2023年微分幾何練習題庫及參考答案已修改

《微分幾何》復習題與參考答案一、填空題１.極限.2.設，,求0.3．已知，，,則．４．已知(為常向量)，則．５.已知，（為常向量），則.６．最“貼近”空間曲線的直線和平面分別是該曲線的_＿＿切線___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲線是＿＿_＿＿直線_____＿___＿__.8．撓率恒等于零的曲線是＿＿_＿_平面曲線＿___＿___.９．切線（副法線）和固定方向成固定角的曲線稱為一般螺線.1０.曲線在t=2處有，則曲線在t=２處的曲率k=3.11.若在點處則為曲面的＿正常＿___＿＿點.１２．已知，,,則.13．曲線在任意點的切向量為.1４.曲線在點的切向量為.1５.曲線在點的切向量為．16.設曲線,當時的切線方程為.17.設曲線,當時的切線方程為．１8.曲面的曲紋坐標網是曲率線網的充要條件是___＿Ｆ=M=0＿___＿＿__＿_＿__＿_.１９．u－曲線(v－曲線）的正交軌線的微分方程是_＿___Edu+Fdv=0（Ｆｄu+Gdv=0）＿_.２０.在歐拉公式中，是方向(d)與u-曲線的夾角.21.曲面的三個基本形式、高斯曲率、平均曲率之間的關系是．22．已知，其中，則.2３．已知，其中，，則．24．設為曲面的參數表達，假如,則稱參數曲面是正則的;假如是一一相應的，則稱曲面是簡樸曲面．25．假如曲線族和曲線族處處不相切,則稱相應的坐標網為正規(guī)坐標網．２6.平面的第一基本形式為，面積微元為.27．懸鏈面第一基本量是．28.曲面上坐標曲線，的交角的余弦值是.２9.正螺面的第一基本形式是.30.雙曲拋物面的第一基本形式是.31．正螺面的平均曲率為0.3２.方向是漸近方向的充要條件是．33．方向和共軛的充要條件是．34．是主曲率的充要條件是．35.是主方向的充要條件是．３６.根據羅德里格斯定理，假如方向是主方向，則．37.旋轉曲面中的極小曲面是平面或懸鏈面.3８.測地曲率的幾何意義是曲面S上的曲線在P點的測地曲率的絕對值等于(C)在Ｐ點的切平面上的正投影曲線(C*）的曲率.３９.之間的關系是．40.假如曲面上存在直線，則此直線的測地曲率為０.4１．正交網時測地線的方程為.４2.曲線是曲面的測地線，曲線(C)上任一點在其切平面的正投影曲線是直線.二、單項選擇題1．已知，則為(A).Ａ.；B.；C．;D..2．已知,為常數，則為(C）．A.；B.；C.；Ｄ..其中為常向量.3.曲線(C)是一般螺線，以下命題不對的的是(D).A.切線與固定方向成固定角;B．副法線與固定方向成固定角;Ｃ．主法線與固定方向垂直;Ｄ.副法線與固定方向垂直.4.曲面在每一點處的主方向（Ａ）A．至少有兩個；B．只有一個;C．只有兩個;D.也許沒有．5．球面上的大圓不也許是球面上的(Ｄ)A.測地線;B.曲率線；C.法截線;D．漸近線．．6.已知，求為（Ｄ）．Ａ.;Ｂ.;C．;Ｄ．.7．圓柱螺線的切線與軸(C).Ａ.平行;Ｂ.垂直;C.有固定夾角;D.有固定夾角.8．設平面曲線,s為自然參數,是曲線的基本向量.敘述錯誤的是(Ｃ）.A．為單位向量;B．;C.；D..9．直線的曲率為（B)．A.-1;Ｂ.0;C.１;Ｄ.2.10．關于平面曲線的曲率不對的的是(D）．Ａ.;Ｂ．，為的旋轉角;C.;D．．1１．對于曲線，“曲率恒等于0”是“曲線是直線”的(D）．A.充足不必要條件;B.必要不充足條件;C.既不充足也不必要條件；D．充要條件.１2.下列論述不對的的是(Ｄ).A.均為單位向量；Ｂ.;C.；D．.1３.對于空間曲線,“撓率為零”是“曲線是直線”的（B)．A．充足不必要條件;B.必要不充足條件;C.既不充足也不必要條件；D．充要條件.１4．在點的切線與軸關系為(D).Ａ．垂直;B.平行;C.成的角；D.成的角.15．橢球面的參數表達為(C).A．;B．；C．；Ｄ..16.曲面在點的切平面方程為(B）.A.；B.;C.;D.．17.球面的第一基本形式為(D）．A.；Ｂ．；C.;D．.1８.正圓柱面的第一基本形式為（C）.A.;Ｂ.；C；D..19.在第一基本形式為的曲面上，方程為的曲線段的弧長為(B).Ａ．；B．；C.;Ｄ．．2０．設為正則曲面，則的參數曲線網為正交曲線網的充要條件是(B）.A.；Ｂ．；C．；D..21.高斯曲率為零的的曲面稱為（A).A.極小曲面;B．球面；Ｃ.常高斯曲率曲面；D.平面．22．曲面上直線（假如存在)的測地曲率等于(Ａ).A.;Ｂ.；C.;D.3．２3．當參數曲線構成正交網時，參數曲線u-曲線的測地曲率為(B)．A．;B.;Ｃ.；D．.２4．假如測地線同時為漸近線,則它必為（A）.A．直線;B．平面曲線;C．拋物線；D．圓柱螺線.三、判斷題（對的打√,錯誤打×）１.向量函數具有固定長度,則.√2.向量函數具有固定方向,則.√3．向量函數關于ｔ的旋轉速度等于其微商的模.×４．曲線的曲率、撓率都為常數，則曲線是圓柱螺線.×5.若曲線的曲率、撓率都為非零常數，則曲線是圓柱螺線．√6．圓柱面線是漸近線.√7.兩個曲面間的變換等距的充要條件是它們的第一基本形式成比例．×8．兩個曲面間的變換等角的充要條件是它們的第一基本形式成比例.√9.等距變換一定是保角變換.√10.保角變換一定是等距變換.×11．空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一擬定．×12.在光滑曲線的正常點處,切線存在但不唯一．×1３．若曲線的所有切線都通過定點，則該曲線一定是直線．√14．在曲面的非臍點處,有且僅有兩個主方向.√15.高斯曲率與第二基本形式有關,不是內蘊量．×16.曲面上的直線一定是測地線．√17.微分方程表達曲面上曲線族.×１8．二階微分方程總表達曲面上兩族曲線.×19．坐標曲線網是正交網的充要條件是,這里是第一基本量.√20.高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面．√2１.連接曲面上兩點的所有曲線段中,測地線一定是最短的.×２2.球面上的圓一定是測地線.×2３.球面上經線一定是測地線.√２4.測地曲率是曲面的內蘊量.√四、計算題1.求旋輪線的一段的弧長.解旋輪線的切向量為,則在一段的弧長為：.2.求曲線在原點的切向量、主法向量、副法向量．解由題意知，,在原點,有,又,,所以有.3.圓柱螺線為,①求基本向量;②求曲率k和撓率.解①,,又由公式②由一般參數的曲率公式及撓率公式有，.４.求正螺面的切平面和法線方程．解,，切平面方程為，法線方程為．５．求球面上任一點處的切平面與法線方程．解，,球面上任意點的切平面方程為即，法線方程為即.6.求圓柱螺線在點處的密切平面.解所以曲線在原點的密切平面的方程為即.7．求旋轉拋物面的第一基本形式．解參數表達為，,，,,,.8．求正螺面的第一基本形式．解，，,,,．9．計算正螺面的第一、第二基本量．解，,，,,，，,，,，，．10．計算拋物面的高斯曲率和平均曲率.解設拋物面的參數表達為，則，，，，,,,,，，，，，,.１１.計算正螺面的高斯曲率．解直接計算知,,，，,，．12．求曲面的漸近線.解，則,,,,所以,L＝0，，漸近線微分方程為，化簡得,漸近線為y＝Ｃ1,x2y＝Ｃ21３.求螺旋面上的曲率線.解,曲率線的微分方程為:或積分得兩族曲率線方程：14.求馬鞍面在原點處沿任意方向的法曲率．解，,，.１5.求拋物面在(0,0)點的主曲率.解曲面方程即，代入主曲率公式,，所以兩主曲率分別為.16．求曲面在點(1,1)的主方向.解代入主方向方程,得,即在點(1,１)主方向.17.求曲面上的橢圓點,雙曲點和拋物點.解由得①v>0時,是橢圓點；②v<0時,是雙曲點;③v=0時，是拋物點.1８.求曲面上的拋物點的軌跡方程．解由得令得ｕ=0或v＝０所以拋物點的軌跡方程為或.19.求圓柱螺線自然參數表達.解由得弧長曲線的自然參數表達為２０．求撓曲線的主法線曲面的腰曲線．解設撓曲線為則主法線曲面為：則所以腰曲線是２1.求位于正螺面上的圓柱螺線（＝常數）的測地曲率.解由于正螺面的第一基本形式為,螺旋線是正螺面的v－曲線，由得．由正交網的坐標曲線的測地曲率得．五、證明題1.設曲線：證明:證明⑴由伏雷內公式,得兩式作點積，得⑵2.設曲線：證明：證明由伏雷內公式,得3.曲線是一般螺線，證明也是一般螺線（R是曲線的曲率半徑）．證明兩邊關于s微商,得由于Γ是一般螺線，所以也是一般螺線.４.證明曲線是常數)是一般螺線．證明.5.曲面Ｓ上一條曲線(C)，Ｐ是曲線(C)上的正常點,分別是曲線(C)在點Ｐ的曲率、法曲率與測地曲率,證明．證明測地曲率(是主法向量與法向量的夾角）法曲率6．證明曲線的切向量與曲線的位置向量成定角.證明對曲線上任意一點,曲線的位置向量為，該點切線的切向量為：，則有:,故夾角為.由所取點的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角．７.證明：若和對一切線性相關，則曲線是直線．證明若和對一切線性相關，則存在不同時為０的使,則又，故有.于是該曲線是直線．8．證明圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交．證明由題意有，由知．另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直.９.證明曲線的所有法平面皆通過坐標原點.證明由題意可得,則任意點的法平面為將點(0,0,0)代入上述方程有左邊右邊,故結論成立．1０．證明曲線為平面曲線，并求出它所在的平面方程.證明,，，，所以曲線是平面曲線.它所在的平面就是密切平面,密切平面方程為,化簡得其所在的平面方程是2x+３y+１9z–27＝０.11.證明假如曲線的所有切線都通過一個定點,那么它是直線．證明設曲線方程，定點的向徑為，則???兩邊求微商,得?由于線性無關，∴∴k＝０曲線是直線.１2．證明假如曲線的所有密切平面都通過一個定點,那么它是平面曲線.證明取定點為坐標原點,曲線的方程為,則曲面在任一點的密切平面方程為因任一點的密切平面過定點,所以，即所以平行于固定平面，所以是平面曲線．１3.若一條曲線的所有法平面包含非零常向量，證明曲線是直線或平面曲線.證明根據已知條件，得,=1\＊GB3①兩邊求導，得，由伏雷內公式得，ⅰ）,則曲線是直線;ⅱ)又有=1\*ＧＢ３①可知‖因是常向量,所以是常向量,于是所以，所以曲線為平面曲線.14.設在兩條撓曲線的點之間建立了一一相應關系,使它們在相應的點的副法線互相平行,證明它們在相應點的切線和主法線也分別平行.證明,由伏雷內公式得進而1５.證明撓曲線（)的主法線曲面是不可展曲面.證明設撓曲線為，則撓率，其主法線曲面的方程是:取,則所以，所以撓曲線的主法線曲面不是可展曲面.1６．證明撓曲線()的副法線曲面是不可展曲面.證明設撓曲線為，則撓率，其副法線曲面的方程是：取,則所以,，所以撓曲線的副法線曲面不是可展曲面.１7.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證明設曲線則曲線的主法線曲面為沿曲線(v=0）所以主法向量與曲面的法向量夾角所以曲線是它的主法線曲面上的漸近線．18.證明二次錐面沿每一條直母線只有一個切平面．證明為直紋面,所以,曲面可展，即沿每一條直母線只有一個切平面.也可以用高斯曲率Ｋ=0證明.1９.給出曲面上一條曲率線,設上每一處的副法向量和曲面在該點處的法向量成定角，求證是一平面曲線．證明設副法向量和曲面在該點處的法向量成定角,則兩邊求微商，得由于曲線是曲率線,所以，進而，由伏雷內公式得⑴時,是一平面曲線⑵,即,，又由于是曲率線，所以即是常向量,所以是平面曲線.20．求證正螺面上的坐標曲線（即曲線族曲線族)互相垂直．證明設正螺面的參數表達是，則,,，故正螺面上的坐標曲線互相垂直．2１．證明在曲面上的給定點處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數.證明由歐拉公式所以=常數.22.假如曲面上非直線的測地線均為平面曲線,則必是曲率線.證明由于曲線是非直線的測地線，所以沿此曲線有從而又由于曲線是平面曲線，所以進一步．由羅德里格斯定理可知曲線的切線方向為主方向，故所給曲線為曲率線.２3．證明在曲面上曲線族x