流體力學(xué)第4章中文版課件

第四章：

積分形式的基本定律2023/2/51Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章主要內(nèi)容4.1引言4.2三個基本定律4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換4.4質(zhì)量守恒4.5能量方程4.6動量方程4.7本章總結(jié)2023/2/52Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws本章教學(xué)目的推導(dǎo)一個方程，該方程能夠?qū)⑾到y(tǒng)中的三個基本定律轉(zhuǎn)換為可以應(yīng)用于控制體的形式將質(zhì)量守恒方程、能量方程和牛頓第二定律應(yīng)用于工程實(shí)際。給出大量的基本定律應(yīng)用于控制體的算例，以幫助學(xué)生能夠正確地求解流體流動問題。2023/2/53Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.1引言工程師所感興趣的物理量經(jīng)?？梢员磉_(dá)成積分形式。例如：體積流速是速度在一個面積上的積分；傳熱量是熱流量在一個面積上的積分；力是應(yīng)力在一個面積上的積分；質(zhì)量是密度在一個體積上的積分；動能是V2/2

在一個體積中對每一個質(zhì)量微元的積分。在本章中，將給出感興趣的積分量，并推導(dǎo)出聯(lián)系這些積分量的方程。2023/2/54Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws當(dāng)然，有許多感興趣的量不是積分量，這些量包括：繞流一個物體的流動的分離點(diǎn)；氣流中某一位置處的污染物濃度；建筑物表面的壓強(qiáng)和速度分布?！獙τ谶@些問題的研究，則需要描述流動的微分形式的方程。4.1引言2023/2/55Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws系統(tǒng)：

固定的流體質(zhì)點(diǎn)的集合。4.2三個基本定律

在工程流體力學(xué)中，感興趣的主要積分量包含在三個基本定律中：質(zhì)量守恒、熱力學(xué)第一定律和牛頓第二定律。1.以系統(tǒng)的形式表示基本定律2023/2/56Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一個系統(tǒng)的質(zhì)量保持恒定。(1)質(zhì)量守恒

對一個系統(tǒng)的傳熱速率減去該系統(tǒng)對外作功的速率，等于該系統(tǒng)能量變化的速率。(2)熱力學(xué)第一定律比能e包括單位質(zhì)量的動能、勢能和內(nèi)能。4.2三個基本定律2023/2/57Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

施加在一個系統(tǒng)上的合力，等于該系統(tǒng)的動量變化速率。(3)牛頓第二定律(動量方程)4.2三個基本定律2023/2/58Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)定義2.一般形式的基本定律Nsys:代表廣義量(系統(tǒng)的質(zhì)量、動量或能量)。:代表強(qiáng)度量，即系統(tǒng)單位質(zhì)量流體所具有的量。對于質(zhì)量守恒定律來說：=1對于熱力學(xué)第一定律來說：=e對于牛頓第二定律來說：=V4.2三個基本定律2023/2/59Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws質(zhì)量守恒定律：(2)一般形式的基本定律熱力學(xué)第一定律：牛頓第二定律：4.2三個基本定律2023/2/510Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換控制體：

流場中的一個空間區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)流體可以流進(jìn)也可以流出。1.控制體說明：

一個控制體不必是固定的，可以變形(例如一個氣球)。而我們一般只研究固定的控制體。2023/2/511Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

既然對控制體的研究比對系統(tǒng)的研究更加便利，因此需要找到一個轉(zhuǎn)換公式，該公式能夠?qū)⑾到y(tǒng)的導(dǎo)出量用控制體的量進(jìn)行表示。

這樣的話，基本定律就可以直接應(yīng)用到控制體中。2.系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換(1)控制面及通量控制面：

完全封閉控制體的表面。4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/512Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws通量：

通量是指通過一個面積的廣義量的速率。微元面積的法向單位矢量，經(jīng)常指向控制體外。如果是流入通量話，該表達(dá)式為負(fù)值；表達(dá)式為正值說明通量流出控制體。如果凈通量為正的話，說明流出的通量大于流入的通量。4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/513Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/514Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/515Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/516Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換第一項(xiàng)積分代表了控制體中的廣義量的變化速率。第二項(xiàng)積分代表了通過控制面的廣義量的通量。用控制體的量表達(dá)系統(tǒng)的導(dǎo)出量。2023/2/517Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換(1)定常流動3.系統(tǒng)向控制體轉(zhuǎn)換的簡化假設(shè)只有一個面積A1

，通過該面積流體進(jìn)入控制體；只有一個面積A2

，通過該面積流體流出控制體；同時假設(shè)速度矢量垂直于進(jìn)出面積，則有：2023/2/518Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws在工程中很多情況下，每一個流通平面上的物理量均勻分布的假設(shè)是可以接受的。這樣，方程可以簡化為：如果在控制體中有幾個流體流通面積，則有：對于入口截面，該項(xiàng)為負(fù)；對于出口截面，該項(xiàng)為正。4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/519Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)非定常流動

對于一個非定常流動來說，假設(shè)流動參數(shù)在整個控制體內(nèi)是均勻的，并且在一個入口和一個出口處流動參數(shù)也是均勻的，則系統(tǒng)向控制體轉(zhuǎn)換的公式可以表達(dá)成：4.3系統(tǒng)向控制體的轉(zhuǎn)換2023/2/520Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質(zhì)量守恒1.連續(xù)性方程連續(xù)性方程：2023/2/521Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)對于定常流動：(2)帶有一個入口和一個出口的定常均勻流：(3)對于密度是常數(shù)、流動定常或非定常的均勻流：4.4質(zhì)量守恒2023/2/522Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)對于定常流動，假設(shè)速度在入口和出口處的分布是不均勻的，而在進(jìn)出口截面上密度是均勻的，則有：4.4質(zhì)量守恒2023/2/523Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.質(zhì)量流量和體積流速質(zhì)量流量(質(zhì)量流動速率)：速度的垂直分量體積流速(體積流動速率):質(zhì)量流量經(jīng)常用在可壓縮流動中。體積流動速率一般用在不可壓縮流動中。對于質(zhì)量流量來說，假設(shè)進(jìn)出口處的流體密度均勻，且流速垂直于進(jìn)出口面積。4.4質(zhì)量守恒2023/2/524Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題1

求解：

水以3m/s的均勻速度流入一個噴嘴，該噴嘴將管道直徑從10cm減小到2cm。計(jì)算水離開噴嘴的速度及體積流速。

由于假設(shè)流體的密度是常數(shù)且速度分布均勻，因此可應(yīng)用簡化的連續(xù)性方程：4.4質(zhì)量守恒2023/2/525Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題2：

求解：

水流進(jìn)流出一個裝置。計(jì)算在這個裝置中水的質(zhì)量的變化率(dm/dt)。4.4質(zhì)量守恒2023/2/526Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題3：求解：

一個均勻的流動通過一個圓柱。已知在圖示的圓柱下游位置處，對稱的速度分布可以近似地表示為：

這里

u(y)的單位是m/s，y

的單位為米。確定通過表面AB1米厚度的質(zhì)量流量。=1.23kg/m3.

選擇控制體。由于對稱，沒有質(zhì)量流量通過CD。

假設(shè)為定常流動：4.4質(zhì)量守恒2023/2/527Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質(zhì)量守恒

令

H=1m：2023/2/528Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題4：

以0.6m3/s的速度向一個氣球充水使其膨脹。計(jì)算當(dāng)R=0.5m時，氣球半徑的增長速率。求解：

氣球半徑的增長速率dR/dt

與氣球內(nèi)的水在垂直于氣球壁面方向上的擴(kuò)張速度相等：

選擇半徑為0.5m的球作為固定的控制體，則有：4.4質(zhì)量守恒2023/2/529Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws

假設(shè)A1<<A2:4.4質(zhì)量守恒2023/2/530Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題5：

如果水通過一個0.10m2

截面的管子以0.5m/s的速度流入一個開口的容器，以0.2m3/s的體積流速流出該容器，確定在該容器中水面的上升速率。已知該容器的截面為0.5m直徑的圓面。求解：(1)

選擇一個控制體，該控制體的頂面在水面以上。4.4質(zhì)量守恒2023/2/531Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.4質(zhì)量守恒2023/2/532Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws求解：(2)

選擇一個控制體，該控制體的頂面在水面以下。

在控制體頂面處的流體速度等于頂面的升高速度：4.4質(zhì)量守恒2023/2/533Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.5能量方程系統(tǒng)中的能量方程可以表示為：比能：比動能比勢能比內(nèi)能Q代表由于溫差通過控制面的能量傳遞速率。功率項(xiàng)2023/2/534Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws1.功率項(xiàng)4.5能量方程由于控制面上的壓強(qiáng)所產(chǎn)生的功率。定義為流動功。旋轉(zhuǎn)的軸所產(chǎn)生的功率，例如泵、渦輪等。2023/2/535Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.一般的能量方程(1)一般的能量方程一般的能量方程4.5能量方程2023/2/536Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)能量損失

在許多流體流動中，有用形式的能量(動能和勢能)和流動功被轉(zhuǎn)換為無用能(內(nèi)能)。如果假設(shè)控制體的溫度保持不變，則內(nèi)能不變，因此能量損失就等于通過控制面的熱交換量。能量損失：

不可用形式的能的總和。4.5能量方程2023/2/537Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws一般的能量方程：4.5能量方程2023/2/538Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws說明：能量損失的分析計(jì)算是非常困難的，特別是當(dāng)流動為湍流時更是如此。一般來說，能量損失的預(yù)測可以通過經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行。對于泵或渦輪機(jī)械來說，能量損失可以用效率來表示。例如，如果一個泵的效率為80%，能量損失將是給泵輸入能量的20%。能量損失主要?dú)w結(jié)于兩個主要作用：流體的粘度會引起內(nèi)摩擦，從而導(dǎo)致內(nèi)能的增加(溫升)或熱交換。流場幾何形狀的改變會導(dǎo)致流動的分離，而流動的分離會造成有用能量耗散。4.5能量方程2023/2/539Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.定常均勻流考慮一個定常流的情況：有一個入口和一個出口，并假設(shè)在入口和出口處，速度分布均勻。則能量方程簡化為：(1)簡化的能量方程下標(biāo)1和2分別代表入口和出口的量。4.5能量方程2023/2/540Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws質(zhì)量流量:定義

hL:這種形式的能量方程在許多情況下非常有用。用損失系數(shù)K表示的hL4.5能量方程2023/2/541Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)頭速度頭：靜壓頭：壓頭：總壓頭：頭損失：所有這些量都具有長度量綱4.5能量方程2023/2/542Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3)關(guān)于能量方程應(yīng)用的說明如果能量損失可以忽略且沒有軸功，則有：說明：

當(dāng)2=1

時，能量方程簡化為與伯努利方程相同的形式。但必須明確，伯努利方程是應(yīng)用在一條流線上的動量方程，而上述方程則是一個應(yīng)用在流動的兩個截面上的能量方程。4.5能量方程2023/2/543Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws如果在流動系統(tǒng)中有泵和渦輪存在，能量項(xiàng)(Ws/mg)取決于泵和渦輪。對于不可壓縮流動來說，能量方程可以有如下形式：泵頭渦輪頭4.5能量方程2023/2/544Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(4)由渦輪產(chǎn)生的功率及泵所需要的功率

由效率為T的渦輪產(chǎn)生的功率可簡化表示為：

效率為P的泵所需要的功率可簡化表示為：4.5能量方程2023/2/545Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.定常非均勻流

如果速度分布是非均勻的，可以通過引入動能修正系數(shù)來計(jì)及速度不均勻性的影響。動能修正系數(shù)定義為：

引入動能修正系數(shù)后，能量方程將簡化為：

對于管內(nèi)的拋物形速度分布：=2.0

對于大多數(shù)內(nèi)部的湍流流動：1.054.5能量方程2023/2/546Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題6：

求解：

泵將0.2m3/s的水的壓強(qiáng)從200kPa升高到600kPa。如果泵的效率為85%，該泵需要多少電功率？已知出口截面高于入口截面20cm。假設(shè)出口面積與入口面積相等。

能量損失可以用效率表示。4.5能量方程2023/2/547Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題7：求解：

水從一個水庫通過一個直徑2.5ft的管路流向一個渦輪發(fā)電機(jī)組，然后排向一個低于水庫水面100ft的河中。如果體積流速為90ft3/sec，渦輪發(fā)電機(jī)的效率為88%，計(jì)算輸出功率。假設(shè)管路的損失系數(shù)為

K=2。(1):選擇控制體從水庫水面1到河流水面2。(2):采用表壓計(jì)算，因此

p1=p2=0；

坐標(biāo)原點(diǎn)放置在最低截面處，因此

z2=0；

速度

V1和

V2

足夠小可以忽略；Hp=0.4.5能量方程2023/2/548Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/549Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題8：求解：

圖示的文丘里管流量計(jì)中，管徑從10cm縮小到最小5cm。計(jì)算體積流速和質(zhì)量流量，假設(shè)為理想條件。(1):選擇控制體(2):無能量損失，且為均勻流。4.5能量方程2023/2/550Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(3):4.5能量方程2023/2/551Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題9：

求解：

一個管內(nèi)流動的速度分布為V(r)=Vmax(1-r2/r02)，這里r0

為管道的半徑。確定動能修正系數(shù)。(1):計(jì)算平均速度4.5能量方程2023/2/552Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2):確定動能修正系數(shù)管內(nèi)層流和平行板間層流時速度為拋物形分布，此時Re數(shù)必須非常小。4.5能量方程2023/2/553Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程1.一般的動量方程動量方程：

在一個慣性系中，施加在一個系統(tǒng)上的合力等于該系統(tǒng)的動量的變化率：2023/2/554Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws說明：當(dāng)應(yīng)用動量方程時，F(xiàn)代表了施加在控制體上的所有的力。這些力包括：外界施加在控制面上的表面力；由于重力場和磁場產(chǎn)生的體積力。動量方程經(jīng)常用來確定由于流動所產(chǎn)生的力。例如，通過動量方程可以計(jì)算在一個管路系統(tǒng)中支持一個彎管所需的力。4.6動量方程在動量方程中，采用表壓比較方便。這樣，作用在管道外部的壓強(qiáng)為零。2023/2/555Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws2.定常均勻流如果一個裝置具有入口和出口，在入口和出口處速度分布均勻，并且如果流動定常，則有：流動的出口/入口數(shù)如果只有一個入口和一個出口，則有：4.6動量方程2023/2/556Chapter4:TheintegralformsofthefundamentallawsScaleequation:4.6動量方程2023/2/557Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例如：噴嘴流動：在一個矩形水道內(nèi)的自由表面流動：F1

和F2

為壓力4.6動量方程2023/2/558Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題10：求解：

水通過一個水平彎管流入大氣。體積流速為0.3ft3/sec。計(jì)算在圖示中的每一個支持該彎管的桿上的力。忽略流體的體積力和粘性作用以及作用在桿上的剪切力。(1):選擇包圍彎管的控制體。(2):忽略截面1和2間的能量損失，由能量方程可得：4.6動量方程2023/2/559Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程2023/2/560Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(3):應(yīng)用動量方程：2023/2/561Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題11：求解：

當(dāng)一個在寬度為w的開口矩形水道中的水流速度較大時，水流有可能在一個較短的距離內(nèi)從深度y1跳越到深度y2，這種現(xiàn)象稱為水躍。假設(shè)流動為水平的均勻流動，試用y1和V1表達(dá)

y2。(1):將控制體入口和出口選在水躍上游和下游足夠遠(yuǎn)的位置，因此控制體入口和出口處的流線可以認(rèn)為與水道壁平行，且壓強(qiáng)為水的靜壓強(qiáng)。4.6動量方程2023/2/562Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(2):應(yīng)用動量方程：2023/2/563Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題12：

考慮一個空氣繞流圓柱的對稱流?？刂企w不包括圓柱，如圖所示。圓柱下游的速度分布可近似為拋物線分布。確定施加在圓柱上的每單位長度上的曳力(拖拉力)。流體密度取

=1.23kg/m3。4.6動量方程2023/2/564Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程求解：(1):應(yīng)用連續(xù)性方程：2023/2/565Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(2):應(yīng)用動量方程：2023/2/566Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題13：

用V1和面積比給出在一個突然擴(kuò)張管道中的壓頭損失的表達(dá)式。假設(shè)在出入口速度均勻分布，并且在管道突然擴(kuò)張?zhí)幍膲簭?qiáng)為

p1。求解：(1):選擇控制體(2):應(yīng)用動量方程：4.6動量方程2023/2/567Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws4.6動量方程(3):應(yīng)用能量方程：(4):應(yīng)用連續(xù)性方程：2023/2/568Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws3.應(yīng)用于導(dǎo)流片的動量方程在許多渦輪機(jī)械中，例如渦輪機(jī)、泵以及壓縮機(jī)等，都涉及到動量方程在導(dǎo)流片中的應(yīng)用。這類問題可以分為兩種：流體的噴射被固定的導(dǎo)流片偏轉(zhuǎn)；流體的噴射被運(yùn)動的導(dǎo)流片偏轉(zhuǎn)。對于這兩種問題，假設(shè)：流體噴射外部的壓強(qiáng)處處恒定，因此當(dāng)流體流過導(dǎo)流片時，流體中的壓強(qiáng)保持恒定；忽略由于流體與導(dǎo)流片間的相互作用所產(chǎn)生的摩擦阻力；體積力，即控制體的重量很小，予以忽略。4.6動量方程2023/2/569Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(1)固定的導(dǎo)流片假設(shè)壓強(qiáng)恒定4.6動量方程2023/2/570Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws(2)運(yùn)動導(dǎo)流片(考慮一個單一導(dǎo)流片)在這個運(yùn)動系中：在固結(jié)于固定噴嘴上的參考系中，流動是非定常的。4.6動量方程在固結(jié)于導(dǎo)流片上的參考系中，流動是定常的。

當(dāng)流體相對于導(dǎo)流片流動時，流體的相對速度保持恒定；由于壓強(qiáng)不變，因此流速也不變。2023/2/571Chapter4:Theintegralformsofthefundamentallaws例題14：

一個導(dǎo)流片將水流偏轉(zhuǎn)30°角。在圖示的位置處需要施加多大的支持力？已知

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