福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年段期末六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）命題學(xué)校：連江黃如論中學(xué)第一部分（選擇題共58分）一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.甲?乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則甲?乙兩人一起破譯這份密碼，密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.3.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知三條不重合的直線和平面，下列命題中是真命題的為（）A.若直線和平面所成的角相等，則B.若，則C.若，則D若，則5.進(jìn)入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般會(huì)提前發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時(shí)內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計(jì)算機(jī)生成了20組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預(yù)警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，則今后3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是（）A. B. C. D.6.如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點(diǎn)，若，，為AD中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.7.在中，角的對(duì)邊分別為，則的面積為（）A. B. C. D.8.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨?知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的（）A.的值為0.005；B.估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為8610.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A，B是兩個(gè)互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則11.如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點(diǎn)到平面的距離為第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱錐中，，則該棱錐體積為____________．13.在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的平均數(shù)為__________，方差為__________.14.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨(dú)立，則______.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．（1）求；（2）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．16.已知向量滿足，，．（1）求向量的夾角的大?。唬?）設(shè)向量，若的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．17.新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)?，，…，分成?組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求這組中至少有1人被抽到的概率．18.已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線和平面所成角的正弦值．19.如圖，設(shè)中角所對(duì)的邊分別為為邊上的中線，已知，且．（1）求的值；（2）求的面積；（3）設(shè)點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段交于，且的面積為面積的，求的取值范圍．2023—2024學(xué)年第二學(xué)期高一年段期末六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時(shí)間：120分鐘）命題學(xué)校：連江黃如論中學(xué)第一部分（選擇題共58分）一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)?，所以該?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D2.甲?乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則甲?乙兩人一起破譯這份密碼，密碼被成功破譯的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式可得密碼沒(méi)有被破譯的概率，進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，則密碼沒(méi)有被破譯，即甲乙都沒(méi)有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故選：C．3.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：D4.已知三條不重合的直線和平面，下列命題中是真命題的為（）A.若直線和平面所成的角相等，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用線面角的定義可得A錯(cuò)誤，由異面直線定義以及線線垂直的位置關(guān)系可判斷BC錯(cuò)誤，由線面垂直性質(zhì)可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若直線和平面所成的角相等，則直線可以相交或異面或平行，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則直線可以相交或異面或平行，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則可能是，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由線面垂直性質(zhì)可得，即D正確.故選：D5.進(jìn)入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般會(huì)提前發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時(shí)內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計(jì)算機(jī)生成了20組隨機(jī)數(shù)，結(jié)果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預(yù)警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】查出20個(gè)隨機(jī)數(shù)中表示今后3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知表示今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的隨機(jī)數(shù)有：116812730217109361284147318027共10個(gè)，故今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號(hào)的概率估計(jì)是，故選：B6.如圖所示，在中，為BC邊上的三等分點(diǎn)，若，，為AD中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】故選：A7.在中，角的對(duì)邊分別為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，邊角互化建立a,b關(guān)系，再利用余弦定理求出a,b，代入面積公式求出面積即可.【詳解】在中，因，由正弦定理可得，由余弦定理得：，解得，所以的面積為．故選：A．8.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意，可得外接圓的半徑及面積，即可得，代入體積公式，結(jié)合題意，可求得R值，代入球的表面積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球O半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.

二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨?知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史?育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的（）A.的值為0.005；B.估計(jì)成績(jī)低于60分的有25人C.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75D.估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86【答案】ACD【解析】【分析】由所有組頻率之和為1求得a，再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)求法可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，由，得.故A正確；對(duì)于B，估計(jì)成績(jī)低于60分的有人.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由眾數(shù)的定義知，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故C正確；對(duì)于D，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為m，則，解得：，故D正確.故選：ACD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知事件A，B，且，，如果，那么，B.對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)C.若A，B是兩個(gè)互斥事件，則D.若事件A，B，C兩兩獨(dú)立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系可判斷A；根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)，可判斷B;利用可判斷C；舉反例判斷D.【詳解】對(duì)于A，如果，則，故，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于單峰的頻率分布直方圖而言，如果左右對(duì)稱，則中位數(shù)和平均數(shù)大致相等，若直方圖在右邊“拖尾”，則平均數(shù)將變大，更遠(yuǎn)離峰值處，中位數(shù)位于單峰附近，故平均數(shù)大于中位數(shù)，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭莾蓚€(gè)互斥事件，故,所以,故C正確；對(duì)于D，舉例如從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)，即事件A=“取出的數(shù)字為1或2”，事件B=“取出的數(shù)字為1或3”，事件C=“取出的數(shù)字為1或4”，AB=BC=AC=ABC=“取出的數(shù)字為1”，則，，滿足，,,即事件兩兩獨(dú)立，但,故D錯(cuò)誤，故選：BC11.如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.二面角平面角的正切值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】由可知異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），由長(zhǎng)度關(guān)系可知A正確；由線面角定義可知所求角為，由長(zhǎng)度關(guān)系知B錯(cuò)誤；由二面角平面角定義可知所求角為，通過(guò)可知C正確；利用割補(bǔ)法可求得，由棱錐體積公式可構(gòu)造方程求得點(diǎn)面距離，知D正確.【詳解】對(duì)于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），，為等邊三角形，，即異面直線與所成角為，A正確；對(duì)于B，連接，平面，即為直線與平面所成角，，，，，，即直線與平面所成角不是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，，為中點(diǎn)，，，二面角的平面角為，平面，平面，，又，，，，即二面角的正切值為，C正確；對(duì)于D，連接，，，，又，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得：，即點(diǎn)到平面的距離為，D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理算出底面中心到頂點(diǎn)的距離為，再由錐體的體積公式加以計(jì)算，即可得到該棱錐的體積．【詳解】在平面上的投影是，因?yàn)槭钦睦忮F，所以是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，連結(jié)，，，所以，于是.故答案為：.13.在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高（單位：）調(diào)查中，抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為174和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為164和30，根據(jù)這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的平均數(shù)為__________，方差為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用分樣本平均數(shù)和方差與總樣本的平均數(shù)和方差的關(guān)系，代入計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】易知總樣本的平均數(shù)為，代入公式可得總樣本的方差為；因此總樣本的平均數(shù)為，方差為；故答案為：；.14.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨(dú)立，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算及相互獨(dú)立性推測(cè)即可.【詳解】由題意，，所以，所以是共同的唯一的樣本點(diǎn)，又兩兩不獨(dú)立，即，，，可見不可以為或，所以為或，即.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．（1）求；（2）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，求出的值，即可得解；（2）首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，解得即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴且，∴，∴，則.【小問(wèn)2詳解】∵，又為純虛數(shù)，∴且，∴.16.已知向量滿足，，．（1）求向量的夾角的大?。唬?）設(shè)向量，若的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的模公式及向量的夾角公式即可求解；（2）根據(jù)向量夾角與向量數(shù)量積的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，兩邊平方得，∵，，，解得，,，.【小問(wèn)2詳解】向量的夾角為銳角，等價(jià)于且方向不同．所以,解得，若方向相同，設(shè)，，∵不共線，，解得，綜上所述，的取值范圍是.17.新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)?，，…，分成?組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）．（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求這組中至少有1人被抽到的概率．【答案】（1），平均分為；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可計(jì)算出值，然后用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率再相加可得平均值；（2）由頻率分布直方圖得出成績(jī)位于和上的人數(shù)，并編號(hào)，用列舉法寫出隨機(jī)抽取的2人的所有基本事件，由概率公式計(jì)算概率．【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖，，，平均分為；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖得出成績(jī)位于和上的人數(shù)比為，抽取的6人中成績(jī)位于上的有4人，編號(hào)為1，2，3，4，位于上的有2人，編號(hào)為，從這6人中任取2人基本事件有：共15個(gè)，其中這組中至少有1人被抽到的基本事件有共9個(gè)，所以所求概率為．18.已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中