高中數學人教A版5不等式和絕對值不等式一不等式 1

一不等式1.不等式的基本性質1.理解實數大小與實數運算性質間的關系．2.理解不等式的性質，能用不等式的性質比較大小和證明簡單的不等式．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理1兩實數的大小比較閱讀教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列問題．a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.已知數軸上兩點A，B對應的實數分別為x，y，若x＜y＜0，則|x|與|y|對應的點P，Q的位置關系是()A．P在Q的左邊 B．P在Q的右邊C．P，Q兩點重合 D.不能確定【解析】∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右邊．【答案】B教材整理2不等式的基本性質閱讀教材P3～P5第一行，完成下列問題．性質1對稱性a>b?b<a性質2傳遞性如果a>b，b>c，那么a>c性質3可加性如果a>b，那么a＋c>b＋c推論如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d性質4可乘性如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc推論如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd性質5乘方性質如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)性質6開方性質如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)已知a，b，c∈R，且ab＞0，則下面推理中正確的是()【導學號：32750000】A．a＞b?am2＞bm2 \f(a,c)＞eq\f(b,c)?a＞bC．a3＞b3?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) ＞b2?a＞b【解析】對于A，若m＝0，則不成立；對于B，若c＜0，則不成立；對于C，a3－b3＞0?(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，∵a2＋ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)b2＞0恒成立，∴a－b＞0，∴a＞b.又∵ab＞0，∴eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).∴C成立；對于D，a2＞b2?(a－b)(a＋b)＞0，不能說a＞b.【答案】C[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]比較大小設A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，試比較A與B的大?。揪庶c撥】轉化為考察“兩者之差與0”的大小關系．【自主解答】A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，∴x3＋3>3x2＋x.故A>B.1．本題的思維過程：直接判斷(無法做到)eq\o(→,\s\up10(轉化))考查差的符號(難以確定)eq\o(→,\s\up10(轉化))考查積的符號eq\o(→,\s\up10(轉化))考查積中各因式的符號．其中變形是關鍵，定號是目的．2．在變形中，一般是變形變得越徹底越有利于下一步的判斷．變形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．[再練一題]1．若例1中改為“A＝eq\r(\f(y2＋1,x2＋1))，B＝eq\f(y,x)，其中x＞y＞0”，試比較A與B的大?。窘狻恳驗锳2－B2＝eq\f(y2＋1,x2＋1)－eq\f(y2,x2)＝eq\f(x2y2＋1－y2x2＋1,x2x2＋1)＝eq\f(x2－y2,x2x2＋1)＝eq\f(x－yx＋y,x2x2＋1)，且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，所以eq\f(x－yx＋y,x2x2＋1)＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.利用不等式的性質求范圍已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍．【精彩點撥】由－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)可確定eq\f(α,2)，eq\f(β,2)的范圍，進而確定eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍．【自主解答】∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又∵α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0，即eq\f(α＋β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(α－β,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).1．本例中由eq\f(α,2)，eq\f(β,2)的范圍求其差eq\f(α－β,2)的范圍，一定不能直接作差，而應轉化為同向不等式后作和求解．2．求代數式的取值范圍是不等式性質應用的一個重要方面，嚴格依據不等式的性質和運算法則進行運算，是解答此類問題的基礎．[再練一題]2．已知－6<a<8,2<b<3，分別求a－b，eq\f(a,b)的取值范圍.【導學號：32750001】【解】∵－6<a<8,2<b<3.∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，則a－b的取值范圍是(－9,6)．又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)當0≤a<8時，0≤eq\f(a,b)<4；(2)當－6<a<0時，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.因此eq\f(a,b)的取值范圍是(－3,4)．利用性質證明簡單不等式已知c>a>b>0，求證：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).【精彩點撥】eq\x(構造分母關系)→eq\x(構造分子關系)→eq\x(證明不等式)【自主解答】∵a>b，∴－a<－b.又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，∴eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0.又∵a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).1．在證明本例時，連續(xù)用到不等式的三個性質，一是不等式的乘法性質：a>b，則－a<－b；二是不等式的加法性質：c>a>b>0，又－a<－b，則0<c－a<c－b；三是倒數性質．最后再次用到不等式的乘法性質．2．進行簡單的不等式的證明，一定要建立在記準、記熟不等式性質的基礎之上，并仔細分析要證明不等式的結構，靈活運用性質，對不等式進行變換．[再練一題]3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求證：eq\f(ac,a＋c)＞eq\f(bd,b＋d).【導學號：32750002】【證明】∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＞0， ①eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0， ②①＋②得eq\f(1,b)＋eq\f(1,d)＞eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞0，即eq\f(b＋d,bd)＞eq\f(a＋c,ac)＞0，∴eq\f(ac,a＋c)＞eq\f(bd,b＋d).[探究共研型]不等式的基本性質探究1甲同學認為a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，乙同學認為a>b>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，丙同學認為a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，請你思考一下，他們誰說的正確？【提示】他們說的都不正確．探究2不等式兩邊同乘以(或除以)同一個數時，要注意什么？【提示】要先判斷這個數是否為零，決定是否可以乘以(或除以)這個數，再判斷是正還是負，決定不等號的方向是否改變，特別注意不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數時，不等號方向改變．判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，則a>b；(3)若a>b，ab≠0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(4)若a>b，c>d，則ac>bd.【精彩點撥】主要是根據不等式的性質判定，其實質就是看是否滿足性質所需要的條件．【自主解答】(1)錯誤．當c＝0時不成立．(2)正確．∵c2≠0且c2>0，在eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)兩邊同乘以c2，∴a>b.(3)錯誤．a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的條件是ab>0.(4)錯誤．a>b，c>d?ac>bd，當a，b，c，d為正數時成立．1．在利用不等式的性質判斷命題真假時，關鍵是依據題設條件，正確恰當地選取使用不等式的性質．有時往往舉反例，否定命題的結論．但要注意取值一定要遵循兩個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．2．運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑空想象隨意捏造性質．[再練一題]4．判斷下列命題的真假．(1)若a<b<0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；(2)若|a|>b，則a2>b2；(3)若a>b>c，則a|c|>b|c|.【解】(1)∵a<b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,ab)>0，∴a·eq\f(1,ab)<b·eq\f(1,ab)，∴eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，∴(1)是真命題．(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2<b2，∴(2)是假命題．(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命題．[構建·體系]1．設a∈R，則下面式子正確的是()A．3a>2a B．a2<2a\f(1,a)<a －2a>1－2a【答案】D2．已知m，n∈R，則eq\f(1,m)＞eq\f(1,n)成立的一個充要條件是()A．m＞0＞n B．n＞m＞0C．m＜n＜0 (m－n)＜0【解析】∵eq\f(1,m)＞eq\f(1,n)?eq\f(1,m)－eq\f(1,n)＞0?eq\f(n－m,mn)＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0.【答案】D3．已知a，b，c均為實數，下面四個命題中正確命題的個數是()①a＜b＜0?a2＜b2；②eq\f(a,b)＜c?a＜bc；③ac2＞bc2?a＞b；④a＜b＜0?eq\f(b,a)＜1.A．0B．1C．2D．3【解析】①不正確．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.②不正確．∵eq\f(a,b)＜c，若b＜0，則a＞bc.③正確．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.④正確．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞eq\f(b,a)＞0.【答案】C4．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范圍是________.【導學號：32750003】【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a－|b|<3.【答案】(－3,3)5．若a，b，c滿足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比較a，b，c的大?。窘狻縝－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.由題意可得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3a2－4a＋6，,b－c＝a2－4a＋4，))解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.∴c－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)>0，∴c>a，∴b≥c>a.我還