2023年高中數(shù)學(xué)選修極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點(diǎn)與題型

選做題部分極坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、極坐標(biāo)系１.極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系:如圖4－4－1所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)Ｏ引一條射線Ｏx，叫做極軸;再選定一個(gè)長度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(２)極坐標(biāo):平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從Ox到OM的角度θ來刻畫,這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑,θ稱為點(diǎn)M的極角.2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y）極坐標(biāo)(ρ,θ)互化公式題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1、已知點(diǎn)Ｐ的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為()A．(1,1)Ｂ.(1,-1)Ｃ.(-1,1）D．(－1，-1）2、設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，實(shí)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為(）A.B．C．D．３．若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2ｓinθ+4ｃoｓθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為ｘ軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為______＿＿.4.在極坐標(biāo)系中,過點(diǎn)(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是()Ａ．ρ＝cosθB.ρ＝siｎθC.ρcoｓθ=1D.ρsｉnθ＝1５．曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x＝0,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為＿＿_(dá)_＿_(dá)__.6.在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝２cｏsθ與直線θ=eq\f(π,4）（ρ＞0)所表達(dá)的圖形的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．題型二極坐標(biāo)方程的應(yīng)用由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí)，假如不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.1.在極坐標(biāo)系中，已知圓C通過點(diǎn)P(eq\ｒ(２)，eq\f(π,4)),圓心為直線ρｓineq\b\lｃ\(＼rc\)(\a\vs4\al\co１（θ－\f（π，３)))=-eｑ＼f（＼r(３）,2)與極軸的交點(diǎn)，求圓C的直角坐標(biāo)方程．2．圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為Ｃ，點(diǎn)Ｐ的極坐標(biāo)為eq\b＼lｃ\(＼ｒc＼)(\ａ＼ｖs4\al＼ｃo1(4，\f(π,3))),則|CＰ|=＿＿_(dá)__＿＿_(dá).３.在極坐標(biāo)系中,已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\（＼rc\）(＼ａ\vs4＼al\ｃｏ１(θ+＼f(π,4)))＝１，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ｃeq\ｂ\lｃ\（＼ｒｃ\)(\a\vs４\al\ｃo1(１，＼f(π,4))）,圓的半徑為1.（i)則圓Ｃ的極坐標(biāo)方程是＿_(dá)__＿＿_(dá)＿；(ｉi）直線l被圓C所截得的弦長等于_＿_(dá)_＿_(dá)__.４.在極坐標(biāo)系中,已知圓C：ρ＝4cosθ被直線l：ρsiｎeq＼b\ｌｃ\(\ｒｃ\）(\a\vｓ４＼al\ｃｏ１(θ-\f（π,6））)=ａ截得的弦長為２ｅq\ｒ(３),則實(shí)數(shù)a的值是___＿＿＿_(dá)＿．二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程和普通方程的互化（1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程．（2)假如知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)ｔ的關(guān)系,例如x＝ｆ(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t)，那么,eｑ\ｂ＼ｌc\{\ｒc\（\ａ\ｖs4\al\ｃo1（x=ft，,ｙ=ｇt))就是曲線的參數(shù)方程．2．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y０=taｎα(ｘ-ｘ0)ｅq＼b＼ｌc\｛\rｃ\(\a＼vs4\aｌ＼ｃo１(x＝x０+tcosα，y＝y(tǒng)0+tｓｉnα）)（t為參數(shù))圓x2＋y2=r2ｅq＼b＼lc＼{\rｃ\（\ａ\ｖs4＼ａl\co１（x＝rcosθ,y=ｒsinθ）)（θ為參數(shù)）橢圓ｅq＼f（x2,a２)+ｅｑ\f（y2，ｂ2)＝1（ａ>b>0）ｅq＼b\lc＼{\rc\（＼a\vs４\ａl\co１(ｘ=ａcｏsφ,y＝bｓｉnφ))(φ為參數(shù)）題型一參數(shù)方程與普通方程的互化【例1】把下列參數(shù)方程化為普通方程:(１）eq\b\lｃ\{\rc\(\a\vs4\ａl\ｃｏ1(x=3＋cosθ,,ｙ=２-sinθ;)）（2)eｑ\b\lc\{\ｒc\（\a＼ｖｓ４＼ａｌ\cｏ1(x＝1＋\f（１,２)t,,ｙ＝5+\f(\r（３),2)t.）)題型二直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用１、已知直線ｌ的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4＼aｌ\co1(x＝1+ｔ,，y＝4－2t))（參數(shù)t∈Ｒ),圓C的參數(shù)方程為eq＼b\ｌc＼{\rｃ\(\ａ\vｓ４\aｌ\ｃｏ1(ｘ=2cosθ+2，,y=2sinθ))(參數(shù)θ∈［０，２π])，求直線ｌ被圓Ｃ所截得的弦長．２、曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=aｃosθ(a>0）,直線l的參數(shù)方程為:（1）求曲線Ｃ與直線l的普通方程；（2）若直線l與曲線Ｃ相切,求a值．3、在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C１的參數(shù)方程為,（α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線Ｃ１的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;（Ⅱ)設(shè)P為曲線Ｃ1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Ｐ到C2上點(diǎn)的距離最小值．綜合應(yīng)用１、曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是(）AＢHYPERＬINＫ＂＂ＣDHYＰERLINK""3、參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為(）A.B．C.D．3．判斷下列結(jié)論的正誤.(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一相應(yīng)關(guān)系,在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一相應(yīng)關(guān)系()(2)若點(diǎn)Ｐ的直角坐標(biāo)為(1，-eｑ＼ｒ(3）),則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是（2,-eｑ\f(π，3)）(）（３）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的(）(4)極坐標(biāo)方程θ＝π（ρ≥０）表達(dá)的曲線是一條直線()４.參數(shù)方程為表達(dá)的曲線是（)A．一條直線B．兩條直線C.一條射線Ｄ．兩條射線５.與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（)A．Ｂ.C.D．15．參數(shù)方程所表達(dá)的曲線是（) A．直線??B.兩條射線?C.線段 ??D．圓１６.下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）與普通方程表達(dá)同一曲線的方程是:(）?A．?B. Ｃ．Ｄ.3.由參數(shù)方程給出曲線在直角坐標(biāo)系下的方程是 ?? 。４.若直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)），則過點(diǎn)(4,-１）且與l平行的直線在y軸上的截距是 ?。5．方程（t是參數(shù))表達(dá)的是過點(diǎn) ，傾斜角為直線。8.在極坐標(biāo)系有點(diǎn)M(3,)，若規(guī)定極徑＜０,極角[0，2]，則M的極坐標(biāo)為;若規(guī)定極徑<0，極角（-,），則M的極坐標(biāo)為.９.的一個(gè)頂點(diǎn)在極點(diǎn)O,其它兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的面積為 ?? 。６．（2０23·北京高考)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)ｅq\b\lc\(＼rc\)(\ａ\vs4\aｌ\cｏ1(2,\f(π,6）))到直線ρｓiｎθ=２的距離等于_____＿＿_(dá)．7、平面直角坐標(biāo)系中,將曲線為參數(shù))上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛淼谋兜玫角€,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立的極坐標(biāo)系中,曲線的方程為（Ⅰ)求和的普通方程:(Ⅱ)求和公共弦的垂直平分線的極坐標(biāo)方程.8、已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．（１）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.7、已知圓C：ｅq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1＋coｓθ,,ｙ=sinθ))(θ為參數(shù))和直線l:eｑ\b\ｌc\{\ｒｃ\(\ａ\vs4\ａl＼co1(x=2+tｃｏsα，,y