2022年福建省平和一中、南靖一中等五校高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知隨機(jī)變量的分布列是則()A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.3.已知.給出下列判斷:①若,且,則;②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱;③若在上恰有7個零點(diǎn),則的取值范圍為;④若在上單調(diào)遞增,則的取值范圍為.其中,判斷正確的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.5.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.6.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知集合,則=()A. B. C. D.8.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來,“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計圖,下列描述錯誤的是()A.這五年,出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進(jìn)口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降9.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.10.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.11.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.12.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.14.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為______.15.設(shè)變量,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為______.16.在的二項展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)已知點(diǎn)在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.18.(12分)設(shè)數(shù)陣,其中、、、.設(shè),其中,且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一行,若其中有或,則將這一行中每個數(shù)都乘以;若其中沒有且沒有,則這一行中所有數(shù)均保持不變”(、、、).表示“將經(jīng)過變換得到,再將經(jīng)過變換得到、,以此類推,最后將經(jīng)過變換得到”,記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.(1)若,寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)若,,求的值;(3)對任意確定的一個數(shù)陣,證明:的所有可能取值的和不超過.19.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。θ我獾?;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.20.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項.(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足.(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與(Ⅰ)中曲線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求△面積的最大值及此時直線的方程.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得,得,所以,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法,是基本知識的考查.2.D【解析】

利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項,進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時,取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時注意當(dāng)或時同時取到最值.3.B【解析】

對函數(shù)化簡可得,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性及平移變換,對四個命題逐個分析,可選出答案.【詳解】因為,所以周期.對于①,因為,所以,即,故①錯誤;對于②,函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為,其圖象關(guān)于軸對稱,則,解得,故對任意整數(shù),,所以②錯誤;對于③,令,可得,則,因為,所以在上第1個零點(diǎn),且,所以第7個零點(diǎn),若存在第8個零點(diǎn),則,所以,即,解得,故③正確;對于④,因為,且,所以,解得,又,所以,故④正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換,考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對稱性,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于中檔題.4.C【解析】

根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.5.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.6.C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補(bǔ)集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對A項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額和進(jìn)口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額,則A正確;對B項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對C項,由統(tǒng)計圖可得,2019年進(jìn)口增速都超過其余年份,則C正確;對D項,由統(tǒng)計圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯誤;故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實(shí)際問題,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10.D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.11.A【解析】

投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

算法的功能是求的值,根據(jù)輸出的值,分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當(dāng)時,,可得:,或(舍去);當(dāng)時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句,根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15.-8【解析】

通過約束條件,畫出可行域,將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題,通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示:令,則即為在軸截距的最大值由圖可知:當(dāng)過時,在軸截距最大本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題,關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題.16.1【解析】

由題意可得,再利用二項展開式的通項公式,求得二項展開式常數(shù)項的值.【詳解】的二項展開式的中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,,通項公式為,令,求得,可得二項展開式常數(shù)項等于,故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形,可得面,再由面面平行的判定可證得面面平行;(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系,可求得面PAB的法向量,再運(yùn)用線面角的向量求法,可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】(1),,又,,,而、分別是、的中點(diǎn),,故面,又且,故四邊形是平行四邊形,面,又,是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.(2)由(1)可知,兩兩垂直,故建系如圖所示,則,,,,設(shè)是平面PAB的法向量,,令,則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面平行的判定,以及線面角的空間向量的求解方法,屬于中檔題.18.(1);(2);(3)見解析.【解析】

(1)由,能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)由,,求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣,進(jìn)而可求得的值;(3)分和兩種情況討論,推導(dǎo)出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和,由此能證明的所有可能取值的和不超過.【詳解】(1),經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣;(2)經(jīng)變換后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、;含有且不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、;同時含有和的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、;不含也不含的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若,則的所有非空子集中,含有的子集共個,經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、;不含有的子集共個,經(jīng)過變換后第一行仍為、.所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.同理,經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為.所以的所有可能取值的和為,又因為、、、,所以的所有可能取值的和不超過.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)陣變換的求法,考查數(shù)陣中四個數(shù)的和不超過的證明,考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,綜合性強(qiáng),難度大.19.(1);(2)①;②證明見解析.【解析】

(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列;對任意的,,可得,即有,所以對,,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,其中.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運(yùn)用,考查分類討論思想方法和推理、運(yùn)算能力,屬于難題.20.(1)見解析,(2)【解析】

(1)根據(jù)等差中項的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫出的通項即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項的定義和分組求和的方法;中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ)面積的最大值為,此時直線的方程為.【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程;(2

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