電磁場第二章靜態(tài)場1010

第二章靜態(tài)電磁場

2.1靜電場2.2恒定磁場2.3恒定電場本章討論內(nèi)容2.1

靜電場電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運動）源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。本節(jié)內(nèi)容

2.1.1

電荷及電荷密度2.1.2

庫侖定律與電場強度2.1.3

電介質(zhì)的極化2.1.4靜電場基本方程2.1.5電位函數(shù)與泊松方程2.1.6靜電場的邊界條件2.1.7靜電場中的電容、能量與力2.1.8靜電場的應(yīng)用與危害

?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度認為電荷是以一定形式連續(xù)分布在帶電體上，并用電荷密度來描述這種分布。1.電荷體密度單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷

若電荷分布在薄層上，當僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內(nèi)的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為

若電荷分布在細線上，當僅考慮細線外、距細線的距離要比細線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內(nèi)的電場時，可將線的直徑忽略，認為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)

對于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的線度時，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點電荷。點電荷的電荷密度表示4.點電荷1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點電荷q1對q2的作用力:，滿足牛頓第三定律。大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；說明：2.1.2庫侖定律與電場強度

庫侖定律的驗證

庫侖定律是1784--1785年間庫侖通過扭秤實驗總結(jié)出來的。紐秤的結(jié)構(gòu)如下：在細金屬絲下懸掛一根秤桿，它的一端有一小球A，另一端有平衡體P，在A旁還置有另一與它一樣大小的固定小球B。為了研究帶電體之間的作用力，先使A、B各帶一定的電荷，這時秤桿會因A端受力而偏轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)動懸絲上端的懸鈕，使小球回到原來位置。這時懸絲的扭力矩等于施于小球A上電力的力矩。如果懸絲的扭力矩與扭轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系已事先校準、標定，則由旋鈕上指針轉(zhuǎn)過的角度讀數(shù)和已知的秤桿長度，可以得知在此距離下A、B之間的作用力。2.電場強度

空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力，即如果電荷是連續(xù)分布呢？根據(jù)上述定義，真空中靜止點電荷q

激發(fā)的電場為——

描述電場分布的基本物理量

電場強度矢量——試驗正電荷

三、多電荷的電場強度

電場強度與點電荷量的正比關(guān)系，可利用疊加原理qq1q2q3q4q5q6q7小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場面密度為的面分布電荷的電場強度線密度為的線分布電荷的電場強度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度四、分布電荷激勵的靜電場

體電荷密度

面電荷密度

線電荷密度

點電荷密度

總結(jié)

——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為電偶極子的電場強度：例計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于2.1.3

電介質(zhì)的極化1.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象

電介質(zhì)的分子分為無極分子和有極分子。無極分子有極分子無外加電場無極分子有極分子有外加電場E在電場作用下，介質(zhì)中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。水分子的極化

電極化強度

極化體電荷密度

極化面電荷密度

——電介質(zhì)的電極化率

極化強度與電場強度有關(guān)，其關(guān)系一般比較復雜。在線性、各向同性的電介質(zhì)中，

與電場強度成正比，即2.1.4靜電場基本方程

、靜電場的旋度自由空間的靜電場是無旋場

可以證明，區(qū)域包含電介質(zhì)的情況下，靜電場的旋度同樣等于零。二、自由空間內(nèi)靜電場的散度

靜電場是一個有散場，靜電荷是靜電場的通量源三、電位移矢量和電介質(zhì)中的高斯定律四、基本方程的積分形式

微分形式積分形式五、靜電場的本構(gòu)關(guān)系與介電常數(shù)

稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)

稱為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)

電荷密度和電場具有一定的對稱性時，電位移在所選擇的閉合面上大小恒定，方向要么一致要么垂直，則積分過程非常簡單，從而可以對某一些特定的具有對稱性的場分布問題進行求解2.1.5電位函數(shù)與泊松方程

一、電位和電位差均勻介質(zhì)泊松方程拉普拉斯方程

二、泊松方程和拉普拉斯方程例題2-2電偶極子是相距很小距離d的兩個等值異號的點電荷組成的電荷系統(tǒng)，如圖2.1.4所示，試求電偶極子的電位及電場強度。三、例題本例題也可以直接通過多電荷系統(tǒng)的電場表達式(2.1.12)求解例題2-3

半徑為的帶電導體球，已知球體電位為（無窮遠處電位為零），試計算球外空間的電位函數(shù)。解：

電位及其電場均具有對稱性用簡化用？？？？？簡化2.1.6靜電場的邊界條件

一、電位移矢量的邊界條件二、電場強度邊界條件三、兩種特殊情況下的邊界條件理想導體表面上的邊界條件理想介質(zhì)表面上的邊界條件

四、電位函數(shù)滿足的邊界條件理想介質(zhì)或理想導體下的邊界條件以上邊界條件往往又叫銜接條件第一類邊界條件

第二類邊界條件

第三類邊界條件

參考點電位條件

方法一：電場積分方程方法

合成場只有方向

方法二：常微分方程方法方法三：高斯公式電場方向為矢徑方向，大小只與矢徑有關(guān)方法四：位函數(shù)積分方法

利用邊界條件得2.1.7靜電場中的電容、能量與力

一、電容

電容的大小與其所帶電荷多少以及電壓大小無關(guān)假設(shè)設(shè)兩導線單位長度帶電量分別為

設(shè)內(nèi)外導線單位長度帶電量分別為

電容器的用途

電容可按照介質(zhì)種類來分類，空氣介質(zhì)電容器、云母電容器、紙介電容器、有機介質(zhì)電容器、陶瓷電容器、電解電容器以及鐵電體電容器和雙電層電容器等主要包括：隔直、旁路(去耦)、耦合、頻率調(diào)諧、儲能等電容量、容量誤差、損耗因數(shù)、等效串聯(lián)電阻以及工作溫度范圍和漏電流大小等參數(shù)二、能量三、靜電力虛位移的思想孤立系統(tǒng)或恒電荷系統(tǒng)

各帶電導體的電位保持不變,恒電勢系統(tǒng)

等價*2.1.8靜電場的應(yīng)用與危害

一、靜電的應(yīng)用

噴墨打印機陰極射線示波器

粉末靜電噴涂

二、靜電危害靜電起電

兩種材料的接觸與分離產(chǎn)生電荷的轉(zhuǎn)移，形成靜電積累

與摩擦起電的關(guān)系起電分析模型

靜電危害

集成電路

航空航天、武器平臺電路

說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I

表示。存在可以自由移動的電荷;

存在電場。單位:A（安）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運動而形成，用i表示，其大小定義為：單位時間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：2.2恒磁場2.2.1電流及電流密度

與電荷量的多少以及電荷的運動速度有關(guān)電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

一.

體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量正電荷運動的方向二.

面電流電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。通過薄導體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運動的方向數(shù)字電路數(shù)據(jù)線、低頻電路板上各種引線上的電流三.

線電流四、電荷守恒定律

系統(tǒng)中流出的電荷系統(tǒng)中電荷的減少電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消失，只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分。流入的電荷等于流出的電荷恒定電流

基爾霍夫電流定律

I1I2I3積分閉合面VΓ電流連續(xù)性方程的微分形式恒定電流有

一.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進行了大量的實驗研究，在1821—1825年之間，設(shè)計并完成了電流相互作用的精巧實驗，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。實驗表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.2.2

安培力定律與磁感應(yīng)強度

滿足牛頓第三定律二.

磁感應(yīng)強度

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應(yīng)強度，單位為T（特斯拉）。磁場的重要特征是對場中的電流磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度三、磁感應(yīng)強度性質(zhì)

例題2-8如圖2.2.4所示的線電流圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為，流過的電流為，計算電流圓環(huán)軸線上任意一點的磁感應(yīng)強度。

四、例題電流元

位置矢量

由于對稱性，磁場只有軸向分量2.2.3磁介質(zhì)的磁化

媒質(zhì)合成場Ba+Bs磁化二次場Bs外加場Ba

電子圍繞原子核旋轉(zhuǎn)形成一個閉合的環(huán)形電流，這種環(huán)形電流相當于一個磁偶極子。電子及原子核本身自旋也相當于形成磁偶極子。在外加磁場力的作用下，這些帶電粒子的運動方向發(fā)生變化，導致各個磁矩重新排列，宏觀的合成磁矩不再為零，這種現(xiàn)象稱為磁化。分子磁矩

磁化強度

磁化電流體密度

磁化電流面密度

2.2.4恒定磁場基本方程、恒定磁場的散度????與靜電場的區(qū)別及原因恒定磁場是無散場二、恒定磁場的旋度同樣可以推導得

恒定磁場是有旋場靜電場恒磁場源散度旋度物質(zhì)表征三、磁場強度和磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

磁場強度

四、基本方程的積分形式

積分形式微分形式微分形式如果磁場強度具有一定的對稱性，從而可以找到一個閉合曲線，在此曲線上磁場大小恒定而方向與閉合線的方向平行或垂直，從而可以利用此公式簡化問題分析五、磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

線性各向同性磁介質(zhì)

本構(gòu)關(guān)系

磁導率

相對磁導率

抗磁體

順磁體

鐵磁性物質(zhì)

各向異性磁介質(zhì)

概念：磁滯線，剩磁六、例題解：磁場必然在方向

且在半徑相等的圓周上大小相等所以，可用安培環(huán)路定理求解

2.2.5矢量磁位與泊松方程

一、矢量磁位為矢量磁位，或稱磁矢位

磁通

二、矢量磁位的泊松方程庫侖規(guī)范

泊松方程

拉普拉斯方程

三、自由空間的矢量磁位積分表達式

直角坐標系中

四、標量磁位空間不存在電流

不存在標量磁位的泊松方程

拉普拉斯方程

方法一：應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律

方法二：應(yīng)用矢量磁位的積分表達式

方法三：應(yīng)用安培環(huán)路定理

2.2.6恒定磁場的邊界條件

一、磁場強度的邊界條件兩種媒質(zhì)的電導率為有限值時

二、磁感應(yīng)強度邊界條件三、位函數(shù)形式的邊界條件三、鐵磁質(zhì)分界面的邊界條件、磁路

兩種媒質(zhì)磁導率相差懸殊

這樣鐵磁質(zhì)內(nèi)線幾乎與分界面平行，而且也非常密集在鐵磁質(zhì)外非常小，且?guī)缀醮怪庇诮唤缑娲怕?/p>

載體激勵源阻抗關(guān)系流流密度電路電導體電動勢磁路磁導體磁動勢主磁通

漏磁通

電路中的電流基爾霍夫定理電壓基爾霍夫定理磁屏蔽

可以借鑒到磁路分析中

磁場在介質(zhì)交界面上是切向

切向磁場連續(xù)，上下空間內(nèi)磁場強度相同

恒定磁場在介質(zhì)交界面上是法向

法向磁感應(yīng)強度連續(xù)，左右空間內(nèi)磁感應(yīng)強度相同

2.2.7恒定磁場與靜電場的比擬關(guān)系

恒定磁場靜電場，，，場方程本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)方程邊界條件2.2.8恒定磁場中的電感、能量與力一、自感H

先假設(shè)已知線圈中的電流或磁鏈，通過求出磁場或矢量磁位分布獲得線圈中另一個參量，并代入上式求得電感工程電路設(shè)計中

平面螺旋導線做電感

螺旋線的電感

解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為例

求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為因此內(nèi)導體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為

例

計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導線的半徑為a，兩導線的間距為D，且D>>a。導線及周圍媒質(zhì)的磁導率為μ0

。穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為

解設(shè)兩導線流過的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P

的磁感應(yīng)強度為PII于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感兩根導線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為二、互感紐曼公式

假設(shè)已知電流，求得磁場或矢量磁位，求出磁鏈，并利用上式求出互感由圖中可知長直導線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為解設(shè)長直導線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得到

例

如圖所示，長直導線與三角形導體回路共面，求它們之間的互感。因此故長直導線與三角形導體回路的互感為考察圖中三角形

上式為兩個磁阻串聯(lián)的磁路歐姆定理表達形式磁環(huán)缺口處的磁阻將比磁環(huán)本身的磁阻大的多，所以當磁環(huán)上切開一個缺口后，整個磁路的磁阻將急劇增加,最終電感將相應(yīng)減小

三、磁場能量

系統(tǒng)磁場能量與電流之間不是線性關(guān)系，并不滿足疊加原理磁場能量密度

總的磁能

例

同軸電纜的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。解：由安培環(huán)路定理，得三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導體的內(nèi)自感內(nèi)外導體間的外自感外導體的內(nèi)自感四、磁場力假設(shè)兩回路的磁鏈不變

假設(shè)兩回路中的電流不改變求出的磁場力相同

(1)若保持磁通不變

(2)若假設(shè)系統(tǒng)中電流保持不變

2.2.9恒定磁場的應(yīng)用

回旋加速器2.3恒定電場2.3.1電源電動勢

電源是將其他形式的能量(機械能、化學能、熱能等)轉(zhuǎn)化為電能的裝置非庫侖力等效電場

當回路穿過電源時，總電場的線積分不等于零

2.3.2媒質(zhì)的傳導特性

粒子間作用力很大時，在電場作用下，帶電粒子不能自由運動，只能做微小的位移，宏觀上主要表現(xiàn)為極化現(xiàn)象在磁場作用下，電子的磁化電流取向?qū)l(fā)生變化，宏觀上表現(xiàn)為磁化現(xiàn)象導體中，由于電子與原子核的作用力很小，即使在微弱的電場作用下電子都能夠產(chǎn)生定向運動，此時傳導特性成為主要現(xiàn)象兩邊體積分得令得歐姆定律歐姆定律微分形式電荷的電場力為

時間內(nèi),電荷的移動距離為

兩邊同時進行體積分,可以得到任意體積內(nèi)外加電源提供的功率為

焦耳定律

焦耳定律

2.3.3基本方程與位函數(shù)

一、基本方程電場恒定，閉合面(凈)流出的傳導電流應(yīng)為零，電流連續(xù)性方程就退化為所取積分路線不經(jīng)過電源

二、位函數(shù)拉普拉斯方程三、跨步電壓2.3.4恒定電場的邊界條件由電位函數(shù)表示的銜接條件為

材料2內(nèi)的電流密度線可近似看成與分界面近似垂直。媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>1、且2≠90°，則1＝0，即電場線近似垂直于與良導體表面。此時，良導體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導體中的電流和電場與分界面平行。2.3.5有耗媒質(zhì)的電阻

一、漏電導靜電比擬法

設(shè)漏電流為

也可以用靜電比擬法求解