統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)第4章綜合指標(biāo)

第四章綜合指標(biāo)第一節(jié)總量指標(biāo)一、總量指標(biāo)的意義與作用意義：總量指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象發(fā)展的總規(guī)模、總水平的綜合指標(biāo)。它是對(duì)統(tǒng)計(jì)調(diào)查來(lái)的原始資料經(jīng)過(guò)分組和匯總得到的各種統(tǒng)計(jì)數(shù)字，是統(tǒng)計(jì)整理階段的直接結(jié)果，為統(tǒng)計(jì)研究進(jìn)入統(tǒng)計(jì)分析階段提供可靠的基礎(chǔ)?？偭恐笜?biāo)是最基本的綜合指標(biāo)。作用：是對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)是編制計(jì)劃，實(shí)行經(jīng)營(yíng)管理的主要依據(jù)是計(jì)算相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)二、總量指標(biāo)種類(lèi)（一）按其反映現(xiàn)象總體內(nèi)容不同，分為總體單位總量和總體標(biāo)志總量，簡(jiǎn)稱(chēng)為單位總量和標(biāo)志總量（如下表）。（二）按反映時(shí)狀總的不同，可分為時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)。時(shí)點(diǎn)指標(biāo)是存量，時(shí)期指標(biāo)是流量。比如月工資是流量，而銀行存款數(shù)則是存量。時(shí)期指標(biāo)可以加總，而時(shí)點(diǎn)指標(biāo)不能進(jìn)行加總。經(jīng)濟(jì)類(lèi)型企業(yè)數(shù)工人數(shù)總產(chǎn)值（萬(wàn)元）實(shí)現(xiàn)利稅（萬(wàn)元）年末固定資產(chǎn)原值（萬(wàn)）全民16473900020451063850022375集體160758001975855978022398單位總量標(biāo)志總量統(tǒng)計(jì)學(xué)上將實(shí)物計(jì)量的指標(biāo)稱(chēng)為實(shí)物指標(biāo)，其主要特點(diǎn)是能直接反映產(chǎn)品的使用價(jià)值或現(xiàn)象的具體內(nèi)容，因而能夠具體地表明事物的規(guī)模和水平。但是這樣使實(shí)物總量匯總成為不可能。因?yàn)椴煌挛镉胁煌膯挝?，不同的?jì)量方法，對(duì)于不同事物則無(wú)從匯總。以貨幣單位計(jì)算的總量指標(biāo)又稱(chēng)為貨幣指標(biāo)或價(jià)值指標(biāo)。它具有綜合的概括能力。但是價(jià)值指標(biāo)也有局限性，就是它脫離了物質(zhì)內(nèi)容，有時(shí)也不能反映真實(shí)性況。比如通貨膨脹情況發(fā)生時(shí)，就更不能反映實(shí)際，特別是在不同時(shí)期時(shí)行比較時(shí)更易脫離實(shí)際。（比如開(kāi)國(guó)第一大案中劉清山、張子善涉案金額達(dá)155億之多，但看到這一數(shù)字時(shí)需考慮到當(dāng)時(shí)的貨幣購(gòu)買(mǎi)力）三、總量指標(biāo)的計(jì)量單位1、對(duì)總量指標(biāo)的實(shí)質(zhì)，包括期涵義、范圍做嚴(yán)格的確定。即使用概念時(shí)一定要對(duì)概念進(jìn)行界定。2、計(jì)算實(shí)物總量時(shí)，要注意現(xiàn)象的同類(lèi)性。3、應(yīng)使用統(tǒng)一的計(jì)量單位四、總量指標(biāo)資料的統(tǒng)計(jì)要求第二節(jié)相對(duì)指標(biāo)一、相對(duì)指標(biāo)的意義及表現(xiàn)形式相對(duì)指標(biāo)又稱(chēng)統(tǒng)計(jì)相對(duì)數(shù)，它是兩個(gè)有相互關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象數(shù)量的比率，用以反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度或比率關(guān)系。它為人們深入認(rèn)識(shí)事物發(fā)展質(zhì)量與狀況提供客觀(guān)的依據(jù)。計(jì)算相對(duì)指標(biāo)可以使不能直接對(duì)比的現(xiàn)象找到可以對(duì)比的基礎(chǔ)，進(jìn)行更為有效的分析。如考察企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)狀況，由于條件不同，產(chǎn)品不同，不能用產(chǎn)值指標(biāo)作為依據(jù)。二、相對(duì)指標(biāo)的種類(lèi)及計(jì)算方法1、結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)：結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)就是在資料分組的基礎(chǔ)上，以總體總量作為比較標(biāo)準(zhǔn)，求出各組總量占總體總量的比重，以反應(yīng)事物的內(nèi)部構(gòu)成。基公式如下：第i組的結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)是第i組總量除以各組總量之和如：2005年我國(guó)GDP182321億元，其中第一產(chǎn)業(yè)22718億元，第二產(chǎn)業(yè)86208億元，第三產(chǎn)業(yè)73395億元。分別占GDP的12.4%，47.3%，40.3%.2、比例相對(duì)指標(biāo)。它是指同總體中不同部分?jǐn)?shù)量對(duì)比，用于分析各組之間的比例協(xié)調(diào)關(guān)系。其公式如下3、比較相對(duì)指標(biāo)。它是指不同總體的同類(lèi)現(xiàn)象數(shù)量對(duì)比而確定的相對(duì)指標(biāo)，用以說(shuō)明某同一類(lèi)現(xiàn)象在同一時(shí)間內(nèi)各單位發(fā)展的不平衡程度，以表明同類(lèi)事物在不同條件不的數(shù)量對(duì)比關(guān)系。公式如下：4、強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)。強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)是同總體的兩個(gè)性質(zhì)不同而有聯(lián)系的總量指標(biāo)之間的對(duì)比，用以表明某一現(xiàn)象中發(fā)展的強(qiáng)度、密度和普遍程度。表達(dá)公式如下：5、動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)。它是指發(fā)展速度，表示同類(lèi)事物報(bào)告期水平同基期對(duì)比的發(fā)展變化程度。公式如下：

6、計(jì)劃完成程度指標(biāo)（詳例請(qǐng)參見(jiàn)課后習(xí)題第9-11題解答）

該公式的子項(xiàng)與母項(xiàng)的指標(biāo)涵義、計(jì)算口徑、計(jì)算方法、計(jì)算單位以及空間長(zhǎng)短和時(shí)間范圍等方面都要一致。例如，某企業(yè)2004年產(chǎn)品產(chǎn)計(jì)劃達(dá)到1500，實(shí)際產(chǎn)量為2000噸，則產(chǎn)量計(jì)劃完成程度=2000/1500*100%=133%（1）計(jì)劃任務(wù)數(shù)以絕對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)：檢查其計(jì)劃完成情況一般分為長(zhǎng)期計(jì)劃完成與短期計(jì)劃完成情況。A、短期分子分母為同期的，用于說(shuō)明本期計(jì)劃完成情況計(jì)劃完成度相對(duì)指標(biāo)=本期實(shí)際數(shù)/本期計(jì)劃數(shù)B、長(zhǎng)期計(jì)劃完成情況檢查長(zhǎng)期累計(jì)法水平法（1）計(jì)劃任務(wù)數(shù)以相對(duì)數(shù)形式出現(xiàn)其中a1指實(shí)際水平，an指計(jì)劃水平，a0指上年水平。動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)：a1/a0計(jì)劃任務(wù)相對(duì)指標(biāo)：a1/an計(jì)劃完成相對(duì)指標(biāo)a1/an例：某工廠(chǎng)2003產(chǎn)量計(jì)劃完成110%，2003產(chǎn)量計(jì)劃比2002年增長(zhǎng)%，則2003年同2002年比較增長(zhǎng)百分?jǐn)?shù)=108%*110%=118.8%第三節(jié)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)指標(biāo)

一、描述分布集中趨勢(shì)的主要指標(biāo)及其作用1、描述分布集中趨勢(shì)的主要指標(biāo)：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)2、作用：（1）反映總體各單位變量分布的集中趨勢(shì)和一般水平；（2）便于比較同類(lèi)現(xiàn)象在不同單位間的發(fā)展水平；（3）能夠比較同類(lèi)現(xiàn)象在不同時(shí)期的發(fā)展變化趨勢(shì)或規(guī)律；（4）分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系時(shí)也常借助于平均指標(biāo)。一、算術(shù)平均數(shù)(一)概述算術(shù)平均數(shù)(Arithmeticmean)也稱(chēng)為均值(Mean)，是全部數(shù)據(jù)算術(shù)平均的結(jié)果。算術(shù)平均法是計(jì)算平均指標(biāo)最基本、最常用的方法。計(jì)算公式為

算術(shù)平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位，是集中趨勢(shì)的最主要度量值，通常用（讀作）表示。根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。（二）簡(jiǎn)單算術(shù)平均未經(jīng)分組整理的原始數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算就是直接將一組數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)值相加除以數(shù)值個(gè)數(shù)。例：40名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原始成績(jī)請(qǐng)求出平均成績(jī)（可以用EXCEL求解更為方便，見(jiàn)第四章：算術(shù)平均.xls文件）該班40名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的平均成績(jī)?yōu)椋海ǘ┘訖?quán)算術(shù)平均數(shù)(Weightedarithmeticmean)1、根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，就要以各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)或頻數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)的算術(shù)平均數(shù)。公式為：其中：Xi是各組變量值（組中值），fi為各組頻次40名同學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)匯總表例：如右表，求解如下，詳解過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)：第四章：加權(quán)平均.xls文件。2、加權(quán)平均值影響因素分析

從上式可能看出，加權(quán)平均數(shù)受兩方面因素影響，一是各組標(biāo)志值；二是各組頻次。這樣加權(quán)平均值可以表示為各組變量值與其頻率之積再求和。上例中的加權(quán)平均亦可以按如下方法求解右上表為原始數(shù)據(jù)，下表為計(jì)算后數(shù)據(jù)，結(jié)果為平均起重量14起重量（噸）X臺(tái)數(shù)f起重總量xf4014025250103305420合計(jì)10140起重量（噸）X臺(tái)數(shù)構(gòu)成4010425205103035402合計(jì)10143、相對(duì)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)

相對(duì)數(shù)與平均數(shù)的資料求平均數(shù)時(shí)，則要區(qū)別情況對(duì)待。需要按題意分子分母分別計(jì)算總數(shù)進(jìn)行平均。如例題：平均值為1050/1000=105%，詳解過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)“第四章：相對(duì)數(shù)加權(quán)平均.xls”文件計(jì)劃完成程度（%）組中值X企業(yè)數(shù)計(jì)劃任務(wù)數(shù)f實(shí)際完成數(shù)（萬(wàn)元）XF90-10095510095100-1101058800840110-1201152100115合計(jì)加權(quán)平均數(shù)的性質(zhì)⑴各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零，⑵各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小，二、調(diào)和平均數(shù)

在前面的加權(quán)平均數(shù)求解中，分子部分（標(biāo)志值總量）是通過(guò)各組標(biāo)志值乘以總體單位數(shù)之后再和求得，而分母部分都是給出的。在實(shí)際工作中，經(jīng)常會(huì)遇到只有各組變量值和各組標(biāo)志總量而缺少總體單位數(shù)的情況，這時(shí)就得反求分線(xiàn)，這是是調(diào)和平均數(shù)法計(jì)算平均指標(biāo)。1、簡(jiǎn)單調(diào)和平均2、加權(quán)調(diào)和平均某商品有三種不同的規(guī)格，銷(xiāo)售單價(jià)與銷(xiāo)售量如表所示，求這三種不同規(guī)格商品的平均銷(xiāo)售單價(jià)。

請(qǐng)先比較兩表的異同

如果上面兩表的前三列均是已知數(shù)，而最后一列是示知的話(huà)，那么前一表中缺少銷(xiāo)售額即標(biāo)志值總量；后一表中缺少的是銷(xiāo)售量即總體單位數(shù)。而下表中的其實(shí)就是上表中的。因而：調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)沒(méi)有本質(zhì)的不同，所不同的是已知條件不同。在算術(shù)平均數(shù)里總體單位數(shù)已知，而標(biāo)志值總量未知；而在調(diào)和平均數(shù)中，標(biāo)志值總量已知，而總體單位數(shù)卻不知，因而首先得求出總體單位數(shù)，即，然后用標(biāo)志總量除以已求出的總體單位數(shù)即得出平均數(shù)。三、眾數(shù)（一）概念眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值.從變量分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢(shì)點(diǎn)的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。當(dāng)然，如果數(shù)據(jù)的分布沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)或最高峰點(diǎn)，眾數(shù)也可以不存在；如果有多個(gè)高峰點(diǎn)，也就有多個(gè)眾數(shù)。單項(xiàng)數(shù)列資料眾數(shù)的確定單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)，只需要直接判斷哪一組的次數(shù)最多，該組的變量值即為眾數(shù)。組距數(shù)列分組資料的近似計(jì)算組距數(shù)列確定眾數(shù)，是先根據(jù)數(shù)列數(shù)最多的組確定為眾數(shù)所在組，再利用插補(bǔ)法求其近似值。計(jì)算公式如下：………………（公式4-19）式中，m0代表眾數(shù)；lm0代表眾數(shù)組下限；dm0代表眾數(shù)組組距；?m0-1代表眾數(shù)組前一組的次數(shù)；?m0代表眾數(shù)組的次數(shù)；?m0+1代表眾數(shù)組的后一組的次數(shù)。例題，概據(jù)下表計(jì)算眾數(shù)某地區(qū)農(nóng)民家庭收入資料

=1511.8（元）

四、中位數(shù)（一）概念：中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中間位置的那個(gè)數(shù)值。（二）中位數(shù)的計(jì)算對(duì)于未分組的原始資料，首先必須將標(biāo)志值按大小排序。設(shè)排序的結(jié)果為：

則中位數(shù)就可以按下面的方式確定： ，當(dāng)n為奇數(shù)……（4-16），當(dāng)n為偶數(shù)………………（4-17）3、分組中位數(shù)的算法中位數(shù)計(jì)算公式如下：……（公式4-18）式中，Lme代表中位數(shù)組的下限；dme代表中位數(shù)組組距；∑?代表數(shù)列頻數(shù)總和；Sme-1代表累計(jì)至中位數(shù)所在組前一組止的頻數(shù)；?me代表中位數(shù)所在組的頻數(shù)。第三節(jié)數(shù)據(jù)分布的離散趨勢(shì)一、變異指標(biāo)含義（一）變異指標(biāo)的概念在統(tǒng)計(jì)研究中，通常把一組數(shù)值之間的差異程度叫做標(biāo)志變動(dòng)度。測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)度大小的指標(biāo)叫做標(biāo)志變異指標(biāo)。標(biāo)志變動(dòng)度與標(biāo)志變異指標(biāo)在數(shù)值上成正比。如果說(shuō)平均指標(biāo)說(shuō)明總體分布的集中趨勢(shì)的話(huà)，標(biāo)志變異指標(biāo)則說(shuō)明總體分布的離中趨勢(shì)。（二）變異指標(biāo)的作用1.反映總體各單位變量值分布的均衡性2.判斷平均指標(biāo)對(duì)總體各單位變量值代表性的高低3.在實(shí)際工作中，借助標(biāo)志變異指標(biāo)還可以對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的節(jié)奏性和均衡性進(jìn)行評(píng)價(jià)4.標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量風(fēng)險(xiǎn)大小的重要指標(biāo)。（三）變異指標(biāo)的類(lèi)型根據(jù)所依據(jù)數(shù)據(jù)類(lèi)型的不同，變異指標(biāo)有全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。二、全距全距又稱(chēng)極差，是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，用表示。計(jì)算公式為：如果資料經(jīng)過(guò)整理，并形成組距分配數(shù)列，全距可近似表示為：

R=末組上限-首組下限三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差(Variance、Standarddeviation)

涵義：方差是各變量值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根。（一）總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)總體的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，對(duì)于未分組整理的原始資料，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別為：對(duì)于分組數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別為：例：見(jiàn)右表。方=178/11

=16.18

標(biāo)準(zhǔn)差=4.02

(計(jì)算過(guò)程見(jiàn)：第四章：方差標(biāo)準(zhǔn)差1.xls文件)日產(chǎn)零件x(1)(2)=(1)-22(3)=(2)平方15-74917-52519-3920-24220022002311231125392641630864合計(jì)0178例：如下表，求方差與標(biāo)準(zhǔn)差解：方差=12200/200=61標(biāo)準(zhǔn)差=7.8(具體求解過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)“第四章：方差、標(biāo)準(zhǔn)差2.xls”文件)日產(chǎn)量（KG）工人數(shù)組中值KGf20-301025407035-749343040-5090453981050-603055131695070合計(jì)200——————12200（二）樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差與總體的方差、標(biāo)準(zhǔn)差在計(jì)算上有所差別?？傮w的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在對(duì)各個(gè)離差平方平均時(shí)是除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)，而樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在對(duì)各個(gè)離差平方平均時(shí)是用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減1去除總離差平方和。設(shè)樣本的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，對(duì)于未分組整理的原始資料，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：對(duì)于分組數(shù)據(jù)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為：

在計(jì)算中，如果是未分組數(shù)據(jù)，樣本方差的函數(shù)是var()，標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)為stdev().如果是分組數(shù)據(jù)，計(jì)算過(guò)程類(lèi)比總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算（三）是非標(biāo)志的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際生活中，有些事物或現(xiàn)象的特征只表現(xiàn)為兩種性質(zhì)上的差異，例如，產(chǎn)品的質(zhì)量表現(xiàn)為合格或不合格，人的性別表現(xiàn)為男或女，人們對(duì)某種意見(jiàn)表示為同意或不同意；對(duì)學(xué)生考試成績(jī)分為及格和不及格，等等。這些只表現(xiàn)為是與否、有或無(wú)的標(biāo)志，稱(chēng)為是非標(biāo)志，也稱(chēng)為交替標(biāo)志。在進(jìn)行抽樣估計(jì)時(shí)，是非標(biāo)志的方差或標(biāo)準(zhǔn)差具有很重要的意義。若以表示總體中具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)，表示總體中不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)，表示總體單位數(shù)，則成數(shù)可表示為：或

2.是非標(biāo)志的平均數(shù)