武漢科技大學《機械工程控制基礎》第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性本章主要教學內容5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.4Bode穩(wěn)定判據5.3Nyquist穩(wěn)定判據5.3節(jié)為本章難點，5.2、5.4、5.5節(jié)為本章重點5.1

穩(wěn)定性的基本概念

本節(jié)教學內容5.1.1穩(wěn)定性的定義

5.1.2穩(wěn)定的充要條件

5.1.3穩(wěn)定的必要條件本節(jié)教學要求1.了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的物理概念3.掌握用穩(wěn)定的必要條件判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.熟悉系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學定義及充要條件5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

不穩(wěn)定的現(xiàn)象5.1.1穩(wěn)定性的定義5.1穩(wěn)定性的基本概念

穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的定義——

一個系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定的，是指控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復到原來的平衡狀態(tài)。5.1.1穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定不穩(wěn)定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，與輸入無關。以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.1.1穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的其他說法——大范圍漸近穩(wěn)定：不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復到原有的平衡狀態(tài)，否則就稱為小范圍(小偏差)穩(wěn)定。注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。說明：經典控制論中,臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。因為分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的；實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性；系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定性條件的分析方法——脈沖響應法：假設系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：則系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.1穩(wěn)定性的基本概念

脈沖響應法分析5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果pi和i均為負值,當t時,x0(t)0。穩(wěn)定性與零點無關.線性系統(tǒng)的脈沖響應線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，或閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。由已知條件知系統(tǒng)具有負實根或具有負實部的共軛復根，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件舉例——某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)特征方程和特征根為：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是

——系統(tǒng)特征方程各項系數(shù)具有相同的符號，且無零系數(shù)。5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.1穩(wěn)定性的基本概念

設系統(tǒng)特征根為s1、s2、…、sn-1、sn，則5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積系統(tǒng)特征方程的全部根具有負實部則特征方程的系數(shù)必然同號（不妨設為均大于零）。用待定系數(shù)法分析特征方程根與系數(shù)的關系例

某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。：被控對象水箱的傳遞函數(shù)：執(zhí)行電動機的傳遞函數(shù)K1：進水閥門的傳遞系數(shù)Kp

：杠桿比H0：希望水位H：實際水位5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程K=KpkmK1K0為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，但缺少s項，即對應的特征多項式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種系統(tǒng)屬于結構不穩(wěn)定系統(tǒng)，無論怎樣調整該系統(tǒng)的參數(shù)，如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須對系統(tǒng)進行校正。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.2

Routh

（勞斯）穩(wěn)定判據5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學內容5.2.1Routh行列式

5.2.2Routh判據

5.2.3Routh判據的特殊情況本節(jié)教學要求1.掌握利用Routh判據判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.了解特殊情況下Routh判據的運用牢斯(Routh

)判據無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，屬于穩(wěn)定性判斷中的一種代數(shù)方法。5.2.1Routh行列式列寫Routh行列式，是利用Routh判據進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要工作，其步驟如下:列寫系統(tǒng)特征方程由系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)排成Routh行列表的前兩行其中，第一行為sn、sn-2、sn-4的各項系數(shù)依次排成；第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項系數(shù)依次排成。計算Routh行列式的每一行都要用到該行前面兩行的數(shù)據。計算行列式的其余各行5.2.1Routh行列式例如6階特征方程

其牢斯行列式為

5.2.1Routh行列式如果符號相同，說明系統(tǒng)具有正實部的特征根的個數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，則符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有正實部的特征根的個數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

——

牢斯行列式的第一列元素不改變符號！Routh判據——

牢斯判據的實質是對Routh行列表中的“第一列”各數(shù)的符號進行判斷：5.2.2

Routh判據注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據可以簡述為——勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。

例1牢斯判據判定穩(wěn)定性符號改變二次,系統(tǒng)有兩個不穩(wěn)定的特征根.5.2.2

Routh判據5.2.2

Routh判據例2牢斯判據判定穩(wěn)定性系統(tǒng)特征方程牢斯判據002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s45.2.2

Routh判據例3牢斯判據判定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性已知系統(tǒng)特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統(tǒng)有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構造一個z平面，則直線s=-1右側的極點即為z平面右側的極點。勞斯行列表系統(tǒng)有兩個特征根位于平行于虛軸的直線s=-1的右側。5.2.2

Routh判據例3牢斯判據判定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性已知系統(tǒng)特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統(tǒng)有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構造一個z平面，則直線s=-1右側的極點即為z平面右側的極點。勞斯行列表系統(tǒng)有一個特征根位于（-1，j0）點。5.2.3Routh

判據的特殊情況特殊情況1：第一列出現(xiàn)0第一列出現(xiàn)0(各項系數(shù)均為正數(shù))解決方法：用任意小正數(shù)代之。（因第一列符號改變兩次，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。）特殊情況2：某一行元素均為0(各項系數(shù)均為正數(shù))解決方法：用全0行的上一行元素構成輔助方程,用對該方程求導后的方程系數(shù)替代全0行.求導得:例如：出現(xiàn)全0行5.2.3Routh

判據的特殊情況還可由輔助方程求出相應的極點

勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明——系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根共軛虛根對稱于虛軸的兩對共軛復根對稱于虛軸的一對實根5.2.3Routh

判據的特殊情況5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據【習題5.5】圖示系統(tǒng),確定K、a取何值時,系統(tǒng)維持以=2s-1的持續(xù)振蕩。＋－Xi(s)Xo(s)系統(tǒng)產生持續(xù)振蕩，說明系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，則勞斯行列式的第一列會出現(xiàn)0元素。5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據課后作業(yè)教材185~186頁：5.3，5.4

5.7(選做題)5.3

Nyquist穩(wěn)定判據5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學內容

5.3.1幅角原理

5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據

5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況本節(jié)教學要求1.了解Nyquist判據的依據——幅角原理2.掌握Nyquist判據的使用方法3.熟悉開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時奈氏軌跡的繪制判斷Nyquist穩(wěn)定性判據是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)來判斷系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)=0

的根是否全部具有負實部，是一種幾何判據，并且還能夠判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。奈氏判據的依據是幅角原理。開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)5.3.1幅角原理系統(tǒng)開環(huán)特征多項式與閉環(huán)特征多項式關系設新變量F(s)Db(s):閉環(huán)特征多項式Dk(s):開環(huán)特征多項式F(s)建立了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式、開環(huán)特征多項式和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間的關系.5.3.1幅角原理

幅角原理——設Ls為[s]平面上一條封閉曲線，F(xiàn)(s)在Ls上解析，Z、P分別為F(s)在Ls內零、極點個數(shù)。當s按順時針方向沿Ls變化一周時，向量F(s)在[F]平面所形成的曲線LF將包圍原點N次，且N=Z-P。Ls[s]joF(s)[F]ReImoN=-2N>0：F(s)繞[F]平面原點順時針轉N圈；

N<0：F(s)繞[F]平面原點逆時針轉N

圈。幅角原理基本思想利用F(s)沿封閉曲線Ls一圈的相位變化，確定F(s)繞[F]平面原點的圈數(shù)和方向,進而判斷其在Ls內的零、極點個數(shù)之差：

Nyquist判據基本思想為判斷F(s)在[s]右半平面有無零點，作封閉曲線Ls包圍整個[s]右半平面。(該曲線由整個虛軸和無窮大右半圓組成。)R=Ls[S]F(s)在

[s

]

右半平面零、極點個數(shù)之差，可由[F(s)]平面上的封閉軌跡繞該平面原點的圈數(shù)和方向來確定。[F]o由F(s)=1+G(s)H(s),

得G(s)H(s)=F(s)-1,即繞[F]

平面原點的封閉軌跡，等價于繞[GH]平面上(-1，j0)的封閉軌跡。[GH](-1,j0)根據G(s)H(s)繞[GH]平面(-1，j0)點的N及G(s)H(s)的極點數(shù)P，可判斷F(s)在[s]右半平面的零點數(shù):Z=N+P。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據

Gk(s)的形狀即:[GK]平面上的Nyquist軌跡為當由-∞到+∞變化時，GK(j)所形成的軌跡。記P為GK(s)在[s]右半平面的極點數(shù)，則當由-∞到+∞變化時，[GK]平面的軌跡GK(j)逆時針包圍點(-1,j0)P圈(N=-P)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

Nyquist

穩(wěn)定判據5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據注：由于Gk(-j)關于Gk(j)共軛，因此只需作出從0~+的Gk(j)即可。Nyquist判據可簡單地用下式表示：若則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)(P=0)的Nyquist判據系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定的條件下，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當

由-∞到+∞變化時，開環(huán)G(j)H(j)

軌跡不包圍[GH]（或[GK]）平面的(-1,j0)點。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據系統(tǒng)(a)因為開環(huán)Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，且P=0則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。系統(tǒng)(b)因為開環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點2圈，且P=0則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定的極點數(shù):Z=N=2.例1

圖(a)、(b)為P=0的系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖，判斷相應閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據=+=-=-=+[GH][GH]P=0P=0例2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應用Nyquist判據判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因為P=1，所以當N=-1時有Z=N+P=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定:當K>1時，Nyquist軌跡逆時針包圍（-1，j0）點一圈，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定（N=-1）；當0<K<1時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定（N=0）；當K=1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（Nyquist軌跡穿過(-1，j0)點對應F(s)穿過[F]平面的原點）。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據例3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)有一個不穩(wěn)定極點(P=1),而由-∞到+∞變化時，[GH]平面的軌跡GK(j)

逆時針包圍點(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。-KG(j)ImRe0n(-1,j0)5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據的Nyquist軌跡如圖，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。雖然開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)可以穩(wěn)定，但這種系統(tǒng)的動、靜態(tài)品質通常不好，應當盡量避免。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

問題的提出

當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)（原點處存在極點）或者在虛軸上存在極點時，由于GK(s)在

Ls上不再是解析函數(shù)，因此不可直接應用Nyquist判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解決這一問題的基本思路是：用半徑→0的半圓在虛軸上極點的右側繞過這些極點，即將這些極點劃到s左半平面，從而使得GK(s)在Ls上仍然是解析函數(shù)。原點處右半圓弧的數(shù)學方程r0時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[s]平面原點處極點所對應的Nyquist軌跡s=rej(r0)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)從00+：其Nyquist軌跡為[GH]上幅值為無窮大，弧度為-v/2的圓弧。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

rjO0+0-s從0/2：（[s]平面）（[Gk]平面）原點處有極點的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡：（1）一般情況=0+=0+5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

作出由0+→∞變化時的Nyquist曲線;從G(j0+)開始，以∞的半徑逆時針補畫v900的圓弧(輔助線)。

rjO0+其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上。（如果是非最小相位系統(tǒng)，且v=2，應如何作輔助線？）對于最小相位系統(tǒng)，應當以半徑為無窮大的圓弧順時針方向連接正實軸端和G(j)H(j)軌跡的起始端。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

原點處有極點的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡：（2）最小相位系統(tǒng)例1

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，和開環(huán)Nyquist圖，應用Nyquist判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由于開環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1，j0)兩圈，且P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定極點數(shù)Z=2。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

=+=-例2

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其開環(huán)Nyquist圖如下，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。曲線(2)為T4較大時，由于導前環(huán)節(jié)的正相位使Gk(j)過負實軸的頻率增加，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定；5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

曲線(1)為T4較小時，由于導前環(huán)節(jié)的正相位起作用的頻率較高，Gk(j)在較低頻率時即穿越負實軸，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點兩圈，系統(tǒng)不穩(wěn)定。|Gk(j)|隨頻率的增加而單調衰減。例3

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應用Nyquist判據判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。作系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線，如圖。判斷開環(huán)穩(wěn)定P=0；開環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點；5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

＝0+：A(0+)＝∞,(0+)＝－180°＝：A()＝0,()＝－180°例4

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制其Nyquist軌跡，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。T1<T2，Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點，系統(tǒng)穩(wěn)定T1>T2，Nyquist軌跡順時針包圍（-1,j0）點2次（N=2），而P＝0，即Z=N+P=2系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

課后作業(yè)教材186頁：5.9（1）、（2）

5.9（3）(選做題)（要求作出從-+Nyquist軌跡）5.3Nyquist穩(wěn)定判據本節(jié)教學內容5.4.1Nyquist圖與Bode

圖的對應關系

5.4.2相位穿越的概念

5.4.3Bode穩(wěn)定判據本節(jié)教學要求1.掌握Nyquist圖與Bode圖的對應關系2.熟悉Nyquist圖與Bode

圖的相位穿越的概念3.掌握用Bode判據分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法5.4

Bode穩(wěn)定判據5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應關系相連(v

為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點

(0+)

Nyquist曲線的輔助線:(0+)+v90°線Nyquist圖Bode圖單位圓0分貝線單位圓以外

L()>0的部分單位圓內部

L()<0的部分負實軸-180°線5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應關系穿越頻率幅值穿越頻率cNyquist圖：Nyquist軌跡與單位圓的交點頻率。Bode圖：對數(shù)幅頻特性與0dB線的交點頻率。相位穿越頻率g

Nyquist圖：

Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率。Bode圖：對數(shù)相頻特性與-線的交點頻率。

GHImRe0(－1,j0)cg3g2g1=0-+→∞20lg|GH|/dB0-180°∠GHωg1ωcωg2ωg300Nyquist軌跡相位穿越——

開環(huán)奈氏軌跡在(-1,j0)點以左穿過負實軸，有正穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自上而下穿過負實軸；負穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自下而上穿過負實軸；半次穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自負實軸向下(向上)稱為半次正(負)穿越（即G(j)H(j)軌跡起始或終止于(-1,j0)點以左的負實軸）。5.4.2相位穿越的概念正1次負1次正1/2次正2次負1次負1/2次Nyquist判據的穿越法——

當由0變化到+∞時，Nyquist軌跡在（-1,j0）點左邊實軸上的正負穿越次數(shù)之差等于P/2時（P為系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4.2相位穿越的概念開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定P=0P=2開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定正穿越：對應于對數(shù)相頻特性曲線當增大時，從下向上穿越-180°線(相角滯后減小)。負穿越：對應于對數(shù)相頻特性曲線當增大時，從上向下穿越-180°線(相角滯后增大)。

Bode圖的相位穿越5.4.2相位穿越的概念5.4.3Bode穩(wěn)定判據

Bode判據——若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有P個位于右半s平面的特征根，則當在L()>0的所有頻率范圍內，對數(shù)相頻特性曲線()(含輔助線)與-180°線的正負穿越次數(shù)之差等于P/2時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。()自上而下()自下而上負穿越()自下而上()

自上而下正穿越對數(shù)值L()>0范圍內相頻(j)穿越-線G(j)H(j)穿過負實軸(-1~-)段Bode判據與Nyquist判據的對應關系例15.4.3Bode穩(wěn)定判據開環(huán)特征方程有兩個右根P=2,正負穿越數(shù)之差-1——閉環(huán)不穩(wěn)定.P=2開環(huán)特征方程無右根P=0,正負穿越數(shù)之差0——閉環(huán)穩(wěn)定。P=0開環(huán)特征方程有兩個右根P=2,正負穿越數(shù)之差為+1，所以

閉環(huán)穩(wěn)定.P=2開環(huán)特征方程無右根P=0，L()>0范圍內()和-線不相交即正負穿越數(shù)之差為0——閉環(huán)穩(wěn)定。例2

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和Bode圖如下，分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.3Bode穩(wěn)定判據0.20.850200開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode判據——

特別地，當P=0(開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定)時，Bode判據可簡述如下：c<g

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;c=g

閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定;c>g

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4.3Bode穩(wěn)定判據GHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cg開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)Bode判據與Nyquist判據的對應關系十分明顯，該判據的正確運用是本節(jié)必須要掌握的內容.說明：若有多個c，則取最大的c

進行判斷。5.4.3Bode穩(wěn)定判據上圖中，對c3而言，因為c3<g，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.

-1020lg|GH|dB010

c3

-180°∠GH0°

c1

c2

g5.5

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學內容5.5.1系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.5.2系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量本節(jié)教學要求1.了解系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的概念2.掌握判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的方法5.5.1系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

——

指系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定的程度，或系統(tǒng)穩(wěn)定性的好壞?？梢杂孟到y(tǒng)閉環(huán)極點至虛軸的距離來描述，也可用系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡與（-1,j0）點的靠近程度來反映。特征方程最近虛軸的根至虛軸的距離越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。（虛軸是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界.）(-1,j0)在[GH]平面上，G(j)H(j)軌跡不包圍(-1，j0)點，且離(-1，j0)點越遠，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。相位裕度

——

在幅值穿越頻率c上系統(tǒng)達到穩(wěn)定邊界所需要的附加相位滯后量：5.5.2系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)正相位裕度