3 凹函數(shù)與擬凹函數(shù) 課件

PAGEPAGE66第3章凹函數(shù)3.1光滑函數(shù)與齊次函數(shù)3.2光滑函數(shù)的凹性3.3保持凹性的運算3.4擬凹函數(shù)

3.1光滑函數(shù)與齊次函數(shù)3.1.1梯度的幾何性質(zhì)3.1.2Hessi矩陣的定性3.1.3Taylor展開3.1.4齊次函數(shù)

光滑函數(shù)(smoothfunction)是可以近似表達為線性函數(shù)的非線性函數(shù)，它們的圖形沒有間斷和折點光滑函數(shù)的線性近似實際上屬于微積分的范疇

3.1.1梯度的幾何性質(zhì)梯度向量表示從出發(fā)的變化方向，具體取決于每一個分量變化的大小。圖3-1向量的幾何含義全微分(3.1)即在點處的全微分恰好是梯度和向量的內(nèi)積。曲線的水平集(levelset)常見例子無差異曲線：效用函數(shù)的水平集等產(chǎn)量曲線：生產(chǎn)函數(shù)的水平集。

梯度的幾何含義是與切平面垂直的向量，即法向量。在點處指向變化的法方向。圖3.2梯度向量的幾何含義

例3.1(水平集的斜率)設(shè)在點處可微存在超平面在點處與水平集相切。由下式定義：其斜率為：即在點處的偏導(dǎo)數(shù)之比。若為效用函數(shù)，則水平集為無差異曲線，而兩種商品之間的邊際替代率衡量無差異曲線的斜率；若為生產(chǎn)函數(shù)，則水平集為等產(chǎn)量曲線，而兩種投入之間的邊際技術(shù)替代率衡量等產(chǎn)量曲線的斜率。3.1.2Hessi矩陣的定性矩陣的定性：為階方陣正半定正定負半定正半定負定正定不定既有正值也有負值

主子式和順序主子式的階主子陣從中劃去行和相同的列，由此形成的階子矩陣對應(yīng)的行列式稱為的階主子式的階順序主子陣從中劃去后后行和列，由此形成的階子矩陣對應(yīng)的行列式稱為的階主子式

例3.2三階方陣有1個三階主子式，3個二階主子式，3個一階主子式 有3個順序主子式

定理3.1對稱矩陣的定性正定的個順序主子式都為正數(shù)負定的個順序主子式依次改變符號：奇數(shù)順序的為負，而偶數(shù)順序的為正正半定的個主子式都非負負半定的個主子式依次改變符號：奇數(shù)順序的為負，而偶數(shù)順序的為正

例3.3Cobb-Douglas函數(shù)的梯度向量為： Hessi矩陣為：，則在點的梯度為Hessi矩陣為它的三個主子式因此，在點處，海賽矩陣是負半定的。 3.1.3Taylor展開中的Taylor定理是開區(qū)間上的單值函數(shù)，，在和之間存在，使得中的二次近似表示是開區(qū)間上的實值函數(shù)，，，滿足 中的二次近似表示是點的凸鄰域上的單值函數(shù)，，滿足其中，余項為可以忽略不計的向量的模的平方的無窮小量。進一步地，在點和之間存在點,使得：

例3.3(Cobb-Douglas函數(shù))例3.1中的Cobb-Douglas函數(shù)在點處的二次Taylor展開近似表示為：

3.1.4齊次函數(shù)齊次函數(shù)是次齊次,，。經(jīng)濟分析中的齊次函數(shù)生產(chǎn)者理論：規(guī)模報酬不變意味著生產(chǎn)函數(shù)是1次齊次的價格函數(shù)：如利潤函數(shù)中，它對應(yīng)于相對價格不變時的規(guī)模。經(jīng)濟學(xué)中最常見的情形是0次或1次齊次。0次齊次函數(shù)沿著任何射線都是常數(shù)1次齊次函數(shù)沿著所有射線都是線性的，有時也稱為線性齊次的(linearlyhomogeneous)。例3.4(Cobb-Douglas函數(shù))Cobb-Douglas函數(shù)是次齊次的。因為對

經(jīng)濟學(xué)中的一些齊次函數(shù)：規(guī)模彈性不變(constantelasticscale,CES)函數(shù)是1次齊次的。需求函數(shù)衡量給定價格和收入時商品的需求量(例1.1)，它是0次齊次的。間接效用函數(shù)在和中是0次齊次的。競爭性廠商的利潤函數(shù)是1次齊次的。競爭性廠商的成本函數(shù)在投入價格中是1次齊次的。

齊次函數(shù)的性質(zhì)是次齊次可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)次齊次是1次齊次可微是次齊次可微

3.2光滑函數(shù)的凹性3.2.1凹性的定義3.2.2一階條件3.2.3二次條件3.2.4例子3.2.5上水平集3.2.6下圖

3.2.1定義凹，，(3.9)嚴格凹，，上式嚴格成立凸凹嚴格凸嚴格凹

例3.5(利潤函數(shù))競爭性廠商的利潤函數(shù)在中是凸的，設(shè)最大化價格時的利潤，最大化價格時的利潤。對，設(shè)加權(quán)平均價格設(shè)最大化時的利潤，則由于、分別最大化、時的利潤，因此利潤函數(shù)在中是凸的。函數(shù)是仿射的(從而線性的)該函數(shù)既凸又凹 凸集上的是凹的和，在上是凹的。通過將函數(shù)限定在一條直線上，這一性質(zhì)可檢查函數(shù)是否為凹。凸函數(shù)在定義域的內(nèi)部是連續(xù)的，但可能在邊界上不連續(xù)。

3.2.2一階條件是開凸集上的單值函數(shù)，凹，(3.10)凹函數(shù)的圖像位于經(jīng)過其上任一點的切線的下方。圖3.4凹函數(shù)的一階條件式(3.10)表明凹函數(shù)的一次泰勒近似是的全局高估量(globaloverestimator)。反之，如果函數(shù)的一階泰勒近似總是函數(shù)的全局高估量，則函數(shù)是凹的借助凹函數(shù)的局部信息(即它在一點的值和導(dǎo)數(shù))，可以導(dǎo)出全局信息(即它的全局高估量)。例子：式(3.10)表明，，也即，是的全局最大點。

嚴格凹性嚴格凹，，凹，

一階凹性條件的證明的情形凹，，凹(3.11)，可得式(3.11)。，滿足式(3.11)，，令。應(yīng)用式(3.11)凹一般的情形，考慮，有。凹凹(3.12)，，凹

3.2.3二階條件，凹負半定在上，在點有負曲率。

例3.6(二次函數(shù))其中為階實對稱矩陣，，。，凹負半定凸正半定嚴格凹負定嚴格凸正定

3.2.4例子上的一些例子：指數(shù)函數(shù)。，在上凸冪函數(shù)。，在上凹；或時是凸的。絕對值的冪。，在上凸。對數(shù)。在上凹。非負熵。在上(嚴格)凸。證明方法1．驗證式(3.11)2．檢驗二次導(dǎo)數(shù)上的例子：范數(shù)。上的每個范數(shù)都是凸函數(shù)。最大值函數(shù)。在上凸“二次與線性之比”函數(shù)上的是凸的(圖3.2)。圖3.2函數(shù)“指數(shù)之和的對數(shù)”函數(shù)在上凸。時的情形如圖3.3。圖3.3函數(shù)幾何平均函數(shù)。在上凹

驗證方法直接驗證式(3.11)驗證Hessi矩陣是正半定的函數(shù)約束在任意直線上，并驗證所產(chǎn)生的一元函數(shù)的凹性。

范數(shù) 范數(shù)，，則不等式基于范數(shù)滿足三角不等式，等式源于范數(shù)的齊次性。最大值函數(shù) ，滿足

“二次與線性之比”函數(shù) 對，“指數(shù)之和的對數(shù)”函數(shù) 其中。為驗證是正半定的，必須表明，，即設(shè)，應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。幾何平均函數(shù) 海賽矩陣由以下兩式給定表示為其中。須表明負半定。即對，設(shè)，，應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。3.1.5上水平集凸集上的的上水平集(superlevelset)凹它的上水平集是凸的。相反的情形不成立如的上水平集是凸的，但它在上不是凹的，而是嚴格凸的。凸它的下水平集凸

例3.9的幾何和算術(shù)平均分別為在的定義中，取。算術(shù)—幾何平均不等式表明，設(shè)，考察即幾何平均不小于算術(shù)平均的倍的向量的集合。這一集合是凸的，因為它是凹函數(shù)的上水平集。事實上，該集合是非負齊次的，因而是凸錐。

3.1.6下圖的圖形(graph)為，它是的子集。的下圖(hypograph)為

凹它的下圖是凸集。凸上圖(epigraph)凸。凹函數(shù)的許多結(jié)果可以利用下圖進行幾何解釋如凹性的一階條件其中是凹的，。這意味由向量確定的超平面在點處支撐，如圖3.8。圖3.8向量確定的在點處的的支撐超平面

例3.8生產(chǎn)函數(shù)廠商用種投入生產(chǎn)一種產(chǎn)出的技術(shù)投入要求集生產(chǎn)函數(shù)(productionfunction)：生產(chǎn)函數(shù)與生產(chǎn)可能性集給定，，定義是的下圖。凹凸生產(chǎn)函數(shù)凹技術(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報酬非遞增生產(chǎn)函數(shù)嚴格凹技術(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報酬遞減。 3.3保持凹性的運算3.3.1非負加權(quán)之和3.3.2仿射映射的復(fù)合函數(shù)3.3.3復(fù)合函數(shù)

3.3.1非負加權(quán)之和凹，凹和凹凹凹，凹類似地：凸函數(shù)的非負加權(quán)之和是凸的嚴格凹(凸)函數(shù)的正加權(quán)之和是嚴格凹的(凸的) 3.3.2仿射映射的復(fù)合函數(shù)設(shè)，矩陣，。定義為，其中，凹凹凸凸

3.3.3復(fù)合函數(shù)設(shè)，，其復(fù)合函數(shù)定義為其中。復(fù)合函數(shù)的凹(凸)性凹和非遞減，凹凹凹和非遞增，凸凹凸和非遞減，凸凸凸和非遞增，凹凸 例3.9一些簡單的復(fù)合結(jié)果凹凹凹和正的凹凸和正的凹凹和非負，凹凹在上是凹的。

3.4擬凹函數(shù)3.4.1定義擬凹(quasiconcave)，，嚴格擬凹(quasiconcave)，，擬凸(quasiconvex)擬凹嚴格擬凸嚴格擬凹擬線性(quasilinear)既擬凹又擬凸幾何意義：設(shè)，，擬凹性要求：從“低點”沿直線移動到“高點”時，的函數(shù)值不低于。圖3.9 擬凹函數(shù)

定理3.6設(shè)定義在凸集上：擬凹上水平集凸擬凸下水平集凸擬線性水平集凸直接結(jié)論凹擬凹擬凹函數(shù)不具有凹函數(shù)的某些性質(zhì)在定義域中的某些內(nèi)點處可能不連續(xù)其非負線性組合未必是擬凹函數(shù)

例3.11(凸偏好)凸偏好(convexpreference)指在平均的和極端的消費組合之間，消費者更偏愛平均的消費組合反映凸偏好關(guān)系的效用函數(shù)擬凹

例3.12凸技術(shù)投入要求集是生產(chǎn)函數(shù)的上水平集凸擬凹。生產(chǎn)函數(shù)凹生產(chǎn)可能性集凸凸技術(shù)假定凸或擬凹，該假定不排除規(guī)模報酬遞增的存在

擬凸函數(shù)的經(jīng)濟學(xué)例子例3.13(間接效用函數(shù))消費者間接效用函數(shù)(例1.3)在價格向量中是擬凸的。

上的擬凹函數(shù)圖中上水平集是區(qū)間，因而是凸的上水平集是區(qū)間。圖3.10上的擬凹函數(shù)

擬凹函數(shù)可以是凸的，或者是不連續(xù)的對數(shù)函數(shù)。上的既是擬凹的，又是擬凸的，因而是擬線性的。上限函數(shù)。是既是擬凹的，又是擬凸的，因而是擬線性的。其中是整數(shù)集。

上的一些例子例3.13上的單值函數(shù)既非凹也非凸，因為是不定的，它有一個正的、一個負的特征根。但是擬凹的，因為它的上水平集是凸的。不過，在上不是擬凹的。

例3.14(線性分式函數(shù))在上的線性分式函數(shù)既擬凹的又擬凸，因而是擬線性的。它的上水平集是凸的，因為它是一個開半空間和一個閉半空間的交。

可微擬凹函數(shù)的一階條件定理3.7是開凸集上的函數(shù)，擬凹，

擬凹性和凹性的一階條件的重要區(qū)別凹，是的全局最大點擬凹，，未必是全局最大點偽凹性偽凹，偽凹函數(shù)的每個局部極大點都是全局最大點!經(jīng)濟學(xué)中的多數(shù)擬凹函數(shù)是偽凹的，這一特征在解決最優(yōu)化問題中將帶