第九章 應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)分析

第九章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析教學(xué)內(nèi)容：平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法、圖解法，空間應(yīng)力狀態(tài)，廣義胡克定律。教學(xué)要求：1、了解廣義胡克定律；2、理解空間應(yīng)力狀態(tài)；3、掌握平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法；平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法。重點(diǎn)：平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法、圖解法。難點(diǎn)：平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法的應(yīng)用?！?-1應(yīng)力狀態(tài)的概念§9-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法§9-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法§9-4梁的主應(yīng)力及主應(yīng)力跡線§9-5空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介§9-6廣義胡克定律第九章應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析（1）四種內(nèi)力素（2）二種應(yīng)力N、T、M、Vσ、τ（拉壓）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（剪切）一、回顧§9-1應(yīng)力狀態(tài)的概念二、問(wèn)題提出：低碳鋼鑄鐵塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？脆性材料拉伸時(shí)為什么橫斷？低碳鋼鑄鐵脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么沿45o螺旋面斷開(kāi)？塑性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)為什么橫斷？不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；為了對(duì)桿件內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力情況有一比較全面的了解,不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力哪一個(gè)截面上？

哪一點(diǎn)？指明(1)找危險(xiǎn)點(diǎn)。研究點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的目的(2)解釋破壞現(xiàn)象。(3)為強(qiáng)度理論打基礎(chǔ)三、應(yīng)力單元應(yīng)力表示——單元體：B、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzy1、dx、dy、dz（微小的正六面體）2、單元體某斜截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)同方位截面上的應(yīng)力。PABCD3、由于單元體的邊長(zhǎng)都是無(wú)窮小量,所以單元體各個(gè)平面上的應(yīng)力可以認(rèn)為是均勻分布的。4、單元體的任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力也可以認(rèn)為是相等的。B、C——單向受力，τ＝0A——純剪切，σ＝0D——既有σ，又有τxzyPABCD§9-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法一、平面應(yīng)力狀態(tài)僅在微體四個(gè)側(cè)面上作用有應(yīng)力，且其作用線均平行于微體不受力表面的應(yīng)力狀態(tài)。特殊平面應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)、純剪切應(yīng)力狀態(tài)xzy已知單元體各面上的應(yīng)力分量、和，可以確定任一斜截面上的未知應(yīng)力分量，從而確定該點(diǎn)處的主應(yīng)力和主平面。σ、τ正負(fù)號(hào)規(guī)定：σ——拉為正，壓為負(fù)；τ——以對(duì)微單元體內(nèi)任意一點(diǎn)取矩為順時(shí)針者為正，反之為負(fù)；xx

y規(guī)定：與截面外法線同向?yàn)檎?/p>

繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

逆時(shí)針為正。二、任意斜截面上應(yīng)力一般公式y(tǒng)yxxxyOxx

ynx

yy如圖，斜截面外法線n與坐標(biāo)軸x的夾角為a，求斜截面上的應(yīng)力sa和ta。利用截面法，選三角形微體ebf為研究對(duì)象，如圖沿斜截面法向與切向列平衡方程，有：ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由平衡方程，得：將以下關(guān)系式：代入（a）、（b），得ntsydAsinabftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa三、主應(yīng)力與主平面由(9-1)知,斜截面上的正應(yīng)力sa是a的函數(shù)，sa的極值稱為主應(yīng)力，主應(yīng)力所在的平面稱為主平面。代入（9-1）第二式得：求解以上兩式均可得：即剪應(yīng)力為零的平面為主平面a0和a0+90°均可滿足上式，即有互相垂直的兩個(gè)主平面將上兩式代入（9-1）式得主應(yīng)力：主平面——切應(yīng)力為零的截面由于z面上剪應(yīng)力為零,故z面也是主平面。通過(guò)結(jié)構(gòu)內(nèi)一點(diǎn)總可找到三個(gè)相互垂直的截面皆為主平面。對(duì)應(yīng)的有三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的用、、來(lái)表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即設(shè)α=αs時(shí)上式成立主平面與剪應(yīng)力極值所在面相差45o角四、剪應(yīng)力極值及其所在平面tz例1畫(huà)出下列圖中的B、C點(diǎn)的應(yīng)力單元體。

PMxyzBCsxsxBtxtytx解：C點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，其拉應(yīng)力和切應(yīng)力為：(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xMeFMeCF例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點(diǎn)=-30°截面上的應(yīng)力，并求C點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面。

由公式（9-1）得圖示斜截面上應(yīng)力分量為：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點(diǎn)=-30°截面上的應(yīng)力，并求C點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面。C點(diǎn)處的主應(yīng)力：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點(diǎn)=-30°截面上的應(yīng)力，并求C點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面。Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°確定主平面：例2：圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求圓周上C點(diǎn)=-30°截面上的應(yīng)力，并求C點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面?！?-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法一、基本原理（a）（b）兩式相加得：（9-9）而圓的一般方程為可見(jiàn)上式是以與為變量的圓的方程。若以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，則圓心坐為，半徑為。這個(gè)圓稱為應(yīng)力圓，又稱莫爾圓。二、應(yīng)力圓的作法：步驟如下：（1）取坐標(biāo)系，以軸為橫軸，軸為縱軸。（2）按適當(dāng)?shù)谋壤?，在軸上從原點(diǎn)O分別量取和；從S點(diǎn)沿軸方向量取，從點(diǎn)沿軸方向量取。（3）連接T、點(diǎn)，交軸于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓。（4）過(guò)T點(diǎn)作直線平行于軸，交圓周于P點(diǎn)，稱P點(diǎn)為極點(diǎn)；過(guò)P點(diǎn)引與軸平行并與軸正向一致的基線P——X。從應(yīng)力圓上可以看出，，，。

。圓心坐標(biāo)（，0），半徑為，確為上式所定義的圓。應(yīng)力圓上T點(diǎn)坐標(biāo)（，），表示單元體X面上的應(yīng)力，T點(diǎn)對(duì)應(yīng)著單元體的X面；點(diǎn)坐標(biāo)（，）表示Y面上的應(yīng)力，點(diǎn)對(duì)應(yīng)著Y面。三、用應(yīng)力圓求面上的應(yīng)力與從應(yīng)力圓上的點(diǎn)P作與基線成角的射線，交圓周于E點(diǎn)（上圖），E點(diǎn)的坐標(biāo)（、）表示面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。證明如下：可見(jiàn)，應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體上的面具有點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系，即由極點(diǎn)引出的角度為的射線與圓的交戰(zhàn)，對(duì)應(yīng)著單元體上的面；該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別等于面上的正應(yīng)力與剪應(yīng)力。四、用應(yīng)力圓求主應(yīng)力、主平面及剪應(yīng)力極值應(yīng)力圓與軸交于A點(diǎn)和點(diǎn)（上圖），這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零，即剪應(yīng)力為零。由此可見(jiàn)，A、兩點(diǎn)與主平面相對(duì)應(yīng)；這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都代表主應(yīng)力，即，，而主平面的方位角由圖（b）可知式中的負(fù)號(hào)表示為負(fù)角（順時(shí)針）。于是，圖中的與角為主平面的方位角。應(yīng)力圓上B點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，即與上兩式相一致。[例9-2]用應(yīng)力圓求下圖所示的主應(yīng)力與主平面。解在坐標(biāo)紙上按應(yīng)力圓作圖步驟作出圖（b）所示應(yīng)力圓。量得，；；可見(jiàn)用應(yīng)力圓求得的主應(yīng)力精度是足夠的。將求得的主平面與主應(yīng)力示于圖（c）。[例9-3]用解析法和圖解法求下圖（a）所示單元體的主應(yīng)力與主平面。解：由式得

，即，。由式（9-4），得，?！?-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法對(duì)上述方程消去參數(shù)2，得：xyOxx

ynyxyxtn一、基本原理在以s為橫坐標(biāo)、t為縱坐標(biāo)軸的平面內(nèi)，上式的軌跡為圓----應(yīng)力圓(莫爾圓)圓心C坐標(biāo)為：半徑為：x建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）1、應(yīng)力圓的作法在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)T(x，x)和T

’(y，y)

TT

’與軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以CT為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；xxyxyOnaO

CT(

x,

x)T

’(

y,y)2anD(

a,

a)二、應(yīng)力圓的作法S2、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系1)、面上的應(yīng)力(，)應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)2）、兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。xxyyxyOnaO

aaCT(

x,

x)T

’(

y,y)x2anD(

a,

a)stC三、利用應(yīng)力圓求應(yīng)力極值大小:（1）主應(yīng)力:（2）最大剪應(yīng)力:Otxsysxsytysxsxtxsysysxyxty=-tx2aEn四、極坐標(biāo)中點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系αPx(sα,tα)sαtαα0s1s3點(diǎn)面對(duì)應(yīng)法線極徑對(duì)應(yīng)總之：（2）單元體的一個(gè)面與應(yīng)力圓上一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)（3）單元體上面與面的關(guān)系轉(zhuǎn)化成應(yīng)力圓上點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系（1）一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以用一個(gè)應(yīng)力圓來(lái)表示，反之亦然

轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)CSS’stO

T(sx,tx)xT’(sy,ty)yA(s1,0)A’(s3,0)B’(tmin)(tmax)BsOt402080yx8020ty單位:MPa例1圖解法求應(yīng)力極值圓心坐標(biāo):半徑：主應(yīng)力：10C解:（1）由單元體可知（2）畫(huà)應(yīng)力圓：建立sa-ta坐標(biāo)系（3）求應(yīng)力極值：最大剪應(yīng)力T(80,40)T’(20,-40)P圖解法建立s-t坐標(biāo)，選定比例尺，做應(yīng)力圓確定出與m-m截面對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)，按確定的比例尺量得：例2已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示,試計(jì)算截面m-m上的正應(yīng)力sm與切應(yīng)力tm例3：梁mm截面上C點(diǎn)的應(yīng)力單元如圖，用圖解法求主應(yīng)力和剪應(yīng)力極值、450斜截面應(yīng)力。解：（1）定比例（2）作應(yīng)力圓（3）量取主應(yīng)力x10大小:方向:（4）量取剪應(yīng)力極值大小:方向:MPaxyM（5）量取斜截面應(yīng)力q例3：試確定圖示梁指定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。MV12345q§9-4梁的主應(yīng)力及其主應(yīng)力跡線s151s3tsA’T‘TC2AOPxstAA‘TT’C1OPxsAOtC4A’TT‘PxstA’C5AOTT‘xP4sT’C3TOA’AxPt12345qs13s3–45°2s1s3s1s3a04二、主應(yīng)力跡線1、定義：主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。受拉鋼筋的布置大致與主應(yīng)力跡線一致，鋼筋可制成折線。2、主應(yīng)力跡線的應(yīng)用實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；虛線表示壓主應(yīng)力跡線?！?-5空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介下圖所示單元體的應(yīng)力狀態(tài)稱為一般的空間應(yīng)力狀態(tài)。圖中x平面有：圖中y平面有：圖中z平面有：在剪應(yīng)力的下標(biāo)中，第一個(gè)表示所在平面，第二個(gè)表示應(yīng)力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz§9-5空間應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)介可以證明，對(duì)上述應(yīng)力狀態(tài)一定可找到一個(gè)單元體，其三對(duì)相互垂直的面都是主平面，其上應(yīng)力分別為：空間應(yīng)力狀態(tài)共有9個(gè)分量，然而，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理可知，獨(dú)立的分量只有6個(gè)，即：空間應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不等于零；平面應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力不等于零；單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零。該單元體稱為主單元體。主單元體：六個(gè)平面都是主平面若三個(gè)主應(yīng)力已知，求任意斜截面上的應(yīng)力:一、三向應(yīng)力圓空間應(yīng)力狀態(tài)：

這樣，單元體上與主應(yīng)力之一平行的各個(gè)斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，可由三個(gè)應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。至于與三個(gè)主方向都不平行的任意斜截面，彈性力學(xué)中已證明，其應(yīng)力σn和τn可由圖中陰影面內(nèi)某點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示。在三向主應(yīng)力狀態(tài)情況下：τmax作用在與σ2平行且與σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示二、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力例求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（應(yīng)力單位為MPa）。解：前提：1、材料的使用在彈性（比例）極限內(nèi)2、小變形要點(diǎn)：1、線應(yīng)變由正應(yīng)力引起2、剪應(yīng)變由剪應(yīng)力引起§9-6廣義胡克定律一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪切的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyzx三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)單元體三個(gè)平面皆為主平面時(shí):

分別為x,y,z方向的主應(yīng)變，與主應(yīng)力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零。例

邊長(zhǎng)為0.1m的銅方塊，無(wú)間隙地放入變形可略去不計(jì)地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比u＝0.34。當(dāng)銅塊受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的三個(gè)主應(yīng)力的大小。解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為由題意：按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列，得該銅塊的主應(yīng)力為：例

邊長(zhǎng)為0.1m的銅方塊，無(wú)間隙地放入變形可略去不計(jì)地剛性凹槽中。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比m＝0.34。當(dāng)銅塊受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的三個(gè)主應(yīng)力的大小。低碳鋼鑄鐵探討1:請(qǐng)解釋低碳鋼、鑄鐵材料拉伸時(shí)不同的破壞現(xiàn)象。sxsxsocA(s1,0)B(0,tmax)x45oy(0,tmin)B’45o45o45o(P)x鑄鐵抗拉能力較低沿橫截面拉斷塑性材料抗