2023年直線和圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

練習(xí)一(直線和圓部分）知識(shí)梳理1.直線的傾斜角的范圍是;求直線斜率的兩種方法：①定義:；②斜率公式:.答案2．直線方程的幾種形式：①點(diǎn)斜式，合用范圍:不含直線;特例:斜截式，合用范圍：不含垂直于軸的直線;②兩點(diǎn)式，合用范圍：不含直線和直線;特例:截距式,合用范圍：不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線；③一般式,合用范圍：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都合用.3.求過(guò)，的直線方程時(shí)：（1)若,且時(shí)，直線垂直于軸,方程為;（2)若,且時(shí),直線垂直于軸,方程為；（3）若,且時(shí)，直線即為軸,方程為;（4)若,且時(shí)，直線即為軸,方程為。4．已知直線:，直線:，則①與相交；②與平行；③與重合;④與垂直．5.已知直線:，直線:，則①與相交；②與平行；③與重合;④與垂直.6.兩點(diǎn),之間的距離;點(diǎn)到直線:的距離；兩平行直線:與:之間的距離．７.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其中為圓心，為半徑;圓的一般方程為表達(dá)圓的充要條件是，其中圓心為，半徑為．8．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)，（１)點(diǎn)在圓上:；（2）點(diǎn)在圓外：；（３)點(diǎn)在圓內(nèi):。９．直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的三種位置關(guān)系常用的兩種判斷方法：(1）代數(shù)法：直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組消去或整理成一元二次方程后,計(jì)算判別式①；②；③。(2）幾何法：運(yùn)用圓心到直線的距離和圓半徑的大小關(guān)系①；②；。10.圓的切線方程①若圓的方程為,點(diǎn)在圓上,則過(guò)點(diǎn)，且與圓相切的切線方程為；②通過(guò)圓上的的切線方程為:。點(diǎn)在圓外，則可設(shè)切線方程為,運(yùn)用直線與圓相切，運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑，解出k。11．計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的兩種方法:(1）幾何法：運(yùn)用弦心距、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算。（２）代數(shù)法:運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式12．設(shè)圓：，圓：，則有兩圓①相離；②外切;③內(nèi)切；④相交;⑤內(nèi)含．13．對(duì)稱問(wèn)題①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式。②直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱:運(yùn)用取特殊點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法。③點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱:運(yùn)用垂直和平分。④直線關(guān)于直線對(duì)稱：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題解決。假如是平行直線,還可以運(yùn)用平行直線之間距離。假如是相交直線,可以運(yùn)用已知交點(diǎn),夾角相等的方法。常用的對(duì)稱關(guān)系：點(diǎn)(a,ｂ)點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（-a，-b）,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)（ａ，b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（a，-b），點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,b)，點(diǎn)(a，b）關(guān)于直線y=ｘ的對(duì)稱點(diǎn)為(b,a),點(diǎn)（a,b)關(guān)于直線y=－x的對(duì)稱點(diǎn)(－ｂ，-a),點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y＝ｘ+m的對(duì)稱點(diǎn)為(b-m,a+m)，點(diǎn)(ａ,ｂ)關(guān)于直線y＝-x+m的對(duì)稱點(diǎn)(ｍ-b,m－a）.練習(xí)題(第一部分）1.直線的傾斜角為若,則此直線的斜率是（)A．B.C.Ｄ.2.直線過(guò)點(diǎn)(-1,２）且與直線垂直，則的方程是?A. B. ?C.? D.3.已知兩條直線和互相垂直,則等于（)A．2B．1C.０D．解析：兩條直線和互相垂直，則,∴a=-1,選Ｄ.點(diǎn)評(píng):直線間的垂直關(guān)系要充足運(yùn)用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況4．已知、,直線過(guò)且與線段有交點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則的取值范圍（）A．或B.Ｃ.或D.解析:過(guò)點(diǎn)、的直線斜為,過(guò)點(diǎn)、的直線斜率為,畫圖可看出過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)可看作直線繞點(diǎn)從旋轉(zhuǎn)至的全過(guò)程。5.直線通過(guò)點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,假如符合條件的直線能作且只能作三條，則(）A．B.C.D.解析:設(shè)直線方程為，則有,當(dāng)時(shí)，,得,即與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為４,顯然與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形在二、四象限時(shí)各有一個(gè)面積為４,共可作且只可作三條符合條件的直線。6.已知直線:，：，若直線與關(guān)于對(duì)稱,則的方程為(）A.Ｂ.C．D.解析:在上取兩點(diǎn)，則它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以的方程為。７．已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上,若直線垂直于直線,則點(diǎn)的坐標(biāo)是(）? ? Ａ. B.?C．?D.二、填空題8．過(guò)點(diǎn)(1，2)且與直線平行的直線方程是_＿.9.已知兩條直線若，則＿_(dá)＿_(dá).解：兩條直線若，,則2．10．若過(guò)點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．假如直線的傾斜角為且則直線的斜率為.解析：由,由于直線的傾斜角為所以,又,所以,，所以,所以，所以,。三、解答題12.已知直線通過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且垂直于直線.(Ⅰ)求直線的方程;（Ⅱ)求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.解：（Ⅰ)由解得由于點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)是(,2).則所求直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為．把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得,即.所求直線的方程為.(Ⅱ)由直線的方程知它在軸、軸上的截距分別是、，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.13.求通過(guò)直線：與直線：的交點(diǎn)M，且滿足下列條件①通過(guò)原點(diǎn);②與直線：平行；③與直線:垂直的直線方程。答案：１4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ＡBCD的長(zhǎng)為2,寬為1,ＡB、ＡD邊分別在軸、軸的正半軸上，Ａ點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊,使Ａ點(diǎn)落在線段ＤC上，若折痕所在的直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程。解:（1)當(dāng)時(shí),、重合,折痕所在直線方程為（２）當(dāng)時(shí),設(shè)折疊后落在線段上的點(diǎn)為,所以與關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱。，可得,從而,線段之中點(diǎn)為,折痕所在直線方程為,化簡(jiǎn)得。練習(xí)題(第二部分）１．直線與圓的位置關(guān)系是（）Ａ．相交但直線但是圓心Ｂ.相切C.相離D.相交且直線過(guò)圓心2.與圓同圓心,且面積為圓面積的一半的圓的方程為(）Ａ． ?B.C. D.３.圓心為的圓與直線交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，則圓的方程為()A.Ｂ．C．Ｄ．4．是曲線上任意一點(diǎn),則的最大值為()A.B.Ｃ.Ｄ.５．兩個(gè)圓:與：的公切線有且僅有(）A.條B.條C.條D.條解析:由于，所以,所以兩圓相交，故兩圓公切線有條。６.從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為（)A.Ｂ．Ｃ.D．解析:圓的圓心為M(１,1),半徑為1，從外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則點(diǎn)P到圓心Ｍ的距離等于，每條切線與PM的夾角的正切值等于，所以兩切線夾角的正切值為,該角的余弦值等于。7.若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的斜率的取值范圍是（)A.［］B.［]C.[D．解析:圓整理為,∴圓心坐標(biāo)為(２，２），半徑為3,規(guī)定圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為,則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴,∴，∴，，∴,選B.８．若直線按向量平移后與圓相切，則的值為（)A．或B.或C．或D.或解:將直線按向量平移得，即,由于與圓相切，所以,,或。二、填空題9.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是，則實(shí)數(shù)的值是

2

.10．若半徑為1的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則這個(gè)圓的方程為.解析：若半徑為１的圓分別與軸的正半軸和射線相切，則圓心在直線上，且圓心的橫坐標(biāo)為１，所以縱坐標(biāo)為，這個(gè)圓的方程為。１１．已知圓：,直線:，下面四個(gè)命題:①對(duì)任意實(shí)數(shù)與,直線和圓相切；②對(duì)任意實(shí)數(shù)與,直線和圓有公共點(diǎn)；③對(duì)任意實(shí)數(shù),必存在實(shí)數(shù),使得直線與和圓相切④對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與和圓相切．其中真命題的序號(hào)是＿＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)_____(寫出所有真命題的序號(hào))解：②④,圓心坐標(biāo)為，。12.函數(shù)的最小值為．13.從原點(diǎn)向圓作兩條切線,則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為.解析：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解此題有優(yōu)勢(shì)。由于,所以,圓心在，半徑為3，設(shè)圓心為，切點(diǎn)為，則在中，,，所以,所以兩切線的夾角為,劣弧所對(duì)的圓心角為，故劣弧的弧長(zhǎng)為。三、解答題14．求過(guò)直線和圓的交點(diǎn),且滿足下列條件之一的圓的方程．（１）過(guò)原點(diǎn)；(2）有最小面積.15．假如實(shí)數(shù)滿足,求①的最大值；②的最小值;③的最值.分析：表達(dá)以點(diǎn)為圓心,半徑為的圓,為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率；設(shè)，則,可知是斜率為1的直線在軸上的截距，于是問(wèn)題①實(shí)質(zhì)上是求圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值；②實(shí)質(zhì)上是求斜率為1的直線與已知圓有公共點(diǎn)時(shí)直線的縱截距的最小值;③實(shí)質(zhì)上是求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最大值與最小值。16.已知點(diǎn)及圓：.（Ⅰ）若直線過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為１，求直線的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí),求以線段為直徑的圓的方程;（Ⅲ）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的