電磁場與電磁波：靜電場

第一章、電磁場的基本定律§1.0前言§1.1靜電場一、庫侖（Coulomb）定律二、電場強(qiáng)度三、電荷產(chǎn)生的電場四、電位、高斯定理靜電學(xué)的歷史卡文迪許（Cavendish)扭秤實驗

（1771-1773)庫侖（Columba)(1785)法拉第（Faraday）(1835)麥克斯韋（Maxwell）(1864)密立根（Millikan)油滴實驗油滴半徑10-4cm,幾個～幾十個基本電荷，qe=1.602×10-19庫侖電磁場量的概念Millikan油滴試驗

油滴半徑10－3mm,帶幾個或幾十個基本電荷,qe=1.602×10-19

庫侖100w燈泡1米遠(yuǎn)處，

均方根電場0.5伏/厘米，光子數(shù)1015光子/厘米2秒100MHz=108Hz,100w天線，100km處，

均方根電場5微伏/厘米,光子數(shù)1012光子/厘米2秒(單個光子的沖量2.2×10-34牛頓秒)彗星彗尾背向太陽（光壓作用）庫侖定律與萬有引力*δ＝10－16，10-15~109cm經(jīng)典距離，光子質(zhì)量可視為零§1.1靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

本章任務(wù)：闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計算方法，或者反之。

靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。靜電場知識結(jié)構(gòu)框圖1.1.1庫侖定律1.1電場強(qiáng)度

N(牛頓)適用條件

兩個可視為靜止點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況

(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理圖1.1.1兩點電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷與之間的相互作用力:

當(dāng)真空中引入第三個點電荷時，試問與相互間的作用力改變嗎?為什么？1.1.2靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：

V/m(N/C)

電場強(qiáng)度（ElectricFieldIntensity)E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/mV/m圖1.1.2點電荷的電場

b)n個點電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖1.1.3體電荷的電場解:軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系

例1.1.1

真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為,試求P點的電場。圖1.1.5帶電長直導(dǎo)線的電場xx無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場平行平面場。0

無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。

電場強(qiáng)度的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即

點電荷的數(shù)學(xué)模型

積分是對源點進(jìn)行的,計算結(jié)果是場點的函數(shù)。

點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。

當(dāng)時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù)表示點電荷的密度分布。圖1.1.5單位點電荷的密度分布點電荷的密度

由對稱性知:圓環(huán)沿垂直x方向的分量相互抵消,故

僅考慮x方向解：建立坐標(biāo)系，例2、已知一半徑為R,帶電量為Q的均勻帶電體圓環(huán),求環(huán)中心軸線上一點的取電荷元dqRxrxyxR例3

帶電導(dǎo)體球的電場。半徑為a,表面帶電Q。

解：孤立導(dǎo)體（無外場時）電荷必為均勻分布即：根據(jù)對稱性，可將任意場點放在z軸上。注意到電場是一個矢量積分，取以z軸為中心的環(huán)的合成場僅在z方向,故可以只分析z方向的場?？蓪⑶蝮w切成一系列的小環(huán)薄片疊加即可算得總的電場。即球外

在球內(nèi)積分變?yōu)?/p>

結(jié)論：

對于球形體積電荷只要每層的電荷體密度是均勻的，即電荷體密度在的方向是常數(shù)，則在球外建立的電場相當(dāng)于全部電荷集中到球心所形成的點電荷的電場。而球內(nèi)的電場應(yīng)等于場點以內(nèi)的那部分球體電荷集中在球心時所建立的電場。因為場點以外的球殼電荷在該場點建立的電場為零。點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強(qiáng)度E

的旋度等于零1.2靜電場環(huán)路定律和高斯定律

1.

靜電場旋度1.2.1靜電場環(huán)路定律

可以證明，上述結(jié)論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。表明靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2.靜電場的環(huán)路定律

在靜電場中,電場強(qiáng)度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得

二者等價。3.電位函數(shù)

在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強(qiáng)度E。式中負(fù)號表示電場強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位。2)已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式3)

E與的微分關(guān)系

在靜電場中，任意一點的電場強(qiáng)度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：？()？()4)

E與的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點

根據(jù)

E與的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點圖1.2.1E與的積分關(guān)系5)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達(dá)式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點；

電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點。6)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強(qiáng)度E的方向一致，若是電力線的長度元，E

矢量將與方向一致，故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線E的方程。當(dāng)取不同的

C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例1.2.1

畫出電偶極子的等位線和電力線。在球坐標(biāo)系中：電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標(biāo)系）：用二項式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線愈密處，場強(qiáng)愈大;

E線與等位線（面）正交；圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4點電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.5點電荷與不接地導(dǎo)體的電場圖1.2.6均勻場中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場圖1.2.7均勻場中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場圖1.2.8點電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖1.2.9點電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場?

對上式等號兩端取散度；?

利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得1.2.2真空中的高斯定律1.靜電場的散度———高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式點電荷產(chǎn)生的電場其物理意義表示為

高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。證明2.高斯定律的積分形式式中n是閉合面包圍的點電荷總數(shù)。散度定理圖1.2.11閉合曲面的電通量

E的通量僅與閉合面S所包圍的凈電荷有關(guān)。圖1.2.12閉合面外的電荷對場的影響

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。電場強(qiáng)度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）1.2.3.電介質(zhì)中的高斯定律1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)2.靜電場中的電介質(zhì)圖1.2.13靜電場中的導(dǎo)體

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖1.2.14電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度

實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；

一個電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強(qiáng)度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖1.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位

——電介質(zhì)的極化率,無量綱量。矢量恒等式：

圖1.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理

令極化電荷體密度極化電荷面密度

在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度

這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷和體極化電荷共同作用在真空中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質(zhì)存在的場域中，任一點的電位及電場強(qiáng)度表示為

這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷和體極化電荷共同作用在真空中產(chǎn)生的電位。3.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入,得其中——相對介電常數(shù)；——介電常數(shù)，單位（F/m）

在各向同性介質(zhì)中

D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D

線、E線和P線的分布。?D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?E

線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；電場強(qiáng)度在電介質(zhì)內(nèi)部是增加了，還是減少了？D線E線P線圖1.2.17D、E與P

三者之間的關(guān)系思考：電場通量、高斯定理()()()qq

D

的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。

D通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的

D

是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖1.2.19點電荷±q分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖1.2.18點電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)例1.2.2

求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖1.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用計算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使

容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。圖1.2.22球殼內(nèi)的電場圖1.2.21球殼外的電場例1.2.3

試分析圖1.2.21與1.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖1.2.21點電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖1.2.22點電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場高斯定理應(yīng)用－例題[例題1.2.1]p7[例題1.2.2]p8[例題1.2.3]p9[例題2.2.1]p34[例題2.2.2]p351.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件1.3.1靜電場的基本方程

靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例1.3.1

已知試判斷它能否表示個靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?

以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強(qiáng)度E的銜接條件

以點P作為觀察點，作一小矩形回路（）。1.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。

分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時，D的法向分量連續(xù)。圖1.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有

根據(jù)根據(jù)則有圖1.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律

表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點的D就等于該點的自由電荷密度。

當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為：圖1.3.3a導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律圖1.3.3分界面上E線的折射因此表明:

在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件

設(shè)點1與點2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖1.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）

例1.3.2

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。（a）（b）圖1.3.5平行板電容器

1.8電容及部分電容

電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計算思路：

工程上的實際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。1.8.1電容定義：單位：

例1.8.1

試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時（孤立導(dǎo)體球的電容）圖1.8.1球形電容器1.8.2多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導(dǎo)體(三個以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以接地導(dǎo)體為電位參考點,導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為圖1.8.2三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)

以此類推（n+1)個多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個電位線性獨(dú)立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計算各導(dǎo)體的電位而得。2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)。

通常，的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得。

3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?

互有部分電容

，即為對稱陣；

?

(n+1)

個導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個部分電容；?

部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。

例1.8.2

試計算考慮大地影響時，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知如圖示：解:部分電容個數(shù),如圖(b)。由對稱性得線電荷與電位的關(guān)系為圖1.8.4兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)靜電網(wǎng)絡(luò)與等效電容(b)

令則利用鏡像法，輸電線兩導(dǎo)體的電位圖1.8.5兩線輸電線對大地的鏡像聯(lián)立解之得二線間的等效電容：圖1.8.4兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)

美國有一腿斷的殘廢軍人，用電子儀器駕駛汽車，有一次，路過高壓輸電線時，突然翻車了，為什么？

4.靜電屏蔽

應(yīng)用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。令號導(dǎo)體接地，得這說明了只與有關(guān)，只與有關(guān)，即1號導(dǎo)體與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.5靜電屏蔽1.9靜電能量與力

1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量

靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：

?

電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；1.9.1

靜電能量

?

電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?

建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。

這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。

體電荷系統(tǒng)的靜電能量

t

時刻，場中P點的電位為若將電荷增量從無窮遠(yuǎn)處移至該點，外力作功t時刻電荷增量為即電位為

?

式中是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。?

點電荷的自有能為無窮大。自有能互有能

自有能是將許多元電荷“壓緊”構(gòu)成q所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念?

?

是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面上的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。2.靜電能量的分布及能量密度V——擴(kuò)大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理（焦耳）靜電能量圖1.9.1推導(dǎo)能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論得矢量恒等式例1.9.1

試求真空中體電荷密度為，半徑為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二

例1.9.2

一個原子可以看成是由帶正電荷的原子核和被總電量等于且均勻分布于球形體積內(nèi)的負(fù)電荷云包圍，如圖所示。試求原子結(jié)合能。解：表示將正負(fù)電荷從無窮遠(yuǎn)處移來置于原子中位置時外力必須做的功。圖1.9.2原子結(jié)構(gòu)模型

：正電荷從無窮遠(yuǎn)處移至此處不需要電場力作功,故原子結(jié)合能未包括原子核正電荷本身的固有能量。注意1.9.2靜電力2.虛位移法

(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。

廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向為廣義坐標(biāo)增加的方向。二者關(guān)系：

廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強(qiáng)轉(zhuǎn)矩（單位）（N）（N/m）（N/m2）N?m廣義力×廣義坐標(biāo)=功1.由電場強(qiáng)度E的定義求靜電力，即常電荷系統(tǒng)（K打開）：

它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。

常電位系統(tǒng)（K合上）：外源提供能量的增量靜電能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。

設(shè)(n+1)個導(dǎo)體組成的系統(tǒng),只有P號導(dǎo)體發(fā)生位移，此時系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖1.9.4多導(dǎo)體系統(tǒng)?

上述兩個公式所得結(jié)果是相等的例1.9.3

試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見，兩種方法計算結(jié)果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。?

兩個公式所求得的廣義力是代數(shù)量。還需根據(jù)“±”號判斷其方向。圖1.9.5平行板電容器

例1.9.4

圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為，其上帶電荷為，試求薄膜單位面積所受的電場力。解：表示廣義力的方向是廣義坐標(biāo)增大的方向，即為膨脹力。單位面積上的力：（N/m2）圖1.9.6球形薄膜3.法拉第觀點

法拉第認(rèn)為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向方向受到側(cè)壓力，1)可定性分析、判斷帶電體的受力情況。圖1.9.8根椐場圖判斷帶電體受力情況其大小為圖1.9.7a電位移管受力情況圖1.9.7b物體受力情況2)對某些特殊情況可進(jìn)行定量計算。

例1.9.5

試求圖示(a)、(b)平行板電容器中，兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。圖1.9.9平行板電容器答：氣泡向E小的方向移動。氣泡向哪個方向移動？

：媒質(zhì)分界面受力的方向總是由值較大的媒質(zhì)指向值較小的媒質(zhì)。結(jié)論工程上，靜電力有廣泛的應(yīng)用。圖1.9.10靜電分離圖1.9.11靜電噴涂§2.11恒流電場基本物理量J

歐姆定律J

的散度E

的旋度

基本方程

電位

邊界條件邊值問題一般解法特殊解（靜電比擬）電導(dǎo)與接地電阻圖2.0.2恒定電場的知識結(jié)構(gòu)框圖基本概念：

?

電介質(zhì)中的靜電場

?

通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場與電流場

?

通有直流電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周圍電介質(zhì)中的靜態(tài)電場I是通量,并不反映電流在每一點的流動情況。1.電流面密度2.1.2恒定電場的基本物理量——電流密度電流密度是一個矢量，在各向同性線性導(dǎo)電媒質(zhì)中，它與電場強(qiáng)度方向一致。電流 2.1.1電流強(qiáng)度2.1導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流圖2.1.1電流面密度矢量圖2.1.2電流面密度單位時間內(nèi)通過某一橫截面的電量，簡稱為電流。分布的體電荷以速度v作勻速運(yùn)動形成的電流。亦稱電流密度

?

同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布；

?

交變電場的集膚效應(yīng)，即高頻情況下，電流趨於表面分布，可用電流線密度表示。

?

媒質(zhì)的磁化，其表面產(chǎn)生磁化電流可用電流線密度表示,如圖示；圖2.1.3電流線密度及其通量工程意義：圖2.1.4媒質(zhì)的磁化電流2.電流線密度電流e是垂直于dl，且通過dl與曲面相切的單位矢量n分布的線電荷沿著導(dǎo)線以速度

v

運(yùn)動形成的電流I=。3、線電流分布的面電荷在曲面上以速度v運(yùn)動形成的電流。2.1.3歐姆定律的微分形式

?

恒定電流場與恒定電場相互依存。電流J與電場E方向一致。

?

電路理論中的歐姆定律由它積分而得，即

U=RI

歐姆定律的微分形式。式中為電導(dǎo)率，單位s/m（西門子/米）。

電場是維持恒定電流的必要條件。可以證明圖2.1.6J與E之關(guān)系4.元電流的概念：元電流是指沿電流方向上一個微元段上的電流，即。

?

在各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)中，電位移矢量D

線與電流密度J線方向是否一致？

?

電流線密度是否成立？

2.1.4焦?fàn)柖傻奈⒎中问?/p>

導(dǎo)電媒質(zhì)中有電流時，必伴隨功率損耗。可以證明其功率的體密度為（W/m

）3

——焦耳定律的微分形式

電路中的焦耳定律，可由它的積分而得，即（W）——

焦耳定律的積分形式2.2電源電勢與局外場強(qiáng)

要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。2.2.1電源圖2.2.2恒定電流的形成因此局外場Ee

是非保守場。

考慮局外場強(qiáng)2.2.2電源電動勢與局外場強(qiáng)設(shè)局外場強(qiáng)為，則電源電動勢為電源電動勢與有無外電路無關(guān)，它是表示電源本身的特征量。圖2.2.3電源電動勢與局外場強(qiáng)2.3.1恒定電場的基本方程2.3恒定電場的基本方程分界面上的銜接條件邊值問題在恒定電場中散度定理恒定電場是一個無源場，電流線是連續(xù)的。故電荷守恒定律?

恒定電場是無源無旋場。2.E的旋度斯托克斯定理

所取積分路徑不經(jīng)過電源，則得3.恒定電場（電源外）的基本方程1.J的散度恒定電場是無旋場。2.3.2分界面的銜接條件

說明分界面上電場強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的，電流密度法向分量是連續(xù)的。折射定律為圖2.3.1電流線的折射分界面上的銜接條件例2.3.1

兩種特殊情況分界面上的電場分布。由折射定理得，則解：a)媒質(zhì)1是良導(dǎo)體，，媒質(zhì)2是不良導(dǎo)體,。土壤

它表明，只要，電流線垂直于良導(dǎo)體表面穿出，良導(dǎo)體表面近似為等位面。b）媒質(zhì)1是導(dǎo)體，媒質(zhì)2是理想介質(zhì)情況。

表明1導(dǎo)體表面是一條電流線。

表明2導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有恒定（動態(tài)平衡下的）面電荷分布。

表明3電場切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表面非等位面。

若（理想導(dǎo)體），導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，電流分布在導(dǎo)體表面，導(dǎo)體不損耗能量。導(dǎo)體周圍介質(zhì)中的電場圖2.3.2導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面圖2.3.3載流導(dǎo)體表面的電場2.3.3恒定電場的邊值問題分界面銜接條件

很多恒定電場問題的解決，都可以歸結(jié)為一定條件下，求出拉普拉斯方程的解答（邊值問題）。拉普拉斯方程得常數(shù)由基本方程出發(fā)恒定電場中是否存在泊松方程？

例2.3.2

試用邊值問題求解電弧片中電位、電場及面電荷的分布？區(qū)域）電位00

解：選用圓柱坐標(biāo)，邊值問題為：場域邊界條件區(qū)域）銜接條件電場強(qiáng)度電荷面密度E,

與無關(guān)，是的函數(shù)。圖2.3.3不同媒質(zhì)弧形導(dǎo)電片2.4導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場與靜電場的比擬2.4.1靜電比擬表2兩種場對應(yīng)物理量靜電場導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）EEDJIq表1兩種場所滿足的基本方程和重要關(guān)系式

導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）靜電場

兩種場各物理量所滿足的方程一樣，若邊界條件也相同，那么，通過對一個場的求解或?qū)嶒炑芯?，利用對?yīng)量關(guān)系便可得到另一個場的解。

?

兩種場的電極形狀、尺寸與相對位置相同（相擬）;?

相應(yīng)電極的電壓相同;2.4.2靜電比擬的條件

?

若兩種場中媒質(zhì)分布片均勻，只要分界面具有相似的幾何形狀，且滿足條件時，則這兩種場在分界面處折射情況仍然一樣，相擬關(guān)系仍成立。

1.靜電場便于計算——

用靜電比擬方法計算恒定電場若為土壤為空氣則。2.4.3靜電比擬的應(yīng)用圖2.4.1靜電場與恒定電流場的鏡像法比擬靜電場2.恒定電場便于實驗—某些靜電場問題可用恒定電流場實驗?zāi)M固體模擬（媒質(zhì)為固體，如平行板靜電場造型）實驗?zāi)M方法液體模擬（媒質(zhì)為液體，如電解槽模擬）靜電場——電極表面近似為等位面；工程上的實驗?zāi)M裝置。工程近似在兩種場的模擬實驗中，工程上往往采用近擬的邊界條件處理方法恒定電流場——電極表面近似為等位面（條件）。電極媒質(zhì)圖2.4.2靜電場平行板造型

圖示恒定電流場對應(yīng)什么樣的靜電場？比擬條件？2.5.1電導(dǎo)的計算1.直接用電流場計算

當(dāng)恒定電場與靜電場邊界條件相同時，用靜電比擬法，由電容計算電導(dǎo)。靜電系統(tǒng)的部分電容可與多導(dǎo)體電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)相互比擬。（自學(xué)）2.5電導(dǎo)與接地電阻2.靜電比擬法設(shè)設(shè)即

例2.5.1

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長度為,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為。解法一

直接用電流場的計算方法設(shè)電導(dǎo)絕緣電阻解法二

靜電比擬法由靜電場解得則根據(jù)關(guān)系式得同軸電纜電導(dǎo)絕緣電阻圖2.5.1同軸電纜橫截面例2.5.2

求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定。方程通解為，代入邊界條件，可得電流密度電流電導(dǎo)電位函數(shù)解：取圓柱坐標(biāo)系，，邊值問題：圖2.5.2弧形導(dǎo)電片1.深埋球形接地器

解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區(qū)域的孤立圓球的電流場相似。2.5.2接地電阻圖2.5.3深埋球形接地器

接地電阻

安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）解法一

直接用電流場的計算方法解法二

靜電比擬法接地電阻越大越好嗎？2.直立管形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法。實際電導(dǎo)即

由靜電比擬法

圖2.5.4直立管形接地器

則3.非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖2.5.5非深埋的球形接地器為保護(hù)人畜安全起見（危險電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險區(qū)。相應(yīng)為危險區(qū)半徑2.5.3跨步電壓圖2.5.7半球形接地器的危險區(qū)以淺埋半球接地器為例實際電導(dǎo)接地器接地電阻4.淺埋半球形接地器解：考慮地面的影響用鏡像法處理。此時由靜電比擬圖2.5.6淺埋半球形接地器同軸電纜屏蔽室接地電阻（深度20米）高壓大廳網(wǎng)狀接地電阻（深度1米）基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量（電場強(qiáng)度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程邊值問題唯一性定理分界面銜接條件電位（）邊界條件數(shù)值法有限差分法解析法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖1.0靜電場知識結(jié)構(gòu)圖對場點坐標(biāo)作散度運(yùn)算靜電場高斯散度定理的推導(dǎo)矢量恒等式：式中：無電荷區(qū)內(nèi)，電場強(qiáng)度的散度等于零。則圖