疲勞和斷裂第七講

第七章彈塑性斷裂力學簡介7.1裂紋尖端的小范圍屈服7.2裂紋尖端張開位移7.3COD測試與彈塑性斷裂控制設計返回主目錄1用線彈性材料物理模型，按照彈性力學方法，研究含裂紋彈性體內(nèi)的應力分布，給出描述裂紋尖端應力場強弱的應力強度因子K，并由此建立裂紋擴展的臨界條件,處理工程問題。第七章彈塑性斷裂力學簡介線彈性斷裂力學(LEFM)線彈性斷裂力學給出的裂紋尖端附近的應力趨于無窮大。然而，事實上任何實際工程材料，都不可能承受無窮大的應力作用。因此，裂尖附近的材料必然要進入塑性，發(fā)生屈服。2Linearelasticfracturemechanicspredictsinfinitestressesatthecracktip.Inrealmaterials,however,stressatthecracktiparefinitebecausethecracktipradiusmustbefinite.Inelasticmaterialdeformation,suchasplasticityinmetal,leadstofurtherrelaxationofthecracktipstress.線彈性斷裂力學預測裂紋尖端應力無窮大。然而在實際材料中，由于裂尖半徑必定為有限值，故裂尖應力也是有限的。非彈性的材料變形，如金屬的塑性，將使裂尖應力進一步松弛。37.1裂紋尖端的小范圍屈服1.裂尖屈服區(qū)當r0時，s，必然要發(fā)生屈服。因此，有必要了解裂尖的屈服及其對K的影響。無限大板中裂紋尖端附近任一點(r,)處的正應力x、y和剪應力xy的線彈性解為：ssxy2adxdyrqsysxtxyssqyar=+221cos[qq232sinsin]tsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cos[qq232sinsin](5-1)4這里僅簡單討論沿裂紋線上屈服區(qū)域的大小。線彈性斷裂力學裂尖附近任一點處的x、y

xy，一點的應力狀態(tài)計算主應力屈服準則裂紋尖端屈服區(qū)域的形狀與尺寸ssqyar=+221cos[qq232sinsin]tsqqqxyar=22232sincoscosssqxar=-221cos[qq232sinsin](5-1)在裂紋線上(=0)，注意到，有；aKps=rKrayxpsss221===0=xyt；ssxy2adxdyrqsysxtxy5

對于平面問題，還有：yz=zx=0；

z=0平面應力

z=(x+y)平面應變rKrayxpsss221===0=xyt；則裂紋線上任一點的主應力為：?íì=rKpns2/2013平面應力平面應變ssrKp2121==；塑性力學中，vonMises屈服條件為：213232221)()()(sssss22yss=-+-+-s6將各主應力代入Mises屈服條件，得到：(平面應力)(平面應變)ysprKsp=2/1ysprsp=2Kn-/)21(1式中，ys為材料的屈服應力，為泊松比。對于金屬材料，0.3，這表明平面應變情況下裂尖塑性區(qū)比平面應力時小得多。故塑性屈服區(qū)尺寸rp為：

(平面應力)

21)(21yspKrsp=221)21()(21nsp-=yspKr(平面應變)(7-3)7虛線為彈性解，r0，y。由于y>ys，裂尖處材料屈服，塑性區(qū)尺寸為rp。當=0時(在x軸上)，裂紋附近區(qū)域的應力分布及裂紋線上的塑性區(qū)尺寸如圖。rpaxyysABDoHK與原線彈性解(虛線HK)相比較，少了HB部分大于ys的應力。假定材料為彈性-理想塑性，屈服區(qū)內(nèi)應力恒為ys，應力分布應由實線AB與虛線BK表示。8Thesimpleanalysisasaboveisnotstrictlycorrectbecauseitwasbasedonanelasticcracktipsolution.Whenyieldingoccurs,stressmustredistributeinordertosatisfyequilibrium.rpaxyysABDoHK上述簡單分析是以裂紋尖端彈性解為基礎的，故并非嚴格正確的。屈服發(fā)生后，應力必需重分布，以滿足平衡條件。TheregionABHrepresentsforcesthatwouldbepresentinanelasticmaterialbutcannotbecarriedintheelastic-plasticmaterialbecausethestresscannotexceedyield.Theplasticzonemustincreaseinsizeinordertocarrytheseforces.ABH區(qū)域表示彈性材料中存在的力，但因為應力不能超過屈服，在彈塑性材料中卻不能承受。為了承受這些力，塑性區(qū)尺寸必需增大。

9為滿足靜力平衡條件，由于AB部分材料屈服而少承擔的應力需轉(zhuǎn)移到附近的彈性材料部分，其結(jié)果將使更多材料進入屈服。因此，塑性區(qū)尺寸需要修正。設修正后的屈服區(qū)尺寸為R；假定線彈性解答在屈服區(qū)外仍然適用，BK平移至CD，為滿足靜力平衡條件，修正后ABCD曲線下的面積應與線彈性解HBK曲線下的面積相等。由于曲線CD與BK下的面積是相等的，故只須AC下的面積等于曲線HB下的面積即可。rpaxyysABoHK

RCD10于是得到：積分后得到，平面應力情況下裂尖的塑性區(qū)尺寸R為：

ysKRpr2)(121==sp注意到式中：y=,平面應力時：Krp2/121)(21yspKrsp=ò=pryysdxxR0)(ssrp

RaxyysABCDoHK11依據(jù)上述分析，并考慮到平面應變時三軸應力作用的影響，Irwin給出的塑性區(qū)尺寸R為：上式指出：裂紋尖端的塑性區(qū)尺寸R與(K1/ys)成正比；平面應變時的裂尖塑性區(qū)尺寸約為平面應力情況的1/3。21)(12yspKrRsap==?íì=221a(平面應力)(平面應變)(7-4)12Mostoftheclassicalsolutioninfracturemechanicsreducetheproblemtotwodimensions.Thatisatleastoneoftheprincipalstressesorstrainsisassumedtoequalzero(planestressandplanestrainrespectively).斷裂力學中的大部分經(jīng)典解都將問題減化為二維的。即主應力或主應變中至少有一個被假設為零，分別為平面應力或平面應變。Ingeneral,theconditionsaheadofacrackareneitherplanestressnorplanestrain,butarethree-dimensional.Thereare,however,limitingcaseswhereatwodimensionalassumptionisvalid,oratleastprovidesagoodapproximation.一般地說，裂紋前的條件既不是平面應力，也不是平面應變，而是三維的。然而，在極限情況下，二維假設是正確的，或者至少提供了一個很好的近似。132.考慮裂尖屈服后的應力強度因子曲線CD與線彈性解BK相同。假想裂紋尺寸由a增大到a+rp,則裂紋尖端的線彈性解恰好就是曲線CD。rprpaxyysABCDoHKr'ro'對于理想塑性材料，考慮裂紋尖端的屈服后，裂尖附近的應力分布應為圖中ACD曲線。a+rp稱為有效裂紋長度，用a+rp代替a，由原來的線彈性斷裂力學結(jié)果可直接給出考慮Irwin塑性修正的解答。即有：)(1praK+=ps(7-5)14rprpaxyysABCDoHKr'ro'考慮Irwin塑性修正后，裂尖應力強度因子K為：)(1praK+=ps(7-5)裂紋線上(=0)的應力y為：ysyss=21yr’K=psr2rp；

r2rp；)(21prrK-=p15例7.1無限寬中心裂紋板，受遠場拉應力作用，試討論塑性修正對應力強度因子的影響。解：由線彈性斷裂力學給出無限寬中心裂紋板的應力強度因子為：Kaps=1考慮塑性修正時，由(7-5)式有：)(1praK+=￠ps將(7-4)式給出的rp代入上式，得到：2/12]})(21[{ysaaspsapps+=1K￠2/12]})(211{[ysassaps+=或?qū)憺椋?/12])(211[ysssal+=1Kl=1K￠；16對于平面應力情況，=1；若(/ys)=0.2，=1%；若(/ys)=0.5，=6%；當(/ys)=0.8時，達15%。對于平面應變情況，3，二者相差要小一些?？紤]塑性修正后有：2/12])(211[ysssal+=1Kl=1K￠；

>1，故考慮塑性修正后應力強度因子增大。二者的相對誤差為：==1-l111-￠KKK可見，(/ys)越大，裂尖塑性區(qū)尺寸越大，線彈性分析給出的應力強度因子誤差越大。173.小范圍屈服時表面裂紋的K修正前表面修正系數(shù)通常取為Mf=1.1；E(k)是第二類完全橢圓積分?？紤]裂尖屈服，按Irwin塑性修正，用a+rp代替原裂紋尺寸a，故有：)()(1.11kEraKp+=ps無限大體中半橢圓表面裂紋最深處處于平面應變狀態(tài)，故由(7-4)式知：21)(241yspKrsp=無限大體中半橢圓表面裂紋最深處的應力強度因子為：)(1kEaMKfps=18可見，小范圍屈服時，表面裂紋的K計算只須用形狀參數(shù)Q代替第二類完全橢圓積分E(k)即可。QaKps1.11=2/122})(212.0)]({[yskEQss-=

(7-8)代入整理后即得：形狀參數(shù)利用E(k)的近似表達，Q可寫為：2/1264.1])/(212.0)/(47.11[yscaQss-+=越大，Q越小，K越大，裂尖屈服區(qū)越大。/ysss利用E(k)式的近似表達，可將形狀參數(shù)Q寫為：19例7.2某大尺寸厚板含一表面裂紋，受遠場拉應力

作用。材料的屈服應力為ys=600MPa,斷裂韌性K1c=50MPam1/2，試估計：1)=500MPa時的臨界裂紋深ac。(設a/c=0.5)2)a/c=0.1，a=5mm時的臨界斷裂應力c；解：1)無限大體中半橢圓表面裂紋最深處的K最大，考慮小范圍屈服，在發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)有：ccKQaK111.1==psps221221.1ccKQa=32.1)600/500(212.0)5.0(47.11264.12=-+=Q；20故得到：mmmKQacc47.300347.014.350021.15032.121.1222212====ps2)斷裂臨界狀態(tài)有：ccKQaK111.1==ps

Q是c

的函數(shù)：)600/(212.0)1.0(47.11264.12-+=Qsc=)600/(212.02-sc1.034將斷裂判據(jù)式二邊平方，再將Q2代入，得：ccKa121.1=ps22s)/(212.02-sc1.034ys[]2112622.8)/(212.021.1034.121212=+=spsyscccKaK=s112.4

MPac即有：)(1kEaMKfps=討論：若不考慮屈服，有：c1360021.1034.1212==pscaK=s116.6

MPac則：c=21.1034.1250p0.005

不考慮屈服，將給出偏危險的預測。22一般地說，只要裂尖塑性區(qū)尺寸rp與裂紋尺寸a相比是很小的(a/rp=20-50)，即可認為滿足小范圍屈服條件，線彈性斷裂力學就可以得到有效的應用。對于一些高強度材料；對于處于平面應變狀態(tài)(厚度大)的構(gòu)件；對于斷裂時的應力遠小于屈服應力的情況；

小范圍屈服條件通常是滿足的。23PlasticitycorrectingcanextendLEFMbeyondit’snormalvaliditylimits.Onemustremember,however,thatIrwincorrectionareonlyroughapproximateofelastic-plasticbehavior.Whennonlinearmaterialbehaviorbecomessignificant,oneshoulddiscardstressintensityandadoptacracktipparameter(suchasthecracktipopeningdisplacement,CTOD)thattakesthematerialbehaviorintoaccount.塑性修正可將LEFM延用至超過其原正確性限制。但必需記住Irwin修正只是彈塑性行為的粗略近似。當非線性材料行為為主時，應拋棄應力強度因子而采用如CTOD的裂尖參數(shù)考慮材料的行為。24WhenWellsattemptedtomeasureK1cvalueinanumberofstructuralsteels,hefoundthatthesematerialsweretootoughtobecharacterizedbyLEFM.Thisdiscoverybroughtbothgoodnewsandbadnews:hightoughnessisobviouslydesirabletodesignersandfabricators,butWells’experimentsindicatedthatexistingfracturemechanicstheorywasnotapplicabletoanimportantclassofmaterials.Wells試圖測量結(jié)構(gòu)鋼材的K1c時，發(fā)現(xiàn)這些材料韌性太大而不能用LEFM描述。這一發(fā)現(xiàn)帶來的既有好消息也有壞消息：高韌性顯然是設計及制造者所希望的，但Wells的試驗指出現(xiàn)有的斷裂力學理論不能用于這類重要的材料。25Whileexaminingfracturedtestspecimens,Wellsnoticethatthecrackfaceshadmovedapartpriortofracture;plasticdeformationbluntedaninitiallysharpcrack.Thedegreeofcrackbluntingincreasedinproportiontothetoughnessofmaterial.ThisobservationledWellstoproposetheopeningatthecracktipasameasureoffracturetoughness.Todaythisparameterisknownasthecracktipopeningdisplacement.檢查已斷的試件，Wells注意到斷裂前裂紋面已分開；塑性變形使原尖銳的裂紋鈍化。鈍化的程度隨材料的韌性而增加。這一觀察使Wells提出用裂尖的張開作為斷裂韌性的度量。此參數(shù)即現(xiàn)在的裂紋尖端張開位移。26

7.2裂紋尖端張開位移

(CTOD-CrackTipOpeningDisplacement)2aWss屈服區(qū)則塑性區(qū)將擴展至整個截面，造成全面屈服，小范圍屈服將不再適用。如果作用應力大到使裂紋所在截面上的凈截面應力

凈=W/(W-2a)ys中低強度材料ys低K1c高斷裂c大裂尖rp大272aCODxyo顯然，COD是坐標x的函數(shù)，且裂紋尺寸a越大，COD越大。裂尖張開位移(CTOD)是在x=a處的裂紋張開位移。裂尖端屈服范圍大CTODLEFMIrwen修正不再適用斷裂與裂紋張開尺寸相關(guān)裂紋張開位移(COD)

c大，rp大，裂紋越來越張開。可用于建立適于大范圍屈服的彈塑性斷裂判據(jù)。28Dugdale設想有一虛擬裂紋長aeff=a+rp,在虛擬裂紋上、下裂紋面上加上=ys

的應力作用而使裂紋閉合，然后進行準彈性分析。平面應力條件下，在全面屈服之前凈/ys<1，Dugdale給出裂尖張開位移與間的關(guān)系為：(7-10))]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODys29如果/ys<<1，則可將上式中sec項展開后略去高次項，得到：1222]81ln[ysssp)]2ln[sec(yssps-=-Dugdale解：(7-10))]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2222228)]8(1ln[ysyssspssp=+=)]2ln[sec(yssps得到：注意到當x<<1時有：11-x1+x1-x2=≈1+x;ln(1+x)≈x30故在小范圍屈服時，平面應力的(7-10)式成為：(7-11)EKEaysyssspsd212==在發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)下，K1=K1c，=c。故上式給出了平面應力情況下，小范圍屈服時

c與材料斷裂韌性K1c的換算關(guān)系。寫為一般式：(7-12)

=1，平面應力；=(1-2)/2，平面應變。EKyssbd21=由和)]2ln[sec(8ysysEaspspsd=2228ysssp=)]2ln[sec(yssps31發(fā)生斷裂時的判據(jù)為c；如何確定？需要研究CTOD的試驗確定方法。在小范圍屈服情況下，線彈性斷裂判據(jù)為：K1K1c；也可以用裂紋尖端張開位移(CTOD)表達為：

c且EKyssbd21=cc若屈服范圍較大，由(7-10)給出為：)]2ln[sec(8ysysEaspspsd=327.3COD測試與彈塑性斷裂控制設計7.3.1.裂尖張開位移(COD)的測試L=4WWaPh三點彎曲試件缺口處粘貼一對刀口安裝夾式引伸計測量裂紋張開位移V記錄P-V曲線33將分為彈性部分e和塑性部分p，即

=e+pL=4WWaPhVd機械切口疲勞裂紋a試驗P-V曲線V是切口張開位移求CTOD？彈性部分e可由前面由(7-12)式給出，即：EKyssbd21=e34O’為轉(zhuǎn)動中心，O’到裂尖的距離為r(W-a),r稱為轉(zhuǎn)動因子。裂尖屈服區(qū)大（甚至全面屈服），韌帶處將形成塑性鉸。假設發(fā)生開裂之前二裂紋面繞塑性鉸中心O’作剛性轉(zhuǎn)動，如圖。由DOBB’與DODD’相似，可得p與刀口張開位移塑性部分Vp的關(guān)系為：(7-14))()()(haaWrVaWrpp++--=dVdr(W-a)O'appBD’B’D刀口厚度為h35大范圍屈服情況下，不同材料測得的r多在0.3-0.5間。故國標GB2358-1994建議將轉(zhuǎn)動因子r取為0.45。英國標準協(xié)會建議r取0.4。

)()()(haaWrVaWrpp++--=d欲確定pr？用更精細的實驗測量變形后的二裂紋面位置線，由其交點確定轉(zhuǎn)動中心O’，可確定轉(zhuǎn)動因子r。Vdr(W-a)O'appBD’B’Dr0.20.50d(mm)r-COD關(guān)系36MostlaboratorymeasurementsofCTODhavebeenmadeonedge-crackedspecimensloadedinthree-pointbending.Thedisplacementatthecrackmouthismeasured,andtheCTODisinferredbyassumingthespecimenhalvesarerigidandrotateaboutahingepoint.大部分實驗室的CTOD測定是用三點彎曲加載的單邊裂紋試件進行的。測量裂紋嘴位移，假定試件的一半是剛性的，它繞某鉸點轉(zhuǎn)動，由此推斷CTOD。37Thehingemodelisinaccuratewhendisplacementsareprimarilyelastic.Consequently,standardmethodsforCTODtestingadoptamodifiedhingemodel,inwhichdisplacementsareseparatedintoelasticandplasticcomponents;thehingeassumptionisappliedonlytoplasticcomponents.若位移以彈性為主，則鉸鏈模型是不正確的。故CTOD試驗標準采用修正的鉸鏈模型，這一方法將位移分成為彈性分量和塑性分量；塑性鉸假設僅適用于塑性分量。38因此，裂紋尖端張開位移可寫為：

(7-15)此式給出了與Vp的關(guān)系。)()()(21haaWrVaWrEKpyspe++--+=+=sbddd式中，K1按第五章計算，它是載荷P與裂紋長度a

等的函數(shù)；在國家標準GB2358-80中建議按平面應變情況取為(1-2)/2。延性斷裂的臨界情況下，CTOD值為可描述材料延性斷裂抗力的指標c，要確定c，須確定Vpc。39確定Vpc的方法：

GB2358-1994由斷口測量確定裂紋尺寸aPcVP0CVcVpc確定發(fā)生失穩(wěn)斷裂的臨界點C(PC，VC)聲發(fā)射等監(jiān)測技術(shù)加載，記錄P-V曲線過臨界點C作一與P-V曲線起始直線段斜率相同的直線直線與橫坐標的交點給出Vpc40PcVP0CVcTheshapeoftheload-displacementcurveissimilartostress-straincurve:itisinitiallylinearbutdeviatesfromlinearitywithplasticdeformation.Vpc載荷-位移曲線的形狀類似于應力-應變曲線:開始是線性的,然后隨著塑性變形而偏離線性.Atagivenpointonthecurve,thedisplacementisseparatedintoelasticandplasticcomponentsbyconstructingalineparalleltotheelasticloadingline.Thebluelinerepresentsthepathofunloadingforthisspecimen,assumingthecrackdoesnotgrowduringthetest.在曲線上某點，劃一條平行于彈性加載線的直線，位移被分為彈性分量和塑性分量。假定裂紋在試驗中未發(fā)生擴展，則蘭線表示的是試件的卸載路徑。41例7.3已知某鋼材E=210GPa,=0.3,ys=450MPa。三點彎曲試樣B=25mm，W=50mm；刀口厚度h=2mm，預制裂紋長度a=26mm。1)P=50KN時測得Vp=0.33mm，求此時的CTOD。2)若在P=60KN，Vpc=0.56mm時裂紋開始失穩(wěn)擴展，求材料的臨界CTOD值C。解：1)三點彎曲試樣的K由(5-8)式給出為：])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[2343221WaWaWaWaaBWPLK+-+-=p標準三點彎曲試樣，L=4W；本題a/W=26/50=0.52；代入上式后可計算K1。42

])(57.14)(18.14)(20.8)(735.1090.1[2343221WaWaWaWaaBWPLK+-+-=p])52.0(57.14)52.0(18.14)52.0(20.8)52.0(735.1090.1[432+-+-=1.4765用MN-m-MPa單位系，有：1KmMPa3.1014765.1026.014.305.0025.0105063==-裂紋尖端張開位移的彈性項e由(7-12)式給出為：=0.0000494m=0.049mm322221102104502)3.01(3.1012)1(-=-=EKysesnd43塑性部分p由（7-14）式給出為：

)()()(haaWrVaWrpp++--=d)226()2650(45.033.0)2650(45.0++--==0.092mm2)失穩(wěn)臨界狀態(tài)時的應力強度因子為：K4765.1026.014.305.0025.01060631mMPa5.121==-故CTOD為：=0.049+0.092=0.141mmpeddd+=44故材料的臨界CTOD值為：=0.071+0.156=0.227mmpceccddd+=塑性項pc為：=0.156mm)()()(haaWrVaWrpcpc++--=d)226()2650(45.056.0)2650(45.0++--=臨界裂尖張開位移之彈性項ec為：=0.000071m=0.071mm322221102104502)3.01(5.1212)1(-=-=EKysecsnd457.3.2CTOD與彈塑性斷裂控制設計與控制低應力脆斷的K1c一樣，臨界CTOD值(c)可作為控制彈塑性斷裂是否發(fā)生的材料參數(shù)。以CTOD為控制參量的彈塑性斷裂判據(jù)寫為：(7-16)cdd￡上述判據(jù)給出了斷裂應力、裂紋尺寸、斷裂抗力間的關(guān)系，已知其中二者，即可估計另一個參數(shù)的可用范圍，即進行初步的彈塑性斷裂控制設計。作用d(s,a)抗力(材料