河北中考與數(shù)學(xué)思想方法

河北中考與數(shù)學(xué)思想方法阜平縣城南莊中學(xué)王成2009年3月14日阜平縣教研室李秀峰

數(shù)學(xué)思想方法是一種重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是數(shù)學(xué)的靈魂?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。因此，中考也就特別關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的考查。

初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想分類討論思想方程思想函數(shù)思想整體思想轉(zhuǎn)化思想類比思想統(tǒng)計(jì)思想數(shù)學(xué)方法：待定系數(shù)法配方法換元法消元降次法數(shù)形結(jié)合思想數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好。

華羅庚（1910—1985）數(shù)軸與直角坐標(biāo)系的建立，為數(shù)與形的溝通提供了工具，使得抽象的數(shù)量關(guān)系有了形象直觀的幾何意義，而直觀圖形的性質(zhì)也常可用數(shù)量關(guān)系加以精確的描述。數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚(yáng)數(shù)之長(zhǎng)、取形之優(yōu)，使得“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”珠聯(lián)壁合，相映生輝．

例1、（河北07年第9題）

甲、乙二人沿相同的路線由A到B勻速行進(jìn)，A，B兩地間的路程為20km．他們行進(jìn)的路程s（km）與甲出發(fā)后的時(shí)間t（h）之間的函數(shù)圖像如圖5所示．根據(jù)圖像信息，下列說(shuō)法正確的是（）A．甲的速度是4

km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出發(fā)1h D．甲比乙晚到B地3h

本題通過(guò)具體問(wèn)題情境，既考數(shù)學(xué)的應(yīng)用，又考應(yīng)用的數(shù)學(xué)．解答這類問(wèn)題要善于從圖象中準(zhǔn)確提取有效信息．

數(shù)形結(jié)合

例2、（河北08年第3題）

把某不等式組中兩個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，如圖1所示，則這個(gè)不等式組可能是（

）40

-1圖1ACDB

分析:本題借助數(shù)軸直觀的給出不等式組的解集。需要注意的是數(shù)軸上實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)的區(qū)別。數(shù)形結(jié)合例3、（河北06年第10題）圖6－2圖6－1

《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作．在它的“方程”一章里，一次方程組是由算籌布置而成的．《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖6－1、圖6－2．圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．把圖6－1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來(lái)，就是

類似地，圖6－2所示的算籌圖我們可以表述為（）ADCB

本題通過(guò)算籌形象直觀的建立起圖形與方程組的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)圖6-1以及與之對(duì)應(yīng)的方程組，可類比歸納出：一個(gè)豎著的算籌表示1，一個(gè)橫著的算籌表示10，而一個(gè)在豎立算籌頂部的橫的算籌表示5.數(shù)形結(jié)合例4、（河北06年第18題）……①②③⑤④4×0＋1＝4×1－3；

4×1＋1＝4×2－3；4×2＋1＝4×3－3；___________________；___________________；……觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：（1）請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對(duì)應(yīng)的等式：

（2）通過(guò)猜想，寫出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式．4×3+1=4×4-34×4+1=4×5-34×（n-1)+1=4×n-3數(shù)形結(jié)合如圖,觀察n=1,n=2,n=3,n=4，n=5時(shí)點(diǎn)陣中點(diǎn)的個(gè)數(shù),按此規(guī)律,第n個(gè)點(diǎn)陣中應(yīng)有點(diǎn)____個(gè)。

……方法一：列表法點(diǎn)陣序號(hào)12345…n點(diǎn)的個(gè)數(shù)1591317…方法二：數(shù)形結(jié)合法方法三：函數(shù)法設(shè)圖形的序號(hào)為n，圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y，則y=kn+b。然后用待定系數(shù)法求解。數(shù)形結(jié)合4×（n-1)+14×n-3分類討論的思想

在研究對(duì)象不宜用同一種方法處理或不能用同一種形式敘述時(shí)，常要按一定的標(biāo)準(zhǔn)把研究對(duì)象化分為若干不同的類別，再對(duì)每種類別逐一求解，從而最終解決整個(gè)問(wèn)題，這種方法就是分類討論的思想。其實(shí)質(zhì)是化整為零，各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略．

分類時(shí)要注意：（1）弄清題意，確定是否需要分類；（2）分類要有明確的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分；（3）分類后，各類之間要既不重復(fù)、也無(wú)遺漏；逐類討論后，要?dú)w納總結(jié)，得出整個(gè)題目的結(jié)論.

例5、（河北07年第16題）

如圖9，在10×6的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)），⊙A的半徑為1，⊙B的半徑為2，要使⊙A與靜止的⊙B內(nèi)切，那么⊙A由圖示位置需向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)．圖9BA

觀察圖形可知，當(dāng)⊙A向靜止的⊙B移動(dòng)時(shí)，可有兩種情形：一種是和⊙B的左側(cè)內(nèi)切，一種是和⊙B的右側(cè)內(nèi)切，所以本題有兩解。若本題改為：“使⊙A與靜止的⊙B相切”，那么可分為兩大類，外切和內(nèi)切，而每一類又有兩種情況，共有四種情況，題目就會(huì)有四個(gè)解。分類討論例6、（河北08年第26題）分類討論方程思想

方程思想就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題中的已知量與未知量的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組模型，然后通過(guò)解方程，使問(wèn)題得到解決．運(yùn)用方程思想解題的關(guān)鍵是找到題目中隱含的等量關(guān)系．例7、（河北06年第5題）

某城市2003年底已有綠化面積300公頃，經(jīng)過(guò)兩年綠化，綠化面積逐年增加，到2005年底增加到363公頃．設(shè)綠化面積平均每年的增長(zhǎng)率為x，由題意，所列方程正確的是()A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300方程思想例8、（河北07年第7題）炎炎夏日，甲安裝隊(duì)為A小區(qū)安裝66臺(tái)空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B小區(qū)安裝60臺(tái)空調(diào)，兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工且恰好同時(shí)完工，甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝2臺(tái)．設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（）A．

B．

C．

D．方程思想例9、（河北08年第6題）

某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2007年投入3000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2009年投入5000萬(wàn)元．設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A、B、C、D、方程思想例10、（河北08年第16題）

圖8所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個(gè)果凍的質(zhì)量也相等，則一塊巧克力的質(zhì)量是

g巧克力果凍50g砝碼圖8

本題的等量關(guān)系隱藏在圖形中，通過(guò)圖形中的天平平衡，形象直觀的給出：三塊巧克力的質(zhì)量等于兩個(gè)果凍的質(zhì)量；一塊巧克力和一個(gè)果凍的質(zhì)量和是50克砝碼的質(zhì)量。若設(shè)一塊巧克力的質(zhì)量為xg，一個(gè)果凍的質(zhì)量為yg，則可列出方程組得解。方程思想例11、（河北07年第8題）

我國(guó)古代的“河圖”是由3×3的方格構(gòu)成，每個(gè)方格內(nèi)均有數(shù)目不同的點(diǎn)圖，每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)點(diǎn)圖的點(diǎn)數(shù)之和均相等．圖4給出了“河圖”的部分點(diǎn)圖，請(qǐng)你推算出P處所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)圖是（）A

分析：此題以我國(guó)古代的“河圖”（三階幻方）為背景，具有趣味性和挑戰(zhàn)性，解決此題學(xué)生需仔細(xì)觀察，合理引進(jìn)未知數(shù)，尋求相等數(shù)量，建立方程5+2=1+x（設(shè)P處的點(diǎn)圖的點(diǎn)數(shù)是x）。本題“每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)點(diǎn)圖的點(diǎn)數(shù)之和均相等”這句話就是隱藏在題目中的等量關(guān)系。A．B．D．C．方程思想例12、（河北06年第14題）如圖8，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，∠APO=30°,則⊙O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)______．

APO圖8設(shè)半徑OA的長(zhǎng)為X，則PO為2X，由勾股定理可得，所以列出方程30°幾何計(jì)算題，有兩個(gè)依據(jù)：一是解直角三角形，二是相似三角形；

步驟是：一是圖上操作，二是幾何表示，三是代數(shù)表示。

求值題，方程是首選。方程思想函數(shù)思想

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)思想又滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域．用函數(shù)思想解題，就是根據(jù)問(wèn)題中的內(nèi)在聯(lián)系，或數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并通過(guò)建立函數(shù)模型，通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)、圖像等知識(shí)使問(wèn)題獲得解決.例13、（河北08年第9題）

如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，四個(gè)全等的小正方形的對(duì)稱中心分別在正方形ABCD的頂點(diǎn)上，且它們的各邊與正方形ABCD各邊平行或垂直．若小正方形的邊長(zhǎng)為x，且0＜x≤10，陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）xADCB圖4yx10O100A．yx10O100B．yx10O100C．5yx10O100D．函數(shù)思想例14、（河北07年25題）

一手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部，且恰好用完購(gòu)機(jī)款61000元．設(shè)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部．三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：手機(jī)型號(hào)A型B型C型進(jìn)價(jià)（單位：元/部）90012001100預(yù)售價(jià)（單位：元/部）

120016001300（1）用含x，y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)；（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假設(shè)所購(gòu)進(jìn)手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷商在購(gòu)銷這批手機(jī)過(guò)程中需另外支出各種費(fèi)用共1500元．①求出預(yù)估利潤(rùn)P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預(yù)估利潤(rùn)P＝預(yù)售總額-購(gòu)機(jī)款-各種費(fèi)用）②求出預(yù)估利潤(rùn)的最大值，并寫出此時(shí)購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)各多少部．函數(shù)思想

分析：本題最后一個(gè)問(wèn)題“求出預(yù)估利潤(rùn)的最大值，并寫出此時(shí)購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)各多少部”，預(yù)估利潤(rùn)的大小是隨著購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)的數(shù)量的變化而變化的。這個(gè)問(wèn)題中涉及到兩個(gè)變量，一個(gè)變量是某款手機(jī)的數(shù)量，另一個(gè)變量是預(yù)估利潤(rùn)，這就是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題，可建立函數(shù)模型，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)最終求解。

這就是典型的問(wèn)題“當(dāng)某某為何值時(shí)，某某最大（或最?。俊苯鉀Q的方法步驟為：

1.設(shè)前一個(gè)某某為x，后一個(gè)某某為y；

2.根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關(guān)系式；

3.求出自變量的x的取值范圍；

4.利用函數(shù)的增減性，求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解（最值）；

5.檢驗(yàn)解的合理性，得到實(shí)際問(wèn)題的解（最值）。整體思想

所謂整體思想，是在解數(shù)學(xué)題時(shí)，從大處著眼，由整體入手，把一些貌似獨(dú)立，實(shí)質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體來(lái)考慮。這種思想方法在解決問(wèn)題有著十分重要的作用，常可以使許多按常規(guī)方法解不出或比較麻煩的問(wèn)題得到了簡(jiǎn)捷的解答。

分析：在進(jìn)行條件求值時(shí)，我們可以在所求代數(shù)式中通過(guò)一些代數(shù)變形，構(gòu)造出條件中含有的模型，整體代入，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．另外，本題還可以用常規(guī)的解法，解方程，求出a的值（a=0或a=-1），然后再分別帶入代數(shù)式，也能得到問(wèn)題的答案，但顯然不是命題者的本意，也不是最佳解法。例15、（河北07年14題）若，則的值為

．例16、（河北08年13題）若m、n互為相反數(shù)，則5m+5n-5=

．

分析：本題把條件和所求代數(shù)式都適當(dāng)變形，就可以用整體的思想來(lái)解答了。m、n互為相反數(shù)，則m+n=0；代數(shù)式5m+5n-5=5(m+n)-5=5×0-5=-5.當(dāng)然本題還可以利用從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決，不妨設(shè)m=1,n=-1,代入代數(shù)式5m+5n-5得解。整體思想轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種最基本的數(shù)學(xué)思想，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們也常常在不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間互相轉(zhuǎn)化，可以說(shuō)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)轉(zhuǎn)化思想幾乎是無(wú)處不在的。

1、代數(shù)與幾何相互轉(zhuǎn)化

2、數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化

3、抽象向具體轉(zhuǎn)化

4、陌生向熟悉轉(zhuǎn)化

5、復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化

6、局部向整體轉(zhuǎn)化例17、（河北07年第20題）

某段筆直的限速公路上，規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過(guò)60

km/h（即m/s）．交通管理部門在離該公路100

m處設(shè)置了一速度監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，在如圖11所示的坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．（1）請(qǐng)?jiān)趫D11中畫出表示北偏東45°方向的射線AC，并標(biāo)出點(diǎn)C的位置；（2）點(diǎn)B坐標(biāo)為

，點(diǎn)C坐標(biāo)為

；（3）一輛汽車從點(diǎn)B行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間為15

s，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車在限速公路上是否超速行駛？（本小問(wèn)中）圖11y/mx/mA（0,-100）BO60°東北C

評(píng)析：第（3）小題，“汽車從點(diǎn)B行駛到點(diǎn)C，判斷汽車在限速公路上是否超速行駛”，這一實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為比較汽車從點(diǎn)B行駛到點(diǎn)C的速度與最高行駛速度60

km/h的大小的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)化，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。轉(zhuǎn)化思想例18、（河北07年第18題）圖10-1是三個(gè)直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體（下底面為圓面，單位：cm）．將它們拼成如圖10-2的新幾何體，則該新幾何體的體積為

cm3．（計(jì)算結(jié)果保留）圖10-2圖10-1644644644

分析：圖1中一個(gè)這樣的幾何體是不規(guī)則圖形，要求體積的新幾何體是3個(gè)組合在一起也是個(gè)不規(guī)則的幾何體。如果我們有轉(zhuǎn)化的的意識(shí)，我們可以化不規(guī)則為規(guī)則，化未知為已知，可先求出兩個(gè)或6個(gè)組合在一起幾何體的體積，就使問(wèn)題迎刃而解了。本題考查的是學(xué)生思辨與智巧，考查的是學(xué)生的智慧變通的能力。

轉(zhuǎn)化思想在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）在圖15-1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖15-2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖15-3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）例19、（河北07年第18題）

通過(guò)觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，可得出猜想DE＋DF=CG。但證明兩條線段的和等于第三條線段的長(zhǎng)是個(gè)陌生的問(wèn)題，我們可以通過(guò)添加輔助線過(guò)D點(diǎn)作DH⊥CG,垂足為H，截長(zhǎng)法，把證明DE＋DF=CG轉(zhuǎn)化為我們熟悉的證明兩條線段CH、DF相等的問(wèn)題來(lái)解決。ABCEFG圖15-2DABCDEFG圖15-3ABCFG圖15-1H轉(zhuǎn)化思想歸納、類比的思想

數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過(guò)類比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．類比、歸納是獲得猜想的兩個(gè)重要的方法．所謂類比，就是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。類比是一種主觀的不充分的似真推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證．例20、（河北07年第17題）

用M，N，P，Q各代表四種簡(jiǎn)單幾何圖形（線段、正三角形、正方形、圓）中的一種．圖6-1—圖6-4是由M，N，P，Q中的兩種圖形組合而成的（組合用“&”表示）．M&PN&PN&Q

M&Q

圖6-1

圖6-2

圖6-3

圖6-4那么，下列組合圖形中，表示P&Q的是（）A．B．C．D．

分析：本題關(guān)鍵是通過(guò)觀察所給的四個(gè)圖形，類比歸納出M，N，P，Q分別代表線段、正三角形、正方形、圓四種幾何圖形的哪一種。不能孤立的去看其中一種圖形，

圖6-1與

圖6-2結(jié)合，可知P代表圓；圖6-1與圖6-4結(jié)合，可知道M代表正方形；圖6-2與圖6-3結(jié)合，可知道N代表三角形；圖6-3與圖6-4結(jié)合，可知道Q代表線段

。所以P&Q應(yīng)該是圓和線段的組合，答案為B。類比思想

分析：通過(guò)n取幾個(gè)具體數(shù)值，我們類比得到一般的規(guī)律：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的值為0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的值為2；所以很快就求的

=3×2=6.例21、（河北07年第17題）已知，，當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=3時(shí)，；…則的值為

．類比思想例22、（河北08年第24題）

如圖14-1，的BC邊在直線l上，，且AB=AC；的邊FP也在直線l上，EF邊與AC邊重合，且EF=FP．（1）在圖14-1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將沿直線l向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ圖14-1圖14-2圖14-3EPC類比思想

分析：在（2）中，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)通過(guò)證明△BCQ和△ACP全等，從而得出BQ=AP。然后延長(zhǎng)BQ交AP于M點(diǎn)，通過(guò)證明∠QMA=900,得出BQ⊥AP。但在（3）中，△EFP進(jìn)一步平移后，圖形發(fā)生了很大變化，（2）中的結(jié)論還成立嗎？學(xué)生通過(guò)觀察或測(cè)量BQ和AP的長(zhǎng)度，也不難得出猜想BQ=AP。但如何證明呢，學(xué)生一時(shí)難以找到全等的三角形，甚至陷入證明△APB和△QBP全等的誤區(qū)。如果想到既然原結(jié)論仍然成立，那么類比（2）中解決問(wèn)題的方法是否也適用呢，于是同樣可以以證明△BCQ和△ACP全等，得出BQ=AP。同樣BQ⊥AP可以仿照（2）中證明BQ與AP垂直的思路完成。結(jié)論的不變性，證明方法的一致性。統(tǒng)計(jì)思想

縱觀近幾年中考試卷中的統(tǒng)計(jì)初步題,“提供新材料,創(chuàng)設(shè)新情景,提出新問(wèn)題”已成為趨勢(shì).在千變?nèi)f化的題海中,怎樣探索出規(guī)律性的問(wèn)題,需要對(duì)統(tǒng)計(jì)初步中的數(shù)學(xué)思想做出歸納.

統(tǒng)計(jì)的思想主要是根據(jù)部分估計(jì)整體的思想。統(tǒng)計(jì)的基本思想是研究如何從樣本的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)去推測(cè)相應(yīng)總體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),即如何根據(jù)樣本去探求有關(guān)總體的規(guī)律性。例23、（河北07年第21題）統(tǒng)計(jì)思想待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法．解題思路是：由題意設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)已知條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，然后求出待定系數(shù)，從而確定解析式．例24、（河北07年第4題）如圖2，某反比例函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)M（-2，1），則此反比例函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．x-2M1yO

圖2待定系數(shù)法例25、（河北07年第22題）如圖13，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖像上（其中m＞0），且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求m的值及點(diǎn)Q到x軸的距離．xyO3

－9－1－1AB圖13待定系數(shù)法例26、（河北06年第21題）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開(kāi)挖兩段河渠，所挖河渠的長(zhǎng)度y（m）與挖掘時(shí)間x（h）之間的關(guān)系如圖11所示，請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問(wèn)題：（1）乙隊(duì)開(kāi)挖到30m時(shí)，用了_____h．開(kāi)挖6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了_____m；（2）請(qǐng)你求出：

①甲隊(duì)在0≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②乙隊(duì)在2≤x≤6的時(shí)段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，甲、乙兩隊(duì)在施工過(guò)程中所挖河渠的長(zhǎng)度相等？62Ox(h)y(m)3060乙甲50圖象與信息圖11待定系數(shù)法

要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如上面前兩例都明確指出函數(shù)的類型，而第三例雖然沒(méi)有明確函數(shù)類型，但給出函數(shù)的圖像，我們通過(guò)觀察函數(shù)圖像的形狀就可以確定是什么函數(shù)，因此可以用待定系數(shù)法求解。配方法、換元法

配方法與換元法是初中數(shù)學(xué)中的重要方法。河北省近幾年的中考題中常常在求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和實(shí)際問(wèn)題中求最值時(shí)運(yùn)用配方法。對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù)都可以通過(guò)配方法把原來(lái)的二次函數(shù)配方成的形式，則得到頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）；若a>0，函數(shù)值y有最小值k；若a<0時(shí)，函數(shù)值y有最大值為k。例27、（河北06年24題）配方法利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸．該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y（元）．（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．例28、（河北07年第22題）如圖13，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P（m，m）與點(diǎn)Q均在該函數(shù)圖