概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)第八章

第八章假設(shè)檢驗(yàn)§8.1假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確。參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)讓我們先看一個(gè)例子：參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)為355毫升。生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn)。怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查：如每隔1小時(shí)，抽查5罐，得到一個(gè)容量為5的子樣（x1，…，x5）。每隔一定時(shí)間，抽查若干罐。如何根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常？在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在355毫升上下波動。這些因素中沒有哪一個(gè)占有特殊重要的地位。因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的。要檢驗(yàn)的假設(shè)：H0：（=355）對立假設(shè)：H1：稱

H0為原假設(shè)（零假設(shè)）；稱H1為備擇假設(shè)（對立假設(shè)）。在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè)。如何判斷原假設(shè)H0

是否成立？對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì)：

差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來確定？必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常。這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”

帶概率性質(zhì)的反證法小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。方法：原則：例這里有兩個(gè)盒子，各裝有100個(gè)球。另一盒中的白球和紅球數(shù)99個(gè)白球一個(gè)紅球…99個(gè)一盒中的白球和紅球數(shù)99個(gè)紅球一個(gè)白球…99個(gè)現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)取出一個(gè)盒子，問這個(gè)盒子里是白球99個(gè)還是紅球99個(gè)？假設(shè)：這個(gè)盒子里有99個(gè)白球。從中隨機(jī)摸出一個(gè)：p=1/100

是小概率事件小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。我們有很大的把握說：原假設(shè)：“這個(gè)盒子里有99個(gè)白球?！?/p>

不成立一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對成立的，如果事實(shí)與之矛盾，則完全絕對地否定原假設(shè)。概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生，我們就以很大的把握否定原假設(shè)?！靶「怕省痹摱嘈?？在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個(gè)小概率為顯著性水平，用表示。的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。常取現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：H0：（=355）H1：對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值，使0也就是說,“”是一個(gè)小概率事件。W：為拒絕域如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0。這里所依據(jù)的邏輯是：如果H0

是對的，那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個(gè)小概率事件。如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它。否則我們就不能否定H0

（只好接受它）。不否定H0并不是肯定H0

一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定H0的程度。所以，假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”。如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實(shí)際情況很可能與之有顯著差異。基于這個(gè)理由，人們常把時(shí)拒絕H0稱為是顯著的，而把在時(shí)拒絕H0稱為是高度顯著的。假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：

1.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；

2.取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布；3.對給定的顯著性水平α，查表確定臨界值，從而得否定域

；

4.將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值,并以此作出結(jié)論。

例1

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?統(tǒng)計(jì)解：已知X~未知。

得拒絕域：W:|t|>4.0322對給定的顯著性水平=0.01，查表計(jì)算

<4.0322沒有落入拒絕域結(jié)論：不能拒絕H0，這批產(chǎn)品合格。假設(shè)檢驗(yàn)會不會犯錯(cuò)誤呢？小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。不是一定不發(fā)生我們使用的原則是：兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入拒絕域，從而作出拒絕H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯(cuò)誤。第二類錯(cuò)誤如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值未落入拒絕域，從而作出接受H0的結(jié)論，那就犯了“以假為真”的錯(cuò)誤。請看下表P{拒絕H0|H0為真}=

,

H0為真實(shí)際情況決定

拒絕H0接受H0

H0不真第一類錯(cuò)誤正確正確第二類錯(cuò)誤P{接受H0|H0不真}=.受控未受控

兩類錯(cuò)誤是互相關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時(shí)，一類錯(cuò)誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加。

要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤的概率，或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量。例2

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X的均值=21公斤.改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤。假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力是否有提高?解:提出假設(shè):右邊檢驗(yàn)拒絕域?yàn)椋捍?1.2,n=30，并由樣本值計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量Z的實(shí)測值：>2.33故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為：新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力有顯著提高。=2.33計(jì)算單邊檢驗(yàn)：{雙邊檢驗(yàn)：右邊檢驗(yàn)：左邊檢驗(yàn)：§8.2正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（一）單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)雙邊檢驗(yàn)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域?yàn)椋?/p>

右邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋鹤筮厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋?/p>

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋河疫厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋鹤筮厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋豪?

某種元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布N(,

2),,2均未知。現(xiàn)測得16只元件的壽命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170

問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）？統(tǒng)計(jì)解：按題意需檢驗(yàn)：H0:≤0=225H1:>225檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域?yàn)楝F(xiàn)在n=16取

=0.05=1.7531<1.7531計(jì)算沒有落在拒絕域中，故接受H0，即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。（二）兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊檢驗(yàn)：右邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋鹤筮厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?/p>

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊檢驗(yàn)：右邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋鹤筮厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋豪?

在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一只平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10爐，其得率分別為

（1）標(biāo)準(zhǔn)方法

78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

（2）新方法

79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1

設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體N(1,2)和N(2,2)

，1,2,2均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（取=0.05.）返回計(jì)算解：需要檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法下的樣本均值和樣本方差：拒絕域?yàn)椋河謽颖居^察值t=-4.295<-1.7341，落入拒絕域，所以拒絕H0，即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。§8.3正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)（一）單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋河疫厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋鹤筮厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋豪?

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命（以小時(shí)計(jì)）長期以來服從方差2=5000的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變?，F(xiàn)隨機(jī)取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2=9200。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著變化（取=0.02）？解：本題要求在水平=0.02下檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)椋簷z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：=46=44.314=11.524拒絕H0，認(rèn)為這批電池壽命的波動性較以往的有顯著的變化。計(jì)算（二）兩個(gè)正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊檢驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋河疫厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋河疫厵z驗(yàn)：拒絕域?yàn)椋航猓?/p>

此處n1=n2=10，=0.01，例6

試對例4中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)：

H0:12=22,H1:12

22（取=0.01）=6.54檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域?yàn)椋豪?計(jì)算現(xiàn)在s12=3.325

s22=2.225

故接受H0

，認(rèn)為兩總體方差相等。F=s12/s22=1.49，即有0.153<F

<6.54有人推測，矮個(gè)子的人比高個(gè)子的人長壽這個(gè)結(jié)論對嗎？我們來做一個(gè)檢驗(yàn)。GeorgeWashington1stPresident

Stature：6’2”（188cm）

Born:February22,1732Died:December14,1799(67)美國歷屆總統(tǒng)資料

JohnAdams

2ndPresidentStature：5’6”（168cm）Born:October30,1735Died:July4,1826(90)

美國歷屆總統(tǒng)資料ThomasJefferson3ndPresidentStature：6’2.5”（189cm）Born:April13,1743Died:July4,1826(64)美國歷屆總統(tǒng)資料JamesMadison4thPresident

Stature：5‘4“（163cm）Born:March16,1751Died:June28,1836（85）美國歷屆總統(tǒng)資料美國歷屆總統(tǒng)資料JamesMonroe

5thPresident

Stature：6‘（183cm）Born:April28th,1758Died:July4,1831（73）美國歷屆總統(tǒng)資料JohnQuincyAdams6thPresident

Stature：5‘7“（171cm）Born:July11,1767

Died:February23,1848（80）美國歷屆總統(tǒng)資料AndrewJackson

7thPresident

Stature：6‘1“（171cm）Born:March15,1767Died:June8,1845

（78）美國歷屆總統(tǒng)資料MartinVanBuren

8thPresident

Stature：5‘6“（168cm）Born:December5,1782Died:July24,186（79）美國歷屆總統(tǒng)資料

WilliamHenryHarrison

9thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:February9,1773Died:April4,1841（68）美國歷屆總統(tǒng)資料JohnTyler

10thPresident

Stature：6‘（183cm）Born:March29,1790Died:January18,1862

（71）美國歷屆總統(tǒng)資料JamesK.Polk

11thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:November2,1795Died:June15,1849（53）美國歷屆總統(tǒng)資料ZacharyTaylor12thPresident

Stature：5‘8“（173cm）Born:November24,1784Died:July9,1850（65）美國歷屆總統(tǒng)資料MillardFillmore13rdPresident

Stature：5‘9“（175cm）Born:January7,1800Died:March8,1874（74）美國歷屆總統(tǒng)資料

FranklinPierce

14thPresident

Stature：5‘10“（178cm）Born:November23,1804Died:October8,1869（64）美國歷屆總統(tǒng)資料UlyssesS.Grant18thPresident

Stature：5‘8.5“（174cm）Born:April27,1822Died:July23,1885

（63）美國歷屆總統(tǒng)資料RutherfordB.Hayes

19thPresident

Stature：5‘8.5“（174cm）Born:October4,1822Died:October4,1822（70）

美國歷屆總統(tǒng)資料BenjaminHarrison

23thPresident

Stature：5‘6“（168cm）Born:August20,1833Died:March13,1901（67）美國歷屆總統(tǒng)資料HarrySTruman

33rdPresident

Stature：5‘9“（175cm）Born:May8,1884Died:December26,1972（88）矮個(gè)子總統(tǒng)高個(gè)子總統(tǒng)總統(tǒng)壽命總統(tǒng)壽命總統(tǒng)壽命Madison85W.Harrison68Wilson67VanBuren79Polk53Hoover90B.Harrison67Taylor65Monroe73J.Adams90Grant63Tyler71J.Q.Adams80Hayes70Buchanan77Truman88Taft72Fillmore74Harding57Pierce64Jackson78A.Johnson66Washington67T.Roosevelt60Arthur56Coolidge60F.Roosevelt63Eisenhower78L.Johnson64Cleveland71Jefferson83SPSS§8.4分布擬合檢驗(yàn)可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個(gè)假設(shè)。例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，椐統(tǒng)計(jì)，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234

22314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)上面的數(shù)據(jù)能否證實(shí)X

服從Poisson分布的假設(shè)是正確的？返回又如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的。也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，…，6點(diǎn)的概率都應(yīng)是1/6。為檢驗(yàn)骰子是否均勻，把骰子實(shí)地投擲6000次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)。得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)910111010301050960940再如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取100個(gè)鐘作試驗(yàn)，撥準(zhǔn)后隔24小時(shí)以后進(jìn)行檢查，將每個(gè)鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進(jìn)的所謂

檢驗(yàn)法。這是一項(xiàng)很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。

K.皮爾遜

檢驗(yàn)法是在總體X的分布未知時(shí)，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。是一種非參數(shù)檢驗(yàn)。

我們先提出原假設(shè):

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè).這種檢驗(yàn)通常稱作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。分布擬合的檢驗(yàn)法的基本原理和步驟如下:1.

將總體X的取值范圍分成k個(gè)互不重迭的小區(qū)間,記作A1,A2,…,Ak

.2.

把落入第i個(gè)小區(qū)間Ai的樣本值的個(gè)數(shù)記作fi

，稱為實(shí)測頻數(shù)。所有實(shí)測頻數(shù)之和f1+f2+…+fk等于樣本容量n。3.

根據(jù)所假設(shè)的理論分布,可以算出總體X的值落入每個(gè)Ai的概率

pi

,于是

npi

就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù)。樣本與理論分布之間的差異的大小。

皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計(jì)量表示經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差異:皮爾遜證明了如下定理:若原假設(shè)中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定，那么當(dāng)

時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：漸近服從自由度為

k-1

的分布。如果F(x)中有r

個(gè)未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，那么當(dāng)時(shí)，統(tǒng)計(jì)量漸近服從自由度為

k-r-1

的分布。查分布表可得臨界值，使得根據(jù)這個(gè)定理，對給定的顯著性水平，得拒絕域:(不需估計(jì)參數(shù))(估計(jì)r個(gè)參數(shù))如果根據(jù)所給的樣本值X1,X2,…,Xn

算得統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認(rèn)為差異不顯著而接受原假設(shè)。

皮爾遜定理是在n無限增大時(shí)推導(dǎo)出來的，因而在使用時(shí)要注意n足夠大，以及npi不太小這兩個(gè)條件。

根據(jù)計(jì)算實(shí)踐，要求

n不小于50，以及npi

都不小于5。否則應(yīng)適當(dāng)合并區(qū)間，使npi滿足這個(gè)要求。例1：檢驗(yàn)骰子是否均勻我們先提出原假設(shè):

H0：總體X為均勻分布

點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)9101110103010509609403.610001/694062.510001/61050412.110001/6111021.610001/696050.910001/6103038.1010001/69101npipifiAi11.071拒絕H0骰子不均勻！例2：檢驗(yàn)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從Poisson分布。H0:

X服從參數(shù)為的Poisson分布的極大似然估計(jì)為：=0.69戰(zhàn)爭次數(shù)X01234發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)22314248154例2pi的估計(jì)是：i=0,1,2,3,4計(jì)算結(jié)果列表如下:X01234Σfi223142481540.580.310.180.010.02216.7149.551.612.02.160.1830.3760.25114.161.6232.43自由度為：4-1-1=2=5.991=2.43<5.991，認(rèn)為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)為0.69的Poisson分布。不能拒絕H0計(jì)算在此，我們以遺傳學(xué)上的一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計(jì)方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時(shí)，是起著積極的、主動的作用。奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長達(dá)八年之久的豌豆雜交試驗(yàn),并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,運(yùn)用他的數(shù)理知識,發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律。孟德爾子二代子一代…黃色純系…綠色純系根據(jù)他的理論，子二代中,黃、綠之比近似為3:1，他的一組觀察