第九章 應力和應變狀態(tài)分析

第九章應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析教學內(nèi)容：平面應力狀態(tài)分析的解析法、圖解法，空間應力狀態(tài)，廣義胡克定律。教學要求：1、了解廣義胡克定律；2、理解空間應力狀態(tài)；3、掌握平面應力狀態(tài)分析的解析法；平面應力狀態(tài)分析的圖解法。重點：平面應力狀態(tài)分析的解析法、圖解法。難點：平面應力狀態(tài)分析的圖解法的應用。§9-1應力狀態(tài)的概念§9-2平面應力狀態(tài)分析的解析法§9-3平面應力狀態(tài)分析的圖解法§9-4梁的主應力及主應力跡線§9-5空間應力狀態(tài)簡介§9-6廣義胡克定律第九章應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析（1）四種內(nèi)力素（2）二種應力N、T、M、Vσ、τ（拉壓）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（剪切）一、回顧§9-1應力狀態(tài)的概念二、問題提出：低碳鋼鑄鐵塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？脆性材料拉伸時為什么橫斷？低碳鋼鑄鐵脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？塑性材料扭轉(zhuǎn)時為什么橫斷？不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力；為了對桿件內(nèi)某一點的應力情況有一比較全面的了解,不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力。結(jié)論：過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力哪一個截面上？

哪一點？指明(1)找危險點。研究點的應力狀態(tài)的目的(2)解釋破壞現(xiàn)象。(3)為強度理論打基礎(chǔ)三、應力單元應力表示——單元體：B、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzy1、dx、dy、dz（微小的正六面體）2、單元體某斜截面上的應力就代表了構(gòu)件內(nèi)對應點同方位截面上的應力。PABCD3、由于單元體的邊長都是無窮小量,所以單元體各個平面上的應力可以認為是均勻分布的。4、單元體的任意一對平行平面上的應力也可以認為是相等的。B、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzyPABCD§9-2平面應力狀態(tài)分析的解析法一、平面應力狀態(tài)僅在微體四個側(cè)面上作用有應力，且其作用線均平行于微體不受力表面的應力狀態(tài)。特殊平面應力狀態(tài)：單向應力狀態(tài)、純剪切應力狀態(tài)xzy已知單元體各面上的應力分量、和，可以確定任一斜截面上的未知應力分量，從而確定該點處的主應力和主平面。σ、τ正負號規(guī)定：σ——拉為正，壓為負；τ——以對微單元體內(nèi)任意一點取矩為順時針者為正，反之為負；xx

y規(guī)定：與截面外法線同向為正；

繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；

逆時針為正。二、任意斜截面上應力一般公式y(tǒng)yxxxyOxx

ynx

yy如圖，斜截面外法線n與坐標軸x的夾角為a，求斜截面上的應力sa和ta。利用截面法，選三角形微體ebf為研究對象，如圖沿斜截面法向與切向列平衡方程，有：ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由平衡方程，得：將以下關(guān)系式：代入（a）、（b），得ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa三、主應力與主平面由(9-1)知,斜截面上的正應力sa是a的函數(shù)，sa的極值稱為主應力，主應力所在的平面稱為主平面。代入（9-1）第二式得：求解以上兩式均可得：即剪應力為零的平面為主平面a0和a0+90°均可滿足上式，即有互相垂直的兩個主平面將上兩式代入（9-1）式得主應力：主平面——切應力為零的截面由于z面上剪應力為零,故z面也是主平面。通過結(jié)構(gòu)內(nèi)一點總可找到三個相互垂直的截面皆為主平面。對應的有三個主應力，相應的用、、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即設(shè)α=αs時上式成立主平面與剪應力極值所在面相差45o角四、剪應力極值及其所在平面tz例1畫出下列圖中的B、C點的應力單元體。

PMxyzBCsxsxBtxtytx解：C點應力狀態(tài)如圖b所示，其拉應力和切應力為：(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xMeFMeCF例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點=-30°截面上的應力，并求C點的主應力和主平面。

由公式（9-1）得圖示斜截面上應力分量為：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點=-30°截面上的應力，并求C點的主應力和主平面。C點處的主應力：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點=-30°截面上的應力，并求C點的主應力和主平面。Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°確定主平面：例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點=-30°截面上的應力，并求C點的主應力和主平面?！?-3平面應力狀態(tài)分析的圖解法一、基本原理（a）（b）兩式相加得：（9-9）而圓的一般方程為可見上式是以與為變量的圓的方程。若以為橫坐標，為縱坐標，則圓心坐為，半徑為。這個圓稱為應力圓，又稱莫爾圓。二、應力圓的作法：步驟如下：（1）取坐標系，以軸為橫軸，軸為縱軸。（2）按適當?shù)谋壤?，在軸上從原點O分別量取和；從S點沿軸方向量取，從點沿軸方向量取。（3）連接T、點，交軸于C點，以C點為圓心，以為半徑作圓。（4）過T點作直線平行于軸，交圓周于P點，稱P點為極點；過P點引與軸平行并與軸正向一致的基線P——X。從應力圓上可以看出，，，。

。圓心坐標（，0），半徑為，確為上式所定義的圓。應力圓上T點坐標（，），表示單元體X面上的應力，T點對應著單元體的X面；點坐標（，）表示Y面上的應力，點對應著Y面。三、用應力圓求面上的應力與從應力圓上的點P作與基線成角的射線，交圓周于E點（上圖），E點的坐標（、）表示面上的正應力與剪應力。證明如下：可見，應力圓上的點與單元體上的面具有點面對應關(guān)系，即由極點引出的角度為的射線與圓的交戰(zhàn)，對應著單元體上的面；該交點的橫坐標與縱坐標分別等于面上的正應力與剪應力。四、用應力圓求主應力、主平面及剪應力極值應力圓與軸交于A點和點（上圖），這兩點的縱坐標為零，即剪應力為零。由此可見，A、兩點與主平面相對應；這兩點的橫坐標都代表主應力，即，，而主平面的方位角由圖（b）可知式中的負號表示為負角（順時針）。于是，圖中的與角為主平面的方位角。應力圓上B點的縱坐標最大，即與上兩式相一致。[例9-2]用應力圓求下圖所示的主應力與主平面。解在坐標紙上按應力圓作圖步驟作出圖（b）所示應力圓。量得，；；可見用應力圓求得的主應力精度是足夠的。將求得的主平面與主應力示于圖（c）。[例9-3]用解析法和圖解法求下圖（a）所示單元體的主應力與主平面。解：由式得

，即，。由式（9-4），得，。§9-3平面應力狀態(tài)分析的圖解法對上述方程消去參數(shù)2，得：xyOxx

ynyxyxtn一、基本原理在以s為橫坐標、t為縱坐標軸的平面內(nèi)，上式的軌跡為圓----應力圓(莫爾圓)圓心C坐標為：半徑為：x建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）1、應力圓的作法在坐標系內(nèi)畫出點T(x，x)和T

’(y，y)

TT

’與軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以CT為半徑畫圓——應力圓；xxyxyOnaO

CT(

x,

x)T

’(

y,y)2anD(

a,

a)二、應力圓的作法S2、單元體與應力圓的對應關(guān)系1)、面上的應力(，)應力圓上一點(，)2）、兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。xxyyxyOnaO

aaCT(

x,

x)T

’(

y,y)x2anD(

a,

a)stC三、利用應力圓求應力極值大小:（1）主應力:（2）最大剪應力:Otxsysxsytysxsxtxsysysxyxty=-tx2aEn四、極坐標中點面對應關(guān)系αPx(sα,tα)sαtαα0s1s3點面對應法線極徑對應總之：（2）單元體的一個面與應力圓上一個點對應（3）單元體上面與面的關(guān)系轉(zhuǎn)化成應力圓上點與點的關(guān)系（1）一個點的應力狀態(tài)可以用一個應力圓來表示，反之亦然

轉(zhuǎn)向?qū)狢SS’stO

T(sx,tx)xT’(sy,ty)yA(s1,0)A’(s3,0)B’(tmin)(tmax)BsOt402080yx8020ty單位:MPa例1圖解法求應力極值圓心坐標:半徑：主應力：10C解:（1）由單元體可知（2）畫應力圓：建立sa-ta坐標系（3）求應力極值：最大剪應力T(80,40)T’(20,-40)P圖解法建立s-t坐標，選定比例尺，做應力圓確定出與m-m截面對應的D點，按確定的比例尺量得：例2已知應力狀態(tài)如圖所示,試計算截面m-m上的正應力sm與切應力tm例3：梁mm截面上C點的應力單元如圖，用圖解法求主應力和剪應力極值、450斜截面應力。解：（1）定比例（2）作應力圓（3）量取主應力x10大小:方向:（4）量取剪應力極值大小:方向:MPaxyM（5）量取斜截面應力q例3：試確定圖示梁指定截面上各點主應力大小及主平面位置。MV12345q§9-4梁的主應力及其主應力跡線s151s3tsA’T‘TC2AOPxstAA‘TT’C1OPxsAOtC4A’TT‘PxstA’C5AOTT‘xP4sT’C3TOA’AxPt12345qs13s3–45°2s1s3s1s3a04二、主應力跡線1、定義：主應力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。受拉鋼筋的布置大致與主應力跡線一致，鋼筋可制成折線。2、主應力跡線的應用實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。§9-5空間應力狀態(tài)簡介下圖所示單元體的應力狀態(tài)稱為一般的空間應力狀態(tài)。圖中x平面有：圖中y平面有：圖中z平面有：在剪應力的下標中，第一個表示所在平面，第二個表示應力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz§9-5空間應力狀態(tài)簡介可以證明，對上述應力狀態(tài)一定可找到一個單元體，其三對相互垂直的面都是主平面，其上應力分別為：空間應力狀態(tài)共有9個分量，然而，根據(jù)剪應力互等定理可知，獨立的分量只有6個，即：空間應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零；平面應力狀態(tài)：兩個主應力不等于零；單向應力狀態(tài)：只有一個主應力不等于零。該單元體稱為主單元體。主單元體：六個平面都是主平面若三個主應力已知，求任意斜截面上的應力:一、三向應力圓空間應力狀態(tài)：

這樣，單元體上與主應力之一平行的各個斜截面上的正應力和剪應力，可由三個應力圓圓周上各點的坐標來表示。至于與三個主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學中已證明，其應力σn和τn可由圖中陰影面內(nèi)某點的坐標來表示。在三向主應力狀態(tài)情況下：τmax作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示二、三向應力狀態(tài)的最大應力例求圖示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力。（應力單位為MPa）。解：前提：1、材料的使用在彈性（比例）極限內(nèi)2、小變形要點：1、線應變由正應力引起2、剪應變由剪應力引起§9-6廣義胡克定律一、單拉下的應力--應變關(guān)系二、純剪切的應力--應變關(guān)系xyzsxxyzx三、復雜狀態(tài)下的應力---應變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx對平面應力狀態(tài)當單元體三個平面皆為主平面時:

分別為x,y,z方向的主應變，與主應力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應變等于零。例

邊長為0.1m的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比u＝0.34。當銅塊受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的三個主應力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應力為由題意：按主應力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應力為：例

邊長為0.1m的銅方塊，無間隙地放入變形可略去不計地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比m＝0.34。當銅塊受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的三個主應力的大小。低碳鋼鑄鐵探討1:請解釋低碳鋼、鑄鐵材料拉伸時不同的破壞現(xiàn)象。sxsxsocA(s1,0)B(0,tmax)x45oy(0,tmin)B’45o45o45o(P)x鑄鐵抗拉能力較低沿橫截面拉斷塑性材料抗