流體力學(xué)相似原理和量綱分析

由于流體流動十分復(fù)雜，至今對一些工程中的復(fù)雜流動問題，仍不能完全依靠理論分析來求得解答。因此，實(shí)驗(yàn)常常是流動研究中最基本的手段，而實(shí)驗(yàn)的理論基礎(chǔ)則是相似原理，實(shí)驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)分析則要應(yīng)用因次（量綱）分析。第五章 相似原理和量綱分析飛機(jī)模型—風(fēng)洞—飛機(jī)的氣動特性—飛機(jī)艦船模型—水池—艦船的阻力特性—艦船推進(jìn)器模型—水洞—動力特性—推進(jìn)器鍋爐的水模型實(shí)驗(yàn)—爐內(nèi)氣動特性……§5.1

流動的力學(xué)相似§5.2動力相似準(zhǔn)則§5.3流動相似條件§5.4近似的模型試驗(yàn)§5.5量綱分析法

為使模型流動能表現(xiàn)出原型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出原型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個流動的對應(yīng)時刻對應(yīng)點(diǎn)上同名物理量具有各自的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似。

本章主要介紹流體力學(xué)中的相似原理，模型實(shí)驗(yàn)方法以及量綱分析法。

解決流體力學(xué)問題的方法數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)研究

模型實(shí)驗(yàn)以相似原理為基礎(chǔ)

表征流動過程的物理量

描述幾何形狀的如長度、面積、體積等

描述運(yùn)動狀態(tài)的如速度、加速度、體積流量等

描述動力特征的如質(zhì)量力、表面力、動量等

按性質(zhì)分幾何相似運(yùn)動相似動力相似流動相似應(yīng)滿足的條件§5.1流動的力學(xué)相似定義：模型和原型的全部對應(yīng)線形長度的比值為一定常數(shù)。一、幾何相似（空間相似）

長度比例尺面積比例尺體積比例尺帶“

！”的表示模型的有關(guān)物理量

不帶“

！”的表示原型的有關(guān)物理量

或者說模型與原形的流場所有對應(yīng)點(diǎn)上、對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、運(yùn)動相似（時間相似）

速度比例尺加速度比例尺時間比例尺定義：滿足幾何相似的流場中，對應(yīng)時刻、對應(yīng)點(diǎn)流速（加速度）的方向一致，大小的比例相等，即它們的速度（加速度場）相似。體積流量比例尺運(yùn)動粘度比例尺角速度比例尺

模型與原型的流場所有對應(yīng)點(diǎn)作用在流體微團(tuán)上的各種力彼此方向相同，而它們大小的比例相等。三、動力相似（時間相似）

力的比例尺——總壓力——切向力——重力——慣性力四、三者間的關(guān)系

動力相似是決定運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素。

幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似是模型流場和原型流場相似的重要特征。

幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件。

運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺

長度比例尺速度比例尺密度比例尺常選取ρ、l、v的比例尺為為基本比例尺

用基本比例尺表示的其它動力學(xué)比例尺：力的比例尺力矩（功、能）比例尺壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺功率比例尺動力粘度比例尺§5.2動力相似準(zhǔn)則一、牛頓相似準(zhǔn)則——牛頓數(shù)

模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等。二、各單項(xiàng)力相似準(zhǔn)則

模型與原型的流場動力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、粘滯力、總壓力、彈性力、表面力等）都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，即各單項(xiàng)力作用下的相似準(zhǔn)則）。重力相似準(zhǔn)則粘滯力相似準(zhǔn)則表面力相似準(zhǔn)則非定常性相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則壓力相似準(zhǔn)則1.重力相似準(zhǔn)則在重力作用下相似的流動，其重力場相似。代入

Fr——弗勞德數(shù)，是慣性力與重力的比值。重力場中：則：當(dāng)模型與原型的重力相似，則其弗勞德數(shù)必定相等，反之亦然。這就是重力相似準(zhǔn)則（弗勞德準(zhǔn)則）。

2.粘滯力相似準(zhǔn)則在粘滯力作用下相似的流動，其粘滯力場相似。代入

Re——雷諾數(shù)，慣性力與粘滯力的比值。當(dāng)模型與原型的粘性力相似，則其雷諾數(shù)必定相等，反之亦然。這就是粘性力相似準(zhǔn)則（雷諾準(zhǔn)則）。

模型與原型用同一種流體時，故：3.壓力相似準(zhǔn)則在壓力作用下相似的流動，其壓力場相似。代入

Eu——?dú)W拉數(shù)，總壓力與重力的比值。4.彈性力相似準(zhǔn)則對于可壓縮流的模型試驗(yàn)，由壓縮引起的彈性力場相似。代入

Ca——柯西數(shù)，慣性力與彈性力的比值。彈性力相似準(zhǔn)則（氣體）

Ma——馬赫數(shù)，慣性力與彈性力的比值。對于氣體滿足（c為聲速），5.非定常性相似準(zhǔn)則

對于非定常流動的模型試驗(yàn)，模型與原型的流動隨時間的變化必相似。代入

Sr——

斯特勞哈爾數(shù)，當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。6.表面力相似準(zhǔn)則在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布相似。代入

We——韋伯?dāng)?shù)，慣性力與張力的比值。§5.3流動相似條件一、流動相似條件保證流動相似的必要和充分條件。1.相似的流動都屬于同一類的流動，應(yīng)為相同的微分方程所描述。2.單值條件相似。幾何條件3.由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等。邊界條件（進(jìn)口、出口的速度分布等）物性條件（密度、粘度等）初始條件（初瞬時速度分布等）二、流動相似條件解決了模型實(shí)驗(yàn)中必須解決的下列問題的問題：1.應(yīng)根據(jù)單值條件相似和相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型，選擇模型中的流動介質(zhì)。3.按相似準(zhǔn)則數(shù)整理的試驗(yàn)結(jié)果，可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去。2.試驗(yàn)過程中應(yīng)測定相似準(zhǔn)則數(shù)包含的一切物理量，并整理成相似準(zhǔn)則數(shù)。圖5-4

油池模型

【例5-1】如圖5-4所示，為防止當(dāng)通過油池底部的管道向外輸油時，因池內(nèi)油深太小，形成油面的旋渦將空氣吸入輸油管。需要通過模型實(shí)驗(yàn)確定油面開始出現(xiàn)旋渦的最小油深。已知輸油管內(nèi)徑d=250mm，油的流量qv=0.14m3/s，運(yùn)動粘度。倘若選取的長度比例尺，為了保證流動相似，模型輸出管的內(nèi)徑、模型內(nèi)液體的流量和運(yùn)動粘度應(yīng)等于多少？在模型上測得，油池的最小油深應(yīng)等于多少？【例5-2】密度和動力粘度相等的兩種液體從幾何相似的噴嘴中噴出。一種液體的表面張力為0.04409N/m，出口流束直徑為7.5cm，流速為12.5m/s，在離噴嘴10m處破裂成霧滴；另一液體的表面張力為0.07348N/m。如果二流動相似，另一液體的出口流束直徑、流速、破裂成霧滴的距離應(yīng)多大？§5.4近似的模型試驗(yàn)

在設(shè)計模型和組織模型試驗(yàn)時，在與流動過程有關(guān)的定性準(zhǔn)則中只考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的定性準(zhǔn)則，而忽略那些對過程影響較小的定性準(zhǔn)則，以達(dá)到模型流動與圓形流動的近似相似。什么是模型實(shí)驗(yàn)？

通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價值的。為什么要進(jìn)行近似模型實(shí)驗(yàn)？

當(dāng)定性準(zhǔn)則數(shù)為兩個或多于兩個時候，模型中流體運(yùn)動粘度的選擇要受模型尺寸選擇的制約，通常很難同時達(dá)到要求，定性準(zhǔn)則數(shù)目越多，模型設(shè)計越難，甚至無法進(jìn)行。所以，為解決這一矛盾，在工程中常常采用近似的模型實(shí)驗(yàn)方法。

只考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的定性準(zhǔn)則，而忽略那些對過程影響較小的定性準(zhǔn)則，

在工程實(shí)際中的模型試驗(yàn)，好多只能滿足部分相似準(zhǔn)則，即稱之為局部相似。如對于粘性不可壓縮定常流動的問題，可以不考慮自由面的作用力及重力的作用，只考慮粘性的影響，則定性準(zhǔn)則只考慮雷諾數(shù)Re，因而模型尺寸和介質(zhì)的選擇就自由了。

簡化模型實(shí)驗(yàn)方法中流動相似的條件，除局部相似之外，還可采用自?；匦院头€(wěn)定性。

自?；母拍顚?shí)質(zhì)是自身模擬的概念。比如在某系統(tǒng)中，有兩個數(shù)與其它量比起來都很大，則可認(rèn)為這兩個數(shù)自模擬了。又比如，在圓管流動中，當(dāng)Re≤2320時，管內(nèi)流動的速度分布都是一軸對稱的旋轉(zhuǎn)拋物面。當(dāng)Re>400000管內(nèi)流動狀態(tài)為紊流狀態(tài)，其速度分布基本不隨Re變化而變化，故在這一模擬區(qū)域內(nèi)，不必考慮模型的Re與原型的Re相等否，只要與原型所處同一?；瘏^(qū)即可?！?.5量綱分析法一、物理方程量綱一致性原則量綱：物理量單位的種類，用符號dim表示?；玖烤V：長度（L）、時間（T）、質(zhì)量（M）、溫度（）導(dǎo)出量綱：速度dimv=LT-1、加速度dima=LT-2

、密度dim=ML-3

力dimF=MLT-2

、壓強(qiáng)dimp=ML-1T-2表面張力dim=MT-2

、體積模量dimK=ML-1T-2動力粘度dim=ML-1T-1

、運(yùn)動粘度dim=L2T-1比熱容dimcp=dimcV=L2T-2

-1

氣體常數(shù)dimR=L2T-2

-11.物理方程量綱一致性原則

自然界中一切物理過程都可以用物理方程式來表示。任何一個物理方程中各項(xiàng)的量綱必定相同，用量綱表示的物理方程必定是齊次性的。方程兩端具有相同量綱量綱式中各基本量綱指數(shù)均為零-----無量綱量。2.準(zhǔn)則方程式無量綱的物理方程，是用相似準(zhǔn)則數(shù)表示的物理方程。二、瑞利法

瑞利法是用定性物理量x1、x2、….、xn的某種冪次之積的函數(shù)來表示被決定的物理量y。k為無量綱系數(shù)，由試驗(yàn)確定。a1、a2、….、an為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。[例1]

已知管流的特征流速Vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立Vc的公式結(jié)構(gòu)。[解]式中k為無量綱常數(shù)。將各物理量的量綱代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程假定根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實(shí)驗(yàn)確定。瑞利法一般用于影響流動的參數(shù)個數(shù)不超過3時較為方便。

三角堰

三、定理（泊金漢定理）

如果一個物理過程涉及到n個物理量和m個基本量綱，則這個物理過程可以由n個物理量組成的n-m個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù)i）的函數(shù)關(guān)系來描述。定理適用于：變量多于4個的復(fù)雜問題分析。應(yīng)用定理的步驟（5步）：①確定影響此物理現(xiàn)象的各個物理量:

②從n個物理量中選取m個基本物理量作為m個基本量綱的代表。m一般為3，應(yīng)使其分別具有質(zhì)量量綱、時間量綱（運(yùn)動因次）、長度量綱，如ρ、v、d③從三個基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個，連同三個基本物理量組合成一個無量綱的項(xiàng)，一共寫出n－3個項(xiàng)。即:④據(jù)因次齊次性求各項(xiàng)的指數(shù)ai，bi，ci⑤寫出描述物理現(xiàn)象的無因次關(guān)系式

至此，問題求解結(jié)束，進(jìn)一步對上式整理規(guī)范。由上式可知p/v2與其余三個無量綱數(shù)有關(guān)，那么令這就是達(dá)西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長、速度水頭成正比，與管