＨ≌△CGＦ;（2)四邊形ＥFGH是菱形．３7.如圖,四邊形AＢＣD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC＝DC，BE⊥CＤ于點(diǎn)E．(1）求證：△ABD≌△EBD；（２）過點(diǎn)E作ＥF∥DA，交BＤ于點(diǎn)F,連接ＡF.求證:四邊形AFＥＤ是菱形.３８.如圖①,在正方形ABCD中,P是對角線AＣ上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在ＢＣ的延長線上,且PE=ＰB．(1）求證：△BCＰ≌△ＤCP；(2）求證:∠DPE＝∠ＡBC；(3)把正方形AＢCＤ改為菱形,其它條件不變（如圖②)，若∠ABC=58°,則∠DPＥ＝度.３9．在數(shù)學(xué)活動課中,小輝將邊長為和3的兩個(gè)正方形放置在直線l上,如圖1，他連結(jié)AD、CF，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)AD=ＣＦ.(１)他將正方形ODEＦ繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2，試判斷ＡD與CF還相等嗎？說明你的理由;（2)他將正方形ODＥF繞Ｏ點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上,如圖3,請你求出ＣＦ的長．40．?dāng)?shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1，四邊形ABＣD是正方形，點(diǎn)Ｅ是邊ＢC的中點(diǎn).∠AEF=90°，且ＥＦ交正方形外角∠DCＧ的平分線ＣＦ于點(diǎn)Ｆ,求證:AE=EF.通過思考,小明展示了一種對的的解題思緒：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則ＡM=ＥC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EＦ．在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1）小穎提出：如圖2，假如把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊ＢC上（除B,Ｃ外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=ＥF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)對的嗎？假如對的，寫出證明過程；假如不對的,請說明理由;（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)Ｅ是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn),其他條件不變，結(jié)論“ＡE=ＥF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)對的嗎?假如對的，寫出證明過程;假如不對的,請說明理由．?初二平行四邊形所有知識點(diǎn)總結(jié)和?？碱}提高難題壓軸題練習(xí)(含答案解析)參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．（２02３?宜賓）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．兩組對邊分別平行 B.對角線相等C.對角線互相平分?Ｄ．兩組對角分別相等【分析】根據(jù)矩形與菱形的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后運(yùn)用排除法求解．【解答】解：Ａ、矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、矩形的對角線相等,菱形的對角線不相等,故本選項(xiàng)對的;Ｃ、矩形與菱形的對角線都互相平分,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、矩形與菱形的兩組對角都分別相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選Ｂ.【點(diǎn)評】本題考察了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì),熟記兩圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（２０23?河池)平行四邊形AＢCD中,AC、ＢD是兩條對角線，假如添加一個(gè)條件,即可推出平行四邊形AＢＣD是矩形,那么這個(gè)條件是(）A.AＢ=ＢC Ｂ．AＣ=ＢＤ?C．AC⊥BD?D.AB⊥ＢＤ【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷.【解答】解：A、是鄰邊相等,可得到平行四邊形ABCＤ是菱形,故不對的；B、是對角線相等,可推出平行四邊形AＢCD是矩形，故對的；C、是對角線互相垂直，可得到平行四邊形ＡBCD是菱形,故不對的；D、無法判斷．故選B.【點(diǎn)評】本題重要考察的是矩形的鑒定定理.但需要注意的是本題的知識點(diǎn)是關(guān)于各個(gè)圖形的性質(zhì)以及鑒定.3.（2023?揚(yáng)州)如圖,已知四邊形ＡＢCD是平行四邊形,下列結(jié)論中不對的的是(）A.當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形?B.當(dāng)ＡC⊥BD時(shí),它是菱形C.當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AＣ=ＢD時(shí)，它是正方形【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．【解答】解:A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知:四邊形ABＣＤ是平行四邊形，當(dāng)ＡB=BC時(shí),它是菱形,故A選項(xiàng)對的;Ｂ、∵四邊形ABＣD是平行四邊形,∴ＢO=OD，∵AC⊥ＢD,∴AB２=BO２+AO2,AD2=DO2+AＯ2,∴AＢ＝AD，∴四邊形ＡBＣＤ是菱形,故B選項(xiàng)對的;Ｃ、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)對的;D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD時(shí),它是矩形,不是正方形,故Ｄ選項(xiàng)錯(cuò)誤；綜上所述,符合題意是Ｄ選項(xiàng)；故選：D．【點(diǎn)評】此題重要考察學(xué)生對正方形的鑒定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的鑒定和矩形的鑒定的理解和掌握，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，學(xué)生答題時(shí)容易犯錯(cuò).4．(２０2３?張家界）順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（)A.平行四邊形?B.矩形 C．菱形 D．正方形【分析】順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形，一組對邊平行并且等于本來四邊形某一對角線的一半,說明新四邊形的對邊平行且相等.所以是平行四邊形.【解答】解:連接BD,已知任意四邊形ABＣD,E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)．∵在△ＡＢＤ中，Ｅ、H是AB、AD中點(diǎn),∴EH∥BD,EH=BＤ．∵在△BCD中，G、Ｆ是DC、BＣ中點(diǎn),∴GF∥ＢD，GF＝BD,∴EH＝GF，EH∥ＧF，∴四邊形EFＧH為平行四邊形.故選:A．【點(diǎn)評】本題三角形的中位線的性質(zhì)考察了平行四邊形的鑒定:三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．５．(２０２3?南京）在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)Ａ,Ｂ,D的坐標(biāo)分別是(０,０），（5，0)，（２,3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（)A.（3，７)?Ｂ.(5,3) C．(7，3) D．(8,2)【分析】由于D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），由平行四邊形的性質(zhì),可知C點(diǎn)的縱坐標(biāo)一定是３，又由Ｄ點(diǎn)相對于A點(diǎn)橫坐標(biāo)移動了2,故可得Ｃ點(diǎn)橫坐標(biāo)為２＋5=7,即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(7，3)．【解答】解:已知A,B,D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(０，0），(5，0）,(2,3），∵ＡB在x軸上，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等,都為3,又∵D點(diǎn)相對于A點(diǎn)橫坐標(biāo)移動了2﹣0=2，∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為２＋5=7,∴即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（7，3）．故選:C.【點(diǎn)評】本題重要是對平行四邊形的性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)及平行線的性質(zhì)和互為余（補(bǔ))角的等知識的直接考察．同時(shí)考察了數(shù)形結(jié)合思想,題目的條件既有數(shù)又有形，解決問題的方法也要既依托數(shù)也依托形,體現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，但本題對學(xué)生能力的規(guī)定并不高．6.（20２3?河南）如圖，?ＡBCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB⊥ＡC,若AＢ＝4,AＣ=6，則BＤ的長是（)A．8 B．９ C．1０ Ｄ.1１【分析】運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求BO的長，進(jìn)而可求出BＤ的長.【解答】解:∵?AＢCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴ＢO=ＤO，AO=CO，∵AB⊥ＡC,AB=4，AC=6,∴BO==5，∴BD=2BO=10，故選:Ｃ．【點(diǎn)評】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，是中考常見題型,比較簡樸.7．（20２３?南充)如圖，把矩形ABCD沿EＦ翻折,點(diǎn)Ｂ恰好落在ＡD邊的B′處,若AＥ＝2,DE=6,∠EＦB=6０°，則矩形ABＣD的面積是()A.１２?B.２4 C.1２?D.16【分析】在矩形AＢＣD中根據(jù)AD∥BC得出∠DＥF=∠EFＢ＝60°,由于把矩形ＡＢCD沿EF翻折點(diǎn)B恰好落在ＡD邊的Ｂ′處,所以∠EＦＢ＝∠DEF=6０°,∠B=∠A′B′F＝90°,∠A=∠A′=90°,ＡE=A′E=2,AB=Ａ′Ｂ′,在△EＦB′中可知∠DＥF=∠EＦB=∠EB′F=6０°故△ＥFB′是等邊三角形，由此可得出∠Ａ′Ｂ′E＝90°﹣60°=3０°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出A′B′＝AＢ=2,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解.【解答】解:在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF＝∠ＥＦB=60°，∵把矩形ＡBＣD沿EＦ翻折點(diǎn)Ｂ恰好落在AD邊的Ｂ′處,∴∠DEF=∠EFＢ=60°,∠B=∠Ａ′B′F=9０°，∠Ａ=∠A′=90°，AＥ＝A′E＝2，ＡB=A′B′，在△EFＢ′中，∵∠DEＦ=∠EFB＝∠EＢ′F=６０°∴△EFＢ′是等邊三角形，Rt△Ａ′EB′中,∵∠A′B′E＝90°﹣６0°=30°,∴Ｂ′Ｅ＝2A′E,而A′E=2,∴B′Ｅ=4,∴A′B′＝2，即AB＝2,∵AＥ=2,DE＝6，∴AＤ=AE+DE=2+6=８，∴矩形ABCD的面積=AB?AD=２×８＝16.故選Ｄ．【點(diǎn)評】本題考察了矩形的性質(zhì),翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，解直角三角形,作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023?揚(yáng)州)如圖,在菱形ABＣD中,∠ＢAＤ=80°，AＢ的垂直平分線交對角線AＣ于點(diǎn)F，垂足為E，連接ＤF，則∠CDＦ等于（）Ａ.50°?B．６０° C.７０°?Ｄ.80°【分析】連接BＦ,根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠BAＣ,∠BCF=∠ＤＣF，四條邊都相等可得ＢC＝DC，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠AＢC,然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=BF,根據(jù)等邊對等角求出∠ABF＝∠BＡC，從而求出∠CBF，再運(yùn)用“邊角邊”證明△ＢCＦ和△ＤCＦ全等，根據(jù)全等三角形相應(yīng)角相等可得∠CＤF＝∠ＣBF.【解答】解:如圖，連接BF，在菱形ＡBCD中，∠ＢAC=∠BＡD=×80°=40°，∠BCF=∠ＤCＦ,ＢC=DC，∠ＡＢC=1８0°﹣∠BAD=1８0°﹣８0°=1００°,∵EF是線段ＡB的垂直平分線，∴AF=BF，∠ＡBF=∠BＡC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠AＢF=1０0°﹣４0°=60°，∵在△ＢCF和△DCF中,，∴△BCF≌△ＤＣF(ＳAS）,∴∠CDF=∠ＣBF＝６0°.故選:Ｂ.【點(diǎn)評】本題考察了菱形的性質(zhì)，全等三角形的鑒定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，綜合性強(qiáng),但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?河南）如圖，在?AＢCD中,用直尺和圓規(guī)作∠BＡD的平分線AG交BC于點(diǎn)Ｅ.若BＦ=6，AB=５,則ＡE的長為()A．4?B.6?Ｃ.8 Ｄ．１0【分析】由基本作圖得到AB=AF,加上AO平分∠BＡＤ,則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AO⊥BＦ,BＯ=FＯ＝BF=3,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AＦ∥BE，所以∠１=∠3，于是得到∠2=∠3，根據(jù)等腰三角形的鑒定得AＢ=ＥB，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AO=ＯE，最后運(yùn)用勾股定理計(jì)算出AＯ，從而得到AE的長．【解答】解：連結(jié)EＦ，AE與BＦ交于點(diǎn)O，如圖，∵AB＝AF，ＡO平分∠BAD,∴AO⊥BF,ＢO=FO=ＢF=3，∵四邊形AＢCD為平行四邊形，∴AF∥BE,∴∠１=∠３，∴∠2=∠３，∴AＢ=EB,而BO⊥AE,∴AO＝OＥ，在Rt△AＯB中,ＡO=＝=４,∴AE=2ＡＯ=8．故選C.【點(diǎn)評】本題考察了平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對邊相等;平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分．也考察了等腰三角形的鑒定與性質(zhì)和基本作圖．1０．(202３?涼山州）如圖，菱形AＢＣD中,∠B=60°,AB=4，則以AC為邊長的正方形ＡCEF的周長為()Ａ.1４ B.１5?C．16?D．17【分析】根據(jù)菱形得出AB=BC,得出等邊三角形ＡＢC，求出AC,長,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ＡＦ=EＦ=EC＝AＣ=4,求出即可．【解答】解：∵四邊形AＢCD是菱形，∴ＡB＝ＢC,∵∠B=6０°,∴△ＡBＣ是等邊三角形,∴AＣ＝AB=4，∴正方形ACEF的周長是AC+CE+EF+AF＝4×4＝16，故選C.【點(diǎn)評】本題考察了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和鑒定的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出AC的長．11．（202３?泰安）如圖,在平行四邊形ABＣD中，AＢ＝４,∠BAD的平分線與BC的延長線交于點(diǎn)E,與DC交于點(diǎn)F,且點(diǎn)F為邊ＤC的中點(diǎn)，DG⊥ＡE,垂足為Ｇ,若ＤG=1,則AＥ的邊長為（）A．2?B.4?C．４ D.8【分析】由AE為角平分線,得到一對角相等，再由ＡＢCＤ為平行四邊形，得到AD與BE平行,運(yùn)用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD＝DF,由Ｆ為DC中點(diǎn),AＢ=ＣＤ,求出AD與DＦ的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AＦ中點(diǎn)，在直角三角形ADＧ中，由ＡD與DG的長,運(yùn)用勾股定理求出ＡG的長，進(jìn)而求出AＦ的長,再由三角形AＤF與三角形ECF全等,得出ＡF＝ＥF，即可求出AE的長.【解答】解：∵ＡE為∠DＡB的平分線，∴∠DAＥ=∠BＡＥ,∵ＤC∥AＢ,∴∠BＡＥ=∠ＤＦA,∴∠DAＥ=∠DFA,∴AD＝FD,又Ｆ為ＤC的中點(diǎn)，∴ＤF＝CＦ，∴AＤ＝DF＝DC=AB=2,在Ｒt△ADG中,根據(jù)勾股定理得：ＡG＝，則ＡF＝２AG=２，∵平行四邊形ABCD,∴AD∥BC,∴∠ＤＡF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ＥCF中,,∴△AＤF≌△ECF（ＡAS),∴AＦ=EF,則AE=2AＦ＝４．故選:B【點(diǎn)評】此題考察了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的鑒定與性質(zhì),勾股定理，等腰三角形的鑒定與性質(zhì)，純熟掌握平行四邊形的鑒定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12.(2０２３?菏澤)如圖,邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1,S2,則S1+Ｓ2的值為（)A．16 B．17 Ｃ．18?D.19【分析】由圖可得，S1的邊長為3,由ＡC＝BC,ＢＣ=CE=CD,可得AＣ=2CD，CD＝２,EＣ＝;然后，分別算出Ｓ1、Ｓ２的面積，即可解答.【解答】解：如圖,設(shè)正方形S2的邊長為x,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=x,x=CD,∴AC=2CD,ＣD==2,∴ＥC2=22+２2，即ＥC=;∴S2的面積為EＣ2＝=8;∵S１的邊長為3，Ｓ１的面積為3×3=９,∴S1＋S2=８+9=17.故選：B．【點(diǎn)評】本題考察了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì),考察了學(xué)生的讀圖能力.13．（2023?連云港）如圖，正方形ＡＢCD的邊長為4,點(diǎn)E在對角線BＤ上,且∠BAＥ=２２.5°,EF⊥AＢ,垂足為Ｆ，則ＥF的長為（）A．１?B．?C．4﹣2?Ｄ.3﹣4【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABＤ=∠ＡDB＝45°，再求出∠DAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠AＥD,從而得到∠DAE=∠AED,再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AD=DＥ,然后求出正方形的對角線ＢD,再求出BE，最后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計(jì)算即可得解.【解答】解:在正方形ABCＤ中,∠ＡBD＝∠AＤB=45°，∵∠BＡＥ=２２．5°，∴∠DAE=90°﹣∠ＢAE=90°﹣22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AＥD＝1８0°﹣45°﹣67．５°=６7.5°,∴∠DＡＥ=∠ＡED，∴AＤ＝DE=4，∵正方形的邊長為４，∴BD=4，∴BＥ＝BD﹣ＤE＝４﹣4，∵EF⊥AB,∠ABＤ=45°,∴△ＢＥF是等腰直角三角形，∴EF＝ＢE=×（４﹣4)＝4﹣2．故選：C．【點(diǎn)評】本題考察了正方形的性質(zhì)，重要運(yùn)用了正方形的對角線平分一組對角，等角對等邊的性質(zhì)，正方形的對角線與邊長的關(guān)系,等腰直角三角形的鑒定與性質(zhì),根據(jù)角的度數(shù)的相等求出相等的角,再求出ＤＥ＝AＤ是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)．1４．（2023?福州)如圖，在正方形ＡBCD的外側(cè),作等邊三角形ＡDＥ，ＡC、BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）Ａ．４5°?B.55°?C.60°?D．75°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)求出∠ＡＢE=１5°，∠BＡC=45°,再求∠BFC．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD,又∵△ADE是等邊三角形,∴AＥ=ＡD=DE,∠DAE=60°,∴AB=AE，∴∠ＡBE=∠ＡEＢ,∠BAE＝90°+60°＝１50°,∴∠AＢE=（180°﹣150°)÷2=1５°,又∵∠ＢAC=45°，∴∠ＢFC=45°+15°=60°.故選：C．【點(diǎn)評】本題重要是考察正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出∠ABＥ=1５°.二．填空題（共13小題）１5．（２0２3?恩施州)已知菱形的兩對角線長分別為6ｃm和8cm,則菱形的面積為24cm2．【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積即可.【解答】解:由已知得,菱形的面積等于兩對角線乘積的一半即：6×8÷2=24ｃm２．故答案為:２4．【點(diǎn)評】此題重要考察菱形的面積等于兩條對角線的積的一半.1６．（２02３?梅州)如圖，在?AＢＣD中,BE平分∠ABC，ＢＣ＝6,DE=2，則?AＢCＤ的周長等于2０.【分析】根據(jù)四邊形ＡBCＤ為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠ABE=∠AＥB，繼而可得AB=AＥ，然后根據(jù)已知可求得結(jié)果．【解答】解:∵四邊形ＡBCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD=BC,ＡB＝ＣD,∴∠AEＢ＝∠EBＣ,∵BＥ平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBＣ,∴∠ABE＝∠ＡEB，∴AB=ＡE，∴AE＋ＤE=AD＝BC=6,∴AE+2=６,∴AＥ=４,∴AB=CD=4，∴?ABCD的周長=4+4＋6+6=20，故答案為:20.【點(diǎn)評】本題考察了平行四邊形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出∠ABE=∠AＥB.17．（２023?廈門)如圖，?AＢCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別是線段AO,BO的中點(diǎn),若AＣ+BＤ=24厘米,△OAB的周長是1８厘米,則EF＝３厘米．【分析】根據(jù)ＡＣ+BD=２4厘米,可得出出OA+OB=12cm,繼而求出AB，判斷EＦ是△OAＢ的中位線即可得出EF的長度．【解答】解:∵四邊形ＡＢCＤ是平行四邊形，∴OＡ=OC，OB＝OD,又∵AC+ＢD=24厘米,∴ＯＡ+ＯB=１２cｍ,∵△OAB的周長是１8厘米，∴AＢ＝6cm,∵點(diǎn)E,Ｆ分別是線段AＯ,BO的中點(diǎn)，∴ＥF是△ＯＡB的中位線，∴EF=AB=３cm.故答案為:3．【點(diǎn)評】本題考察了三角形的中位線定理,解答本題需要用到:平行四邊形的對角線互相平分，三角形中位線的鑒定定理及性質(zhì).1８.（２023?臨夏州)如圖，矩形AＢCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD和ＢC于點(diǎn)E、F，AB=2,BＣ=3,則圖中陰影部分的面積為3.【分析】根據(jù)矩形是中心對稱圖形尋找思緒：△ＡOＥ≌△ＣOF,圖中陰影部分的面積就是△ＢCＤ的面積.【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形,∴ＯＡ=OC,∠ＡEO=∠CFO；又∵∠AOＥ＝∠ＣOF，在△ＡOE和△COＦ中,，∴△AOＥ≌△COF,∴S△ＡOＥ=S△ＣOF，∴圖中陰影部分的面積就是△BCD的面積．S△BＣD=ＢC×CＤ＝×2×３=3.故答案為:3.【點(diǎn)評】此題重要考察了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的鑒定和性質(zhì),可以根據(jù)三角形全等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半,是解決問題的關(guān)鍵．1９.(202３?宿遷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若菱形ＡBCＤ的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(﹣3，0),（2，0），點(diǎn)D在y軸上,則點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)是（５,4).【分析】運(yùn)用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DＯ的長,進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解:∵菱形AＢCＤ的頂點(diǎn)A,Ｂ的坐標(biāo)分別為(﹣3,0）,（2,0），點(diǎn)D在y軸上,∴ＡＢ=5,∴DＯ=４,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(５,４).故答案為：（5，４)．【點(diǎn)評】此題重要考察了菱形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),得出DO的長是解題關(guān)鍵.20．（202３?黃岡）如圖,在正方形ＡＢＣＤ中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF=２0°，則∠AED等于65度.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BＡＥ＝∠ＤAE,再運(yùn)用SAＳ證明△ABE與△ADE全等,再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和解答即可.【解答】解:∵正方形ABCD,∴ＡＢ=AD，∠BAE＝∠ＤAE,在△ＡBE與△ADE中,，∴△ABE≌△ADE（ＳAS），∴∠ＡEＢ＝∠AED,∠ＡBE=∠ＡＤE，∵∠CBＦ＝20°,∴∠ABE=70°,∴∠ＡＥＤ=∠AＥB＝180°﹣45°﹣70°＝65°,故答案為：6５【點(diǎn)評】此題考察正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ＢAＥ=∠DAE，再運(yùn)用全等三角形的鑒定和性質(zhì)解答.２1.（20２3?十堰）如圖，?AＢＣD中,∠ＡＢC=６０°,E、F分別在CD和BC的延長線上,ＡE∥ＢD，EF⊥ＢC，EF=，則AB的長是1．【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AB=CD，AB∥CD,得出平行四邊形ABDE，推出DＥ=DＣ＝AB,根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出ＣE長，即可求出AB的長．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AＢ∥ＤC,AB=ＣD,∵AE∥ＢD，∴四邊形ＡBDE是平行四邊形，∴AB=DＥ=ＣD，即D為CE中點(diǎn)，∵EＦ⊥BＣ，∴∠EＦC=90°，∵AＢ∥CD，∴∠ＤＣF=∠ABC=６0°,∴∠ＣEＦ=30°，∵EＦ＝，∴CE==2，∴ＡB＝1，故答案為:1.【點(diǎn)評】本題考察了平行四邊形的性質(zhì)和鑒定，平行線性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì),含３0度角的直角三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng),是一道比較好的題目．２2.(202３?黔西南州)如圖所示,菱形ABCD的邊長為4,且AE⊥BC于E,AＦ⊥ＣD于Ｆ，∠B=60°，則菱形的面積為.【分析】根據(jù)已知條件解直角三角形ABＥ可求出AE的長，再由菱形的面積等于底×高計(jì)算即可.【解答】解:∵菱形ABCＤ的邊長為4,∴AB=ＢＣ=４，∵AE⊥BＣ于E，∠B=６０°，∴sinB==,∴ＡＥ=２,∴菱形的面積=4×2=8，故答案為8．【點(diǎn)評】本題考察了菱形的性質(zhì):四邊相等以及特殊角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運(yùn)用.23．(２023?鞍山）如圖，D是△ＡＢC內(nèi)一點(diǎn),BＤ⊥CD,AＤ=6,BD=４，CＤ=３，Ｅ、F、G、H分別是AB、AC、ＣD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是1１.【分析】運(yùn)用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出ＥＨ＝FＧ=AD,EF=GH=ＢC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解.【解答】解：∵BD⊥CD,BD=4，CD＝3，∴BC===5，∵E、F、Ｇ、H分別是AB、AC、ＣＤ、BD的中點(diǎn),∴EH=ＦＧ=AD,ＥF=GH=BC,∴四邊形ＥFGH的周長＝ＥH+GH+FG+EF=AD+ＢＣ，又∵AD=６,∴四邊形EFGH的周長=6+5=11.故答案為:11.【點(diǎn)評】本題考察了三角形的中位線定理,勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．２4．（2023?攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC中，A(１0，0）,C(0，4),D為OA的中點(diǎn)，Ｐ為BＣ邊上一點(diǎn).若△PＯD為等腰三角形，則所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5,４)，或（3,4)，或（2,4），或(８，4).【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠ＯCＢ=90°,OC=４,ＢＣ=ＯA=10，求出ＯＤ=AD=5，分情況討論:①當(dāng)PＯ=ＰD時(shí)；②當(dāng)OP＝OＤ時(shí);③當(dāng)DP＝DO時(shí)；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)或勾股定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形ＯAＢC是矩形,∴∠OCB=９0°，ＯＣ＝4，BＣ＝OA=10,∵D為OA的中點(diǎn)，∴ＯD=AＤ=5,①當(dāng)ＰO=PD時(shí)，點(diǎn)Ｐ在ＯＤ得垂直平分線上,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(２.5,4)；②當(dāng)OP=OＤ時(shí),如圖1所示：則OP＝OD＝5，PC＝=3,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(3，4）；③當(dāng)DP=DＯ時(shí),作PＥ⊥OA于Ｅ，則∠PED=90°,ＤE＝=3;分兩種情況：當(dāng)E在D的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：OE＝5﹣3=2，∴點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為：（２,４）;當(dāng)E在D的右側(cè)時(shí),如圖3所示:OE＝5+３＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(8,4);綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(２.5，4），或(3,４),或（2,４），或(8，4）；故答案為：（２.5，4），或（3，4),或(２，4）,或(8，4)．【點(diǎn)評】本題考察了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的鑒定、勾股定理；本題有一定難度,需要進(jìn)行分類討論才干得出結(jié)果.2５．（２０23?阜新)如圖,已知△ＡBC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣2，０），B（﹣1，2),C（2，0）．請直接寫出以A,Ｂ,Ｃ為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（3,2）,(﹣5，2),(１，﹣２).【分析】一方面根據(jù)題意畫出圖形,分別以BC,AB，ＡC為對角線作平行四邊形，即可求得答案.【解答】解:如圖：以A,B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為:（3，2）,(﹣5，2),（１，﹣2）．故答案為：(３，2），（﹣5，2），(1,﹣2).【點(diǎn)評】此題考察了平行四邊形的性質(zhì)．注意坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．26.(202３?丹東）如圖，在菱形ＡＢCD中,AB＝４ｃm，∠ADC=１２0°，點(diǎn)E、F同時(shí)由Ａ、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AＢ、CB方向向點(diǎn)Ｂ勻速移動（到點(diǎn)B為止），點(diǎn)E的速度為1cｍ/s，點(diǎn)F的速度為2cｍ／s，通過t秒△DEＦ為等邊三角形,則ｔ的值為.【分析】延長AＢ至M，使ＢM=AE,連接FM,證出△ＤＡE≌ＥＭF,得到△BＭF是等邊三角形，再運(yùn)用菱形的邊長為4求出時(shí)間t的值.【解答】解：延長AＢ至M，使ＢM＝AE，連接FM，∵四邊形ＡBＣD是菱形,∠ADC=120°∴ＡB=AD，∠Ａ=6０°,∵BM=ＡE，∴ＡD=ME，∵△DEF為等邊三角形,∴∠DAE=∠ＤＦＥ=60°，DE=EF=ＦD,∴∠ＭEＦ+∠DEA═120°，∠ADＥ+∠DEA＝180°﹣∠A=120°，∴∠MEＦ=∠ＡDE，∴在△DＡE和△EMＦ中，∴△DＡE≌EＭF（SAS）,∴AE=ＭF,∠M＝∠A＝60°，又∵BM＝AＥ,∴△ＢＭF是等邊三角形，∴BＦ=ＡE，∵AE=t,CF=２t，∴BC=ＣＦ+BF=2t+t=３t，∵BC＝4，∴3t=４,∴t=故答案為:.或連接BD．根據(jù)SＡＳ證明△ＡDE≌△ＢDＦ，得到ＡE=ＢF,列出方程即可．【點(diǎn)評】本題重要考察了菱形的性質(zhì)，全等三角形的鑒定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形全等得出△BＭF是等邊三角形．2７.(2０23?廣州)如圖,四邊形ＡＢCD中,∠A=９0°，ＡB=3，ＡD=３,點(diǎn)M，N分別為線段BＣ,AＢ上的動點(diǎn)（含端點(diǎn),但點(diǎn)M不與點(diǎn)Ｂ重合），點(diǎn)E,F分別為DＭ,ＭN的中點(diǎn),則EF長度的最大值為３.【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出ＥF=DN,從而可知ＤN最大時(shí)，EF最大，由于N與B重合時(shí)DN最大,此時(shí)根據(jù)勾股定理求得DＮ=ＤB=６，從而求得ＥF的最大值為3．【解答】解:∵ＥD＝ＥＭ,MF=FN，∴EＦ＝DＮ,∴DN最大時(shí)，ＥF最大,∵N與B重合時(shí)DN最大,此時(shí)ＤＮ＝DB==6,∴EF的最大值為3.故答案為３.【點(diǎn)評】本題考察了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用,純熟掌握定理是解題的關(guān)鍵．三.解答題（共13小題）28．（20２3?梧州)如圖，已知：AB∥CＤ，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E,ＣＦ⊥AD,垂足為點(diǎn)F，并且AE=DＦ．求證：四邊形BECＦ是平行四邊形.【分析】通過全等三角形（△AEＢ≌△DFC）的相應(yīng)邊相等證得BＥ＝ＣF，由“在同一平面內(nèi)，同垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”證得BE∥CF.則四邊形BECＦ是平行四邊形．【解答】證明：∵BE⊥AD，ＣF⊥AD,∴∠AＥＢ=∠ＤFC＝90°，∵AB∥CＤ，∴∠Ａ=∠D,在△AEＢ與△DFC中，,∴△AEB≌△ＤFＣ（AＳA）,∴BE＝ＣF.∵BE⊥ＡD,CF⊥ＡＤ,∴BE∥CF.∴四邊形ＢECF是平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考察了平行四邊形的鑒定、全等三角形的鑒定與性質(zhì).一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.29．(２023?安順)已知:如圖，在△ABＣ中,AB=AＣ，ＡD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,ＡN是△AＢC外角∠CＡM的平分線,CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E,（1)求證：四邊形AＤCE為矩形;(２）當(dāng)△ＡBＣ滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．【分析】（1)根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AＮ，ＡD⊥BC,所以求證∠ＤＡE=9０°,可以證明四邊形AＤCE為矩形．（2)根據(jù)正方形的鑒定,我們可以假設(shè)當(dāng)AD＝BＣ,由已知可得，DC=ＢC,由(1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形,所以證得,四邊形ADCＥ為正方形．【解答】（1）證明:在△ABC中，ＡB=AC,AD⊥ＢC，∴∠BAD＝∠ＤＡC,∵AN是△AＢＣ外角∠ＣAＭ的平分線，∴∠MAE=∠CAE,∴∠ＤAE=∠ＤAC+∠ＣＡE=１８０°=90°,又∵ＡＤ⊥ＢＣ，CE⊥AN,∴∠ＡDＣ＝∠CＥA=９0°，∴四邊形AＤCE為矩形．(２)當(dāng)△AＢC滿足∠BAC=9０°時(shí)，四邊形ＡDＣE是一個(gè)正方形.理由:∵ＡB=AC,∴∠ACB＝∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACＤ=45°，∴DC＝AD，∵四邊形ＡDＣＥ為矩形，∴矩形ADCＥ是正方形．∴當(dāng)∠ＢAＣ=９0°時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形．【點(diǎn)評】本題是以開放型試題,重要考察了對矩形的鑒定，正方形的鑒定,等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用.30．(2023?涼山州)如圖，分別以Rt△ABＣ的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE.已知∠BＡC=３０°，EF⊥AB，垂足為F,連接ＤF.（1)試說明AC=EF;(2)求證:四邊形AＤFE是平行四邊形．【分析】(1)一方面Rｔ△ＡBC中,由∠BAC＝30°可以得到AB=2ＢC，又由于△ABE是等邊三角形,ＥF⊥ＡＢ，由此得到AE＝2ＡF，并且AB=2AF,然后即可證明△ＡFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC＝EF;(2）根據(jù)（1)知道EＦ＝AＣ,而△AＣD是等邊三角形，所以EF＝AC=AD，并且AD⊥AＢ，而EF⊥AB，由此得到ＥF∥AD,再根據(jù)平行四邊形的鑒定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．【解答】證明:(1)∵Rt△ＡBC中,∠BAＣ=30°，∴AＢ=2BC,又∵△ABE是等邊三角形,ＥF⊥ＡB，∴AB=2AF∴AF＝BC，在Rｔ△AFE和Rｔ△ＢCA中,,∴△AFE≌△BＣＡ（HL)，∴AC=EF；(2)∵△ACD是等邊三角形,∴∠DAC＝6０°，AC=AＤ，∴∠DAB=∠DAＣ+∠BAC=９０°又∵EＦ⊥AＢ，∴EF∥ＡＤ，∵AC=EＦ，AC＝AＤ，∴EF＝AD,∴四邊形ADFE是平行四邊形.【點(diǎn)評】此題是一方面運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形．3１．(2０23?南平)如圖，矩形AＢCD中，AC與ＢD交于點(diǎn)O,BE⊥ＡC，CF⊥ＢD，垂足分別為Ｅ，F(xiàn)．求證:ＢE＝CＦ.【分析】要證BE=CF,可運(yùn)用矩形的性質(zhì)結(jié)合已知條件證BE、CＦ所在的三角形全等．【解答】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AＣ=BD，則BO＝ＣO.∵BE⊥AC于Ｅ,CＦ⊥ＢD于F，∴∠BEO=∠ＣFO=90°.又∵∠BOＥ=∠COＦ,∴△BOE≌△ＣOF．∴BE=ＣF．【點(diǎn)評】本題重要考察矩形的性質(zhì)及三角形全等的鑒定方法．解此題的重要錯(cuò)誤是思維順勢，想當(dāng)然，由AＢCＤ是矩形，就直接得出OB=ＯD，對相應(yīng)邊上的高的“相應(yīng)邊”理解不透徹.３２．(20２３?臨夏州)如圖，在△ABC中,D是ＢＣ邊上的一點(diǎn)，E是ＡD的中點(diǎn),過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)Ｆ,且ＡＦ=BD,連接BF.（1）線段BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBＤ是矩形?并說明理由.【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后運(yùn)用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形相應(yīng)邊相等可得AF＝CＤ,再運(yùn)用等量代換即可得證;(2）先運(yùn)用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBＤ是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．【解答】解：(1)ＢＤ＝CD.理由如下：依題意得ＡF∥BC，∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中點(diǎn),∴ＡE=DE,在△ＡEＦ和△DEＣ中,,∴△ＡEF≌△DEC（AＡS）,∴AF=CD,∵AF=BD,∴BD=CD;(２)當(dāng)△ＡBC滿足：AB=AＣ時(shí)，四邊形AFＢD是矩形．理由如下:∵AF∥BD,AＦ=BＤ，∴四邊形AＦBD是平行四邊形,∵AB＝AＣ，ＢD=CD（三線合一),∴∠ＡDＢ=９0°,∴?AFBD是矩形.【點(diǎn)評】本題考察了矩形的鑒定，全等三角形的鑒定與性質(zhì),平行四邊形的鑒定，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.3３.(2023?安順）如圖,在△AＢC中,Ｄ、Ｅ分別是AＢ、ＡC的中點(diǎn)，ＢE=2DE,延長DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接ＣＦ.（1）求證:四邊形ＢCFE是菱形；（2）若CE=4,∠BＣＦ=120°,求菱形BCFＥ的面積．【分析】從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=ＢC，所以BＣ和EF平行且相等,所以四邊形BCFE是平行四邊形，又由于ＢE=ＦE,所以是菱形;∠ＢCF是１20°,所以∠ＥBC為60°,所以菱形的邊長也為4,求出菱形的高面積就可求.【解答】（1)證明:∵D、E分別是AB、AＣ的中點(diǎn),∴ＤE∥ＢC且2DＥ=ＢC，又∵ＢＥ＝2DE，ＥF=BE，∴EF=BC,ＥF∥BＣ,∴四邊形BCFE是平行四邊形,又∵BＥ=FE,∴四邊形BCFE是菱形;(2)解:∵∠ＢCF=120°,∴∠EBC=６0°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4,高為2，∴菱形的面積為４×２=8．【點(diǎn)評】本題考察菱形的鑒定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識點(diǎn).34．（2０23?梅州）如圖，在正方形ABCＤ中，E是AB上一點(diǎn),F是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE.（1）求證：CE＝ＣF;(２)若點(diǎn)Ｇ在ＡD上，且∠ＧCＥ=45°，則ＧE=BE+GD成立嗎?為什么?【分析】(1)由DF=BＥ，四邊形ＡＢCD為正方形可證△ＣEB≌△ＣＦＤ，從而證出CE=CF.(２)由(1)得，CE=ＣF，∠BCE+∠EＣD＝∠DCＦ+∠EＣD即∠EＣF=∠BCＤ=９0°又∠GＣE＝45°所以可得∠GCE=∠GCＦ，故可證得△ECＧ≌△FCG，即EG=FG=GＤ＋DF．又由于DF=BＥ,所以可證出GE=BE＋GD成立.【解答】(1）證明:在正方形ABCD中，∵,∴△CBE≌△CDF(ＳＡS）．∴CE=CＦ.(2）解:GE=BE+GD成立.理由是：∵由(1)得:△CＢE≌△CDF,∴∠BＣE＝∠ＤCF，∴∠ＢＣE+∠EＣD=∠DCF＋∠EＣD,即∠ECF＝∠BCD=90°,又∵∠ＧCE=45°,∴∠ＧCF＝∠GCE=45°.∵,∴△EＣG≌△FＣG（ＳＡＳ).∴GE=GF.∴GＥ=DF+GＤ=BE+GD.【點(diǎn)評】本題重要考察證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考察了通過全等找出和GＥ相等的線段,從而證出關(guān)系是不是成立．35．（2０23?咸寧)如圖,在△ABＣ中,點(diǎn)O是ＡC邊上的一個(gè)動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線ＭN∥BＣ，設(shè)ＭN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠ＢＣA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證:ＥO=FO；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí),四邊形AECＦ是矩形?并證明你的結(jié)論.【分析】（１）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì),以及由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證．（2)根據(jù)矩形的鑒定方法,即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證．【解答】（1）證明：∵CE平分∠ACＢ,∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC,∴∠１＝∠3,∴∠3=∠2,∴ＥO＝ＣO，同理，F(xiàn)O＝CＯ,∴EO=FO.(2)解:當(dāng)點(diǎn)Ｏ運(yùn)動到ＡC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由：∵EＯ=ＦO,點(diǎn)O是ＡＣ的中點(diǎn).∴四邊形AECＦ是平行四邊形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5,又∵∠１=∠2，∴∠2+∠４＝×180°=90°.即∠ECＦ=9０°，∴四邊形AEＣＦ是矩形.【點(diǎn)評】本題涉及矩形的鑒定定理,解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙,運(yùn)用發(fā)散思維,多方思考,探究問題在不同條件下的不同結(jié)論,挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展,從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.36．(2０23?張家界）如圖,已知:在平行四邊形ＡBCD中,點(diǎn)Ｅ、F、Ｇ、Ｈ分別在邊AB、ＢＣ、ＣD、DA上,AE=CG，AH=CF，且ＥＧ平分∠HEF.求證:（1)△AEＨ≌△ＣGF；(2）四邊形EFＧH是菱形．【分析】（1)由全等三角形的鑒定定理SAS證得結(jié)論；(２）易證四邊形ＥFＧH是平行四邊形，那么EＦ∥ＧH，那么∠HGE=∠FEＧ,而EＧ是角平分線,易得∠ＨＥG=∠FEG,根據(jù)等量代換可得∠HＥG=∠HGE，從而有ＨE=ＨＧ,易證四邊形EFGH是菱形.【解答】(1）證明：如圖,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C,在△AＥH與△CGＦ中，，∴△AEH≌△ＣGF(SＡS）;（2）∵四邊形AＢCD是平行四邊形,∴AＢ＝ＣＤ,AＤ=BＣ，∠B=∠D.又∵AＥ=CＧ，AＨ=CF，∴BE=ＤG,BＦ=DH，在△BEF與△DＧH中，∴△BＥF≌△DGＨ（SＡＳ)，∴EF=ＧH.又由(１）知，△AEH≌△CGＦ,∴EＨ＝ＧF,∴四邊形ＥＦGH是平行四邊形,∴HＧ∥EF,∴∠HGE=∠FEG,∵ＥＧ平分∠HEF，∴∠ＨEＧ=∠FEG，∴∠HＥG=∠HGE，∴HE=HＧ,∴四邊形ＥFＧH是菱形.【點(diǎn)評】本題考察了全等三角形的鑒定和性質(zhì)、平行四邊形的鑒定和性質(zhì)、菱形的鑒定．解題的關(guān)鍵是掌握兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形,一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．37.(2023?葫蘆島）如圖,四邊形ABCD中，ＡD∥BＣ,ＢA⊥AＤ，ＢC=ＤC，BＥ⊥ＣD于點(diǎn)E.（1)求證：△ABD≌△EBＤ；(２）過點(diǎn)E作EＦ∥DA,交BD于點(diǎn)F,連接AＦ．求證:四邊形AＦＥＤ是菱形．【分析】(1）一方面證明∠1=∠２．再由BA⊥AＤ,ＢE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共邊ＢD=BＤ可得△ABD≌△EBD；（2)一方面證明四邊形AFEＤ是平行四邊形，再有AD=ED,可得四邊形ＡFＥＤ是菱形.【解答】證明:（1)如圖，∵AD∥BC,∴∠1=∠ＤBＣ.∵BＣ＝ＤC，∴∠2＝∠DＢC.∴∠1＝∠2.∵BA⊥ＡD，BE⊥CＤ∴∠BAD=∠BED=9０°，在△ＡBＤ和△EＢD中，∴△ABD≌△ＥBＤ（AAS）；(２）由（1)得,AD＝ＥD，∠1=∠2．∵EF∥DA,∴∠1=∠３．∴∠2=∠3.∴EＦ=ED．∴EF=AD.∴四邊形ＡＦED是平行四邊形．又∵AD＝ED,∴四邊形ＡFED是菱形.【點(diǎn)評】此題重要考察了全等三角形的鑒定與性質(zhì),以及菱形的鑒定,關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．38.（2０２３?三明)如