理論力學(xué)-動能定理

第三篇動力學(xué)理論力學(xué)第12章動能定理

第12章動能定理

動能是物體因為運動而具有的機械能，它是作功的一種能力。動能定理描述質(zhì)點系動能的變化與力作功之間的關(guān)系。求解實際問題時，往往需要綜合應(yīng)用動量定理、動量矩定理和動能定理。矢量形式標(biāo)量形式力的功力的功定義變力Fi

的元功

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函數(shù)的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W僅僅是Fi?dri

的一種記號。M2M1常力對直線運動質(zhì)點所作的功：

力的功力的功定義變力Fi

的元功

M2M1力

Fi

在其作用點的軌跡上從

M1點到

M2點所作的功：

重力的功

對于質(zhì)點：

對于質(zhì)點系:

力的功幾種常見力的功

其中：z1、z2分別是質(zhì)點在初位置和末位置的z

坐標(biāo)其中：zC1、

zC2分別是質(zhì)點系質(zhì)心在初位置和末位置的z

坐標(biāo)重力的功與路徑無關(guān)。彈性力的功

其中，1

、2

是彈簧初始位置和最終位置的變形量。力的功幾種常見力的功

彈性力的功與路徑無關(guān)。

定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功剛體以角速度ω繞定軸z轉(zhuǎn)動，其上A點作用有力F

，則則力F的元功為——力F

對軸z的矩

于是，力在剛體上由1轉(zhuǎn)到2時所作的功為力的功作用在剛體上力與力偶的功

定軸轉(zhuǎn)動剛體上外力偶的功

若力偶矩矢量為M

，則力偶所作之功為其中Mz

為力偶矩矢M

在z軸上的投影，即力偶對轉(zhuǎn)軸z的矩。力的功作用在剛體上力的功、力偶的功

質(zhì)點系的內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，且等值、反向、共線。因此，質(zhì)點系的內(nèi)力對質(zhì)點系的動量和動量矩沒有影響。力的功內(nèi)力作功的情形

事實上，在許多情形下，物體的運動是由內(nèi)力作功而引起的。當(dāng)然也有的內(nèi)力確實不作功。*

人的行走和奔跑是腿的肌肉內(nèi)力作功。

*所有的發(fā)動機從整體考慮，其內(nèi)力都作功。*

機器中有相對滑動的兩個零件之間的摩擦力是內(nèi)力，作負功。*有勢力的內(nèi)力作功，如系統(tǒng)內(nèi)的彈簧力作功。那么，質(zhì)點系的內(nèi)力對質(zhì)點系作不作功呢？

剛體內(nèi)任何兩點間的距離始終保持不變，所以剛體的內(nèi)力所作功之和恒等于零。

*剛體的內(nèi)力不作功

力的功不作功的力*理想約束約束反力不做功

光滑的固定支承面、軸承、光滑的活動鉸鏈、銷釘和活動支座都是理想約束。理由是它們的約束力不作功或作功之和等于零。

柔性約束也是理想約束。因為它們只有在拉緊時才受力，這時與剛性桿一樣，內(nèi)力作功之和等于零。*純滾動時，滑動摩擦力(約束力)不作功OC*FFN約束力不做功的約束稱為理想約束

C*

為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的速度為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為vO理想約束的約束反力不做功

力的功不作功的力質(zhì)點系的動能與剛體的動能質(zhì)點系的動能

剛體的動能

第12章動能定理

質(zhì)點系的動能與剛體的動能質(zhì)點系的動能

物理學(xué)中對質(zhì)點的動能的定義為

質(zhì)點系的動能為質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能之和。

動能是度量質(zhì)點系整體運動的另一物理量。動能是正標(biāo)量，其數(shù)值與速度的大小有關(guān)，但與速度的方向無關(guān)。

設(shè)重物A、B的質(zhì)量為mA=mB=m，三角塊D的質(zhì)量為m0

，置于光滑地面上。圓輪C和繩的質(zhì)量忽略不計。系統(tǒng)初始靜止。解：重物A、B的運動可以看成質(zhì)點的運動，三角塊D做平動，也可以看成質(zhì)點的運動。

開始運動后，系統(tǒng)的動能為

其中

質(zhì)點系的動能與剛體的動能質(zhì)點系的動能——例題1

求：當(dāng)物塊A以相對速度下落時系統(tǒng)的動能。

或者寫成質(zhì)點系的動能與剛體的動能質(zhì)點系的動能——例題1

？質(zhì)點系的動能與剛體的動能質(zhì)點系的動能——例題1

注意到,系統(tǒng)水平方向上動量守恒，故有●

平移剛體的動能

剛體平移時，其上各點在同一瞬時具有相同的速度，并且都等于質(zhì)心速度。因此，平移剛體的動能

上述結(jié)果表明，剛體平移時的動能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時的動能。

質(zhì)點系的動能與剛體的動能剛體的動能

剛體以角速度繞定軸

z轉(zhuǎn)動時，其上－點的速度為：

因此，定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能為

質(zhì)點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

其中

為剛體對定軸z的轉(zhuǎn)動慣量。

平面運動剛體的動能，等于隨質(zhì)心平動的動能與相對質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能的和。質(zhì)點系的動能與剛體的動能剛體的動能

●

平面運動剛體的動能

設(shè)P為平面運動剛體某瞬時的速度瞬心，

則剛體的動能為：質(zhì)點系的動能與剛體的動能剛體的動能

思考題：均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求圓盤的動能？OvO問：若質(zhì)量m集中在輪緣上，輪在平面上做純滾動，輪心速度為vo，求輪的動能？

坦克或拖拉機履帶單位長度質(zhì)量為ρ

，輪的半徑為r，輪軸之間的距離為d，履帶前進的速度為v0。求：全部履帶的總動能。dC2C1rv0

質(zhì)點系的動能與剛體的動能——例題2

解：把履帶看成一質(zhì)點系在C1C2

上建立平動坐標(biāo)系C1x′y′，則牽連運動為水平平移，牽連速度為v0。

相對運動為繞在兩個作定軸轉(zhuǎn)動圓輪上履帶的運動。圓輪的角速度為ω＝v0/r,履帶上各點的相對速度均為

v0。dC2C1rx′y′v0

質(zhì)點系的動能與剛體的動能——例題2

因此，全部履帶的總動能為：解：質(zhì)點系的動能等于系統(tǒng)跟隨質(zhì)心平移的動能與相對于質(zhì)心平移系運動的動能之和。（柯尼希定理）dC2C1rx′y′v0

質(zhì)點系的動能與剛體的動能——例題2

動能定理及其應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理

動能定理應(yīng)用舉例

第12章動能定理

質(zhì)點的動能定理的微分形式：質(zhì)點的動能定理的積分形式：

動能定理及其應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)點系的動能定理的微分形式：動能定理及其應(yīng)用質(zhì)點系的動能定理

所有可以作功的力——既包括外力，也包括內(nèi)力；既包括主動力，也包括約束力。在理想約束系統(tǒng)中，只包括主動力(外力和內(nèi)力)。質(zhì)點系的動能定理的積分形式：均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1．當(dāng)物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

動能定理及其應(yīng)用動能定理應(yīng)用舉例——例題3

解：以整個系統(tǒng)為研究對象。

1．運動分析，確定各部分的速度、角速度，寫出系統(tǒng)的動能

注意到輪A作平面運動；輪B作定軸轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。于是，系統(tǒng)的動能：根據(jù)運動學(xué)分析，得到動能定理及其應(yīng)用動能定理應(yīng)用舉例——例題3

解：2.確定所有力的功：

3．應(yīng)用動能定理的積分形式：

由此解出物塊C的重力作正功，輪A的重力作負功，約束反力不作功。于是，所有力的總功為動能定理及其應(yīng)用動能定理應(yīng)用舉例——例題3

解：4．確定物塊C的加速度：

將下降高度h視為變量，其對時間的一階導(dǎo)數(shù)即為物塊C的速度

因為物塊C作直線平移，故有

于是，物塊C的加速度為

動能定理及其應(yīng)用動能定理應(yīng)用舉例——例題3

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用返回返回總目錄第12章動能定理

矢量形式標(biāo)量形式動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

動量定理

給出了質(zhì)點系動量的變化與外力主矢之間的關(guān)系，可以用于求解質(zhì)心運動或某些外力。

動量矩定理

描述了質(zhì)點系動量矩的變化與外力主矩之間的關(guān)系，可以用于具有轉(zhuǎn)動特性的質(zhì)點系，求解角加速度等運動量和外力。

動能定理

建立了作功的力與質(zhì)點系動能變化之間的關(guān)系，可用于復(fù)雜的質(zhì)點系、剛體系求運動。

應(yīng)用動量定理和動量矩定理的優(yōu)點是不必考慮系統(tǒng)的內(nèi)力。應(yīng)用動能定理的好處是理想約束力所作之功為零，因而不必考慮。

在很多情形下，需要綜合應(yīng)用這三個定理，才能問題的解答。正確分析問題的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這些定理，往往會達到事半功倍的作用。

另外，這三個定理都存在不同形式的守恒形式，也要給予特別的重視。

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用例題5

均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：

1．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；

2．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用而故有取輪B和物塊C組成的質(zhì)點系為研究對象，分析受力，對點B應(yīng)用動量矩定理，有解：

1．確定繩子拉力本例的條件與例題2相同。在例題2中已經(jīng)求得例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解得例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

解：

2．確定B處的約束力對圖示系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運動定理，有由此解得B處的約束力例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：

3．確定A輪與斜面之間的摩擦力

取輪A為研究對象，分析受力，應(yīng)用相對質(zhì)心的動量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用本例小結(jié)：

本例中幾乎應(yīng)用了三個定理的所有主要形式。還可以發(fā)現(xiàn)，每種問題的解法都并不是唯一的。這說明，對于具體問題，必須進行具體分析，沒有統(tǒng)一的方法可循。

例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用均質(zhì)細長桿長為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。桿受微小干擾而倒下。求：桿剛剛到達地面時的角速度和地面的約束力。

例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：桿在水平方向不受外力，且由靜止倒下，則在倒下過程中其質(zhì)心將鉛直下落。由運動學(xué)知，P為桿的瞬心。例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用v

CCA桿剛到達地面時，A點成為桿的瞬心，桿的的動能為：

例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用v

CCA桿在滑倒過程中，只有重力作功。由動能定理，有例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AFNmga

CC桿剛到達地面時，受力及加速度分析如圖。其中

其中

由運動學(xué)知

由剛體平面運動微分方程，得例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用AFNmga

CC其中

由運動學(xué)知

將加速度矢量式向鉛垂方向投影，得

聯(lián)立以上諸式，可以解得

均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為m2

，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求:

A點在初瞬時的加速度。

例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：以桿和圓輪組成的系統(tǒng)為研究對象。用動能定理求解。

系統(tǒng)的動能為例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用設(shè)輪心A的速度為vA，則有代入系統(tǒng)的動能表達式，得m2gm1g例題7動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用只有桿的重力對系統(tǒng)作功根據(jù)動能定理上式對時間求導(dǎo)注意到初瞬時可解得解：以桿和圓輪組成的系統(tǒng)為研究對象。用功率方程求解。

系統(tǒng)的動能為例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用設(shè)輪心A的速度為vA，則有代入系統(tǒng)的動能表達式，得m2gm1g例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用只有桿的重力對系統(tǒng)作功，其功率為根據(jù)功率方程等式左邊對時間求導(dǎo)注意到初瞬時可解得D動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關(guān)系。

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學(xué)的兩類基本問題。結(jié)論與討論4、幾個動力學(xué)定理的綜合應(yīng)用

整體運動的變化所受的作用力動量定理動量力(沖量)動量矩定理動量矩力矩動能定理動能力的功

動量定理、動量矩定理一般限于研究物體機械運動范圍內(nèi)的運動變化問題。

動能定理可以用于研究機械運動與其他運動形式之間的運動轉(zhuǎn)化問題。結(jié)論與討論4、幾個動力學(xué)定理的綜合應(yīng)用

動量定理、動量矩定理和動能定理的比較

動量定理、動量矩定理的表達式中含有時間參數(shù)。

動能定理的表達式中含有路程參數(shù)。結(jié)論與討論4、幾個動力學(xué)定理的綜合應(yīng)用

動量