2023年對數函數知識點總結

對數函數（一）對數1．對數的概念:一般地，假如,那么數叫做認為底的對數,記作：(—底數，—真數,—對數式）說明：eｑ＼o\ａc(○,1）注意底數的限制，且;eｑ＼ｏ＼ac(○,２)；eq\o\ac(○,3)注意對數的書寫格式．兩個重要對數：eq\o\aｃ(○,1）常用對數：以10為底的對數;ｅq\ｏ\aｃ(○，２）自然對數:以無理數為底的對數的對數.(二)對數的運算性質假如,且，，，那么：ｅq＼o\ac(○，1)·+；eq\o\ac（○,2）-；eq\o\ac（○,3)．注意：換底公式 （,且;，且；）．運用換底公式推導下面的結論（１）;（2)．(二)對數函數1、對數函數的概念：函數,且叫做對數函數,其中是自變量，函數的定義域是（０,＋∞).注意：ｅq\o\ac(○，１)對數函數的定義與指數函數類似,都是形式定義，注意辨別。如：,都不是對數函數,而只能稱其為對數型函數．eq\ｏ＼ac(○,２)對數函數對底數的限制：,且．2、對數函數的性質:ａ>10<a＜１定義域x＞０定義域ｘ＞0值域為R值域為Ｒ在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（１,0）函數圖象都過定點（1，0）對數函數·例題解析例1.求下列函數的定義域：；（2)；(3).解:（１)由>０得,∴函數的定義域是；(2)由得,∴函數的定義域是;（3）由９－得－３，∴函數的定義域是．例２.求函數和函數的反函數。解:（1)∴；（2）∴.例4.比較下列各組數中兩個值的大?。海ǎ保?;(2)，;(３)，.解：（１）對數函數在上是增函數，于是；（2）對數函數在上是減函數,于是;(３)當時,對數函數在上是增函數，于是,當時,對數函數在上是減函數，于是.例５.比較下列比較下列各組數中兩個值的大?。?1)，;(2),；(3)，,；(4）,，.解：（１）∵，，∴；（２）∵,,∴.(３)∵，，,∴.（4)∵,∴．例7.求下列函數的值域:;(2）;(3)(且)．解:(1)令，則，∵，∴,即函數值域為.（2)令，則,∴,即函數值域為.（3）令,當時,，即值域為,當時，，即值域為．例8．判斷函數的奇偶性。解:∵恒成立,故的定義域為，，所以,為奇函數。例９.求函數的單調區(qū)間。解：令在上遞增，在上遞減，又∵,∴或，故在上遞增,在上遞減，又∵為減函數，所以,函數在上遞增,在上遞減。例10.若函數在區(qū)間上是增函數,的取值范圍。解:令,∵函數為減函數,∴在區(qū)間上遞減,且滿足,∴，解得,所以,的取值范圍為．解(2）∵１-ｌoga（x+ａ）＞0,∴l(xiāng)oga(x+a)＜1．當a＞1時,0<x+a＜ａ,∴函數的定義域為（－a，0）．當０<a＜1時,x＋a>a,∴函數的定義域為（０，＋∞)．域和值域.反函數的定義域為(0，1),值域為y∈Ｒ.【例3】作出下列函數的圖像，并指出其單調區(qū)間.(1)ｙ=ｌg(-x)(2）y=lｏg2|ｘ+1｜解(1）y=lg(-x)的圖像與y=lgx的圖像關于y軸對稱,如圖2．8-3所示,單調減區(qū)間是(-∞,0).解(2)先作出函數y=log２|ｘ|的圖像，再把它的圖像向左平移1個單位就得y＝loｇ2|x＋1|的圖像如圖2.8-４所示．單調遞減區(qū)間是(-∞,-１).單調遞增區(qū)間是（-1，+∞)．的圖像,保存其在ｘ軸及ｘ軸上方部分不變，把x軸下方的圖像以x軸為所示單調減區(qū)間是(－1，2].單調增區(qū)間是[2,＋∞)．解(4）∵函數y=loｇ2(－ｘ）的圖像與函數ｙ＝loｇ2x的圖像關于y軸對稱,故可先作y=log2(-x）的圖像,再把ｙ＝log2(－x)的圖像向右平移1個單位得到y(tǒng)=log2（1－ｘ)的圖像．如圖2.8－６所示.單調遞減區(qū)間是(－∞，1).【例４】圖2．8-７分別是四個對數函數,①ｙ＝ｌｏgaｘ②y＝lｏｇbx③ｙ＝logcｘ④y=ｌogｄx的圖像,那么a、b、c、d的大小關系是[]A.d＞c>b>a B.ａ＞ｂ>c＞ｄC.b>ａ＞d>c D.b＞c＞a＞d解選C，根據同類函數圖像的比較，任取一個x>１的值，易得b＞a>１＞ｄ＞c．【例5】已知ｌoｇa3>logb３，試擬定ａ和b的大小關系．解法一令y1=logax，y2=logbｘ，∵logax＞lｏgb3，即取x＝3時,y1＞ｙ2,所以它們的圖像,也許有如下三種情況：（１)當ｌogａ3＞ｌogb3>0時，由圖像2.８－８,取x=3,可得b>ａ＞1.（2)當0＞ｌoga３>logb３時,由圖像2.８－9，得0<ａ<ｂ<１.（３）當lｏgａ３＞0>logｂ３時,由圖像2．8－10，得a>１>b＞0.順序是：_____.奇偶性．解法一已知函數的定義域為R，則－x∈R∴ｆ(ｘ)是奇函數.解法二已知函數的定義域為R=ｌogａ１=０∴f(x)=－f(ｘ),即f(x）為奇函數．單元測試一、選擇題（每小題5分，共5０分）.１．對數式中，實數a的取值范圍是 ?（）A．?Ｂ.（2,5) Ｃ.?D.２．假如ｌｇx＝ｌga+3lgb-5lgc,那么 ()Ａ．ｘ=a+3ｂ-c?Ｂ. Ｃ． D．x＝a＋b3－c３3．設函數ｙ=ｌｇ(ｘ2－5x)的定義域為M,函數y=lg(ｘ-5)+ｌgx的定義域為N,則?()A.M∪N=R B．Ｍ＝Ｎ?C．MN?D.MN４.若ａ＞0，b>0，ａｂ＞1，＝lｎ２，則ｌoｇab與的關系是?（)A．loｇaｂ＜ B．logab=C．loｇab>? D.ｌoｇab≤5.若函數log2(kx２+4kｘ＋3)的定義域為Ｒ,則ｋ的取值范圍是??(）Ａ. B． C. D.6.下列函數圖象對的的是? （）AＢＣD7．已知函數,其中l(wèi)og2ｆ（x)=2x，xR，則ｇ(x) （）A．是奇函數又是減函數 B．是偶函數又是增函數Ｃ.是奇函數又是增函數?D.是偶函數又是減函數９．假如y=ｌog2a－1x在(０,+∞）內是減函數，則a的取值范圍是? ()Ａ．｜a|＞1?B.｜a|<２ C．a D.１0．下列關系式中，成立的是? ?（)A．?B.C. D.二、填空題：（每小題6分,共２4分）．11．函數的定義域是，值域是.12．方程lｏg2(２x+１）loｇ2（2ｘ+1+2)=2的解為．1３．將函數的圖象向左平移一個單位,得到圖象C1,再將C１向上平移一個單位得到圖象C2,作出C2關于直線ｙ=x對稱的圖象C3，則Ｃ3的解析式為.14.函數y=的單調遞增區(qū)間是．三、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算環(huán)節(jié)(共76分）.１５.(12分)已知函數．(１)求函數f（x)的定義域;（2)求函數f(x)的值域.(1２分）設x，y,z∈Ｒ＋,且3x=4y＝6z．（1)求證：;(2)比較３x，4y,６z的大小.１7.（1２分）設函數.(1）擬定函數f(x）的定義域;(2)判斷函數f(x)的奇偶性；(３)證明函數ｆ(ｘ)在其定義域上是單調增函數;(4)求函數f(ｘ)的反函數.１8．現有某種細胞1０0個，其中有占總數的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成２個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，通過多少小時，細胞總數可以超過個?（參考數據：)．20.(1４分）已求函數的單調區(qū)間.必修１數學章節(jié)測試(７）—第二單元(對數函數)一、DＣCABＢDBＤA二、１1．,;１2.0；1３.；１4.;三、１5．解：(1)函數的定義域為(1，p)．(2)當p>3時,ｆ(ｘ)的值域為（－∞，2ｌoｇ2(p+1)－２)；當1<p3時，f（ｘ)的值域為(－，1+loｇ2(p+1)）.16.解：(1)設3ｘ=4y=6z=t．∵x＞０,y>0,z>0，∴ｔ＞1,lgｔ＞0，∴.(2)3x＜４y＜6z.１７．解:(1)由得x∈R，定義域為R.(2)是奇函數.(3）設x1,x2∈R，且ｘ1<x２,則.令，則．＝＝=∵x1-ｘ2＜0，，,，∴t１-t2<0，∴0＜t１<t２,∴，∴f(x1)-ｆ(x２）＜lg1=０,即ｆ(x1)＜f（x２),∴函數f(ｘ)在R上是單調增函數.(４）反函數為(xR).18.解：現有細胞1００個,先考慮通過1、2、3、4個小時后的細胞總數,1小時后，細胞總數為;2小時后,細胞總數為；3小時后,細胞總數為；4小時后,細胞總數為;可見,細胞總數與時間(小時）之間的函數關系為:，由,得,兩邊取以1０為底的對數，得，∴，∵，∴．答：通過4６小時,細胞總數超過個.19.解:(1）過A，Ｂ,C，分別作AA１,BB１，ＣC1垂直于ｘ軸，垂足為A１,B1,C1,則S=Ｓ梯形ＡA1Ｂ1B+S梯形BB１C1C－S