量子力學(xué)第二章

第二章

波函數(shù)與薛定諤方程ThewavefunctionandSchr?dingerEquation1內(nèi)容提要

本章內(nèi)容主要包括:(1)微觀粒子體系—量子體系的描述方法，即用波函數(shù)來描述量子體系狀態(tài)，體系波函數(shù)一旦確定，意味著量子體系的一切力學(xué)量信息都可以通過對(duì)波函數(shù)的解讀來獲得，只是這些力學(xué)量取值在量子體系中通常以概率的形式，而不是決定的形式體現(xiàn)。(2)介紹求解體系波函數(shù)的方程—薛定諤方程；（3）應(yīng)用薛定諤方程求解幾個(gè)簡單力學(xué)體系的波函數(shù)21.接受微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述方式波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋。2.通過對(duì)實(shí)驗(yàn)的分析,理解態(tài)疊加原理。3.掌握微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程波函數(shù)隨時(shí)間演化的規(guī)律Schr?dinger方程。4.掌握定態(tài)及其性質(zhì)。5.通過對(duì)三個(gè)實(shí)例的討論,掌握定態(tài)Schr?dinger方程的求解。學(xué)習(xí)要求3

微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，即微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像?！?.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋1．微觀粒子狀態(tài)的描述德布羅意指出：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)來描述，函數(shù)—稱為波函數(shù)?！?/p>

描述自由粒子的波是具有確定能量和動(dòng)量的平面波4★如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。三個(gè)問題？(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)描寫的是什么樣的波呢？deBroglie

波5▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成

如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過小孔，但只要時(shí)間足夠長，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動(dòng)性并不是許多電子聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

2．波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋6（2）粒子由波組成電子是波包把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度這也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相矛盾，這是因?yàn)槿綦娮颖旧硎且粋€(gè)波包，則在單電子實(shí)驗(yàn)中就應(yīng)該觀察到雙縫干涉的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，而實(shí)際上在一次性單電子實(shí)驗(yàn)中并不能觀察到干涉現(xiàn)象。7實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如一個(gè)原子內(nèi)的電子，其廣延不會(huì)超過原子大小≈1。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性的統(tǒng)一?！边@個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

81.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

（1）入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長時(shí)間亦顯示衍射圖樣;我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)▲玻恩的解釋：OPP電子源感光屏QQ衍射實(shí)驗(yàn)事實(shí)：9（2）入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.

這類似于擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，可以一次性的擲大量的硬幣，也可以一次一次地在相同條件下投擲大量的硬幣，兩種情況得到的結(jié)果相同，這表明量子體系的波動(dòng)行為具有統(tǒng)計(jì)的特性。亮條紋表明粒子出現(xiàn)的概率大，暗條紋表明粒子在該處出現(xiàn)的概率小。若用波函數(shù)描述粒子的行為，則它必須能夠反映這種屬性。

在光的衍射現(xiàn)象中，條紋的亮暗與光的強(qiáng)度成正比，即振幅的平方成正比，而從光是粒子的角度，強(qiáng)度大的地方意味著光子在該處出現(xiàn)幾率大。既然量子力學(xué)中的態(tài)用波函數(shù)描述的，波函數(shù)的模的平方就相應(yīng)于波函數(shù)振幅的平方。所以，類似于光的屬性，其模的平方應(yīng)該與粒子在空間某一位置出現(xiàn)的概率成正比。10

波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小電子出現(xiàn)的概率小

可見，波函數(shù)模的平方與粒子時(shí)刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率成比例。注意：波函數(shù)本身沒有直接的物理意義11設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是則微觀粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率

稱為幾率密度(概率密度)12

（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論將進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說波函數(shù)完全描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。必須注意它表示粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在附近單位體積內(nèi)的幾率13令3．波函數(shù)的歸一化條件

時(shí)刻，在空間任意兩點(diǎn)和處找到粒子的相對(duì)幾率是：可見，和描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。即14和描述同一狀態(tài)

這與經(jīng)典波截然不同。對(duì)于經(jīng)典波，當(dāng)波幅增大一倍（原來的2倍）時(shí)，則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。

為消除波函數(shù)有任一常數(shù)因子的這種不確定性，利用粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于1的特性，提出波函數(shù)的歸一化條件，即通過乘一個(gè)常數(shù)使波函數(shù)模的平方在全空間的總和為1，這樣的波函數(shù)模平方直接代表粒子的幾率，稱為歸一化波函數(shù)：15則有其中稱為歸一化常數(shù)于是歸一化條件消除了波函數(shù)常數(shù)因子的一種不確定性。設(shè)原波函數(shù)為，歸一化波函數(shù)為16注意（1）歸一化后的波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性（δ為實(shí)函數(shù)）。若是歸一化波函數(shù)，那末，也是歸一化波函數(shù)，與前者描述同一幾率波。（2）只有當(dāng)幾率密度對(duì)空間絕對(duì)可積時(shí)，才能按歸一化條件進(jìn)行歸一化。17

第一節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)1、量子體系狀態(tài)的描述方法

經(jīng)典力學(xué)的描述方法：用位置和動(dòng)量作為變量描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。只要物體在任一時(shí)刻的位置確定，則物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就確定了。其特點(diǎn)是：用軌道的概念表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性。

量子力學(xué)的描述方法：由于微觀粒子的波粒二象性，無法確定粒子在某一時(shí)刻的精確位置，不能用軌道的概念描述粒子的狀態(tài)。用波函數(shù)來描述量子體系的狀態(tài)。182、波函數(shù)的基本性質(zhì)

a、波函數(shù)通常用復(fù)數(shù)表示b、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：波函數(shù)自身沒有直接的物理意義；模平方與粒子在某一點(diǎn)出現(xiàn)的概率成正比c、波函數(shù)包含體系的所有物理量信息，這些物理量的取值在量子力學(xué)中是以概率形式呈現(xiàn)的3、概率密度與歸一化19波函數(shù)的歸一化：通過在原波函數(shù)前乘上一個(gè)常數(shù)因子，其模平方積分等于1.其物理意義表示粒子在全空間出現(xiàn)的總概率為1.歸一化因子經(jīng)過歸一化后的波函數(shù)就代表某一點(diǎn)的幾率密度

粒子在任意時(shí)刻在空間某點(diǎn)附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率即c20§2.2態(tài)疊加原理

在經(jīng)典力學(xué)中，聲波和光波等都遵從疊加原理,疊加是波共有的屬性。例如，光學(xué)中的惠更斯原理就是典型的疊加原理的體現(xiàn)。微觀粒子類似于光的性質(zhì)，具有波動(dòng)性質(zhì)。所以量子力學(xué)中描述量子態(tài)的波函數(shù)也應(yīng)該滿足態(tài)疊加原理。以下介紹量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理。211.電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)12用表示粒子穿過上面狹縫到達(dá)屏B的狀態(tài)，用表示粒子通過下面狹縫到達(dá)屏B的狀態(tài)，再用表示粒子穿過兩個(gè)狹縫到達(dá)B的狀態(tài)，則有其中c1以及c2與粒子通過上下兩個(gè)縫的概率有關(guān)由此，我們得到了量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理：如果以及是粒子的可能態(tài)，則其線性疊加也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)22物理意義迭加態(tài)的概率:

如果粒子處在以及的線性疊加態(tài)則它既處在態(tài)也處在態(tài)上若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)233．電子在晶體表面的衍射d

電子從晶體表面出射后，既可能處在態(tài)，也可能處在、

等狀態(tài)，按態(tài)迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)

可表示成

取各種可能值的平面波的線性疊加，即

電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各種可能的動(dòng)量運(yùn)動(dòng)，出射后的電子為自由電子，其狀態(tài)波函數(shù)為平面波。24考慮到電子動(dòng)量的連續(xù)變化（1）

即衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果該式是以為譜系的傅里葉積分25由此

（2）對(duì)及作扼要比較說明

26以坐標(biāo)

為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間（坐標(biāo)表象）波函數(shù)以動(dòng)量為自變量的函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，因?yàn)樗从硠?dòng)量為p的態(tài)出現(xiàn)的概率

給出t時(shí)刻粒子處在位置處的幾率

給出t時(shí)刻粒子動(dòng)量為的幾率

二者描寫同一量子狀態(tài)一維情況下27態(tài)疊加原理復(fù)習(xí)若是體系的可能狀態(tài)，則它們的線性迭加態(tài)也是體系的可能態(tài)物理意義：處在Ψ態(tài)上的粒子體系，則仍部分處在Ψ1、Ψ2…..Ψn上與經(jīng)典態(tài)疊加原理的區(qū)別：經(jīng)典的疊加態(tài)和疊加前的態(tài)有本質(zhì)區(qū)別，而量子體系的疊加態(tài)和疊加前的狀態(tài)無本質(zhì)區(qū)別，處在疊加態(tài)的體系以概率的形式呈現(xiàn)單個(gè)狀態(tài)28§2.3薛定諤方程1．微觀粒子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)具有的特點(diǎn)

量子體系用波函數(shù)描述，波函數(shù)隨空間及時(shí)間變化，所以需要建立波函數(shù)的方程，該方程是量子力學(xué)的基本方程，該方程類似于經(jīng)典力學(xué)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程，不能推導(dǎo)出來。實(shí)際過程是先建立方程，用該方程解決實(shí)際問題，若理論與實(shí)踐符合，說明它是正確的。該方程必須滿足以下的兩個(gè)條件

本節(jié)研究量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)問題，建立量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程——Schr?dinger方程（1）方程必須為線性的（態(tài)疊加原理要求）（2）方程的系數(shù)只能包含粒子本質(zhì)特性的常數(shù)及普適常數(shù)如質(zhì)量、電量，不應(yīng)該包含能量、動(dòng)量狀態(tài)參量（因?yàn)檫@種情況下導(dǎo)出的方程不具有普適性）29又（2）

（3）（1）

2．自由粒子的運(yùn)動(dòng)方程將（1）和（2）式代入（3）式，得

以下根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)特點(diǎn)，引出自由粒子的Schr?dinger方程，再推廣到一般情形。自由粒子波函數(shù)30討論

通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，能量和動(dòng)量作用于波函數(shù)可用算符替換，從而得到自由粒子波動(dòng)方程：稱為能量算符稱為動(dòng)量算符（4）

313．勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的Schr?dinger方程設(shè)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)波函數(shù)為（6）

用能量關(guān)系式乘以波函數(shù)

按（5）式，將能量和動(dòng)量分別用能量算符和動(dòng)量算符替代，即得Schr?dinger方程粒子的哈密頓函數(shù)324．多粒子體系的Schr?dinger方程作動(dòng)量算符替代則利用哈密頓算符，可將Schr?dinger方程（6）寫成另一形式（7）稱為哈密頓算符33多粒子體系：一個(gè)體系中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子，這種體系就稱為多粒子體系，描述其狀態(tài)同樣是用波函數(shù)來表示，其模平方與t時(shí)刻第一個(gè)粒子出現(xiàn)在處，第二個(gè)粒子出現(xiàn)在處，…,第n個(gè)粒子出現(xiàn)在的幾率成正比。哈密頓函數(shù)34

（1）Schr?dinger作為一個(gè)基本假設(shè)提出來，它的正確性已為非相對(duì)論量子力學(xué)在各方面的應(yīng)用而得到證實(shí)。注意

（2）Schr?dinger方程在非相對(duì)論量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿,只要給出粒子在初始時(shí)刻的波函數(shù)，由方程即可求得粒子在以后任一時(shí)刻的波函數(shù)。Schr?dinger方程（9）

哈密頓算符

（8）例：寫出氦原子核外電子的薛定諤方程35內(nèi)容復(fù)習(xí)薛定諤方程其中稱為哈密頓算符該方程是量子力學(xué)的基本方程，通過它可以解出粒子體系的波函數(shù)，從而可進(jìn)一步確定量子體系的所有性質(zhì)362多粒子的波函數(shù)與薛定諤方程多粒子體系的波函數(shù)用表示，其物理意義:模平方與t時(shí)刻第一個(gè)粒子出現(xiàn)在r1處，第二個(gè)粒子出現(xiàn)在r2處，第三個(gè)粒子出現(xiàn)在r3

處，…,第n個(gè)粒子出現(xiàn)在rn處的幾率成正比。哈密頓算符

373、幾率流密度與幾率守恒方程幾率流密度物理意義：表示單位時(shí)間內(nèi)流過垂直于運(yùn)動(dòng)方向單位面積內(nèi)的幾率。微分形式幾率守恒方程物理意義：單位時(shí)間內(nèi)某一點(diǎn)附近單位體積內(nèi)幾率的變化等于從相應(yīng)界面流進(jìn)或流出的幾率。38物理意義：單位時(shí)間內(nèi)粒子在某一有限體積內(nèi)的幾率的變化等于從該體積相應(yīng)的邊界面流進(jìn)或流出的幾率。積分形式39§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律1．幾率守恒定律由Schr?dinger方程

（1）

則設(shè)是描述粒子狀態(tài)的歸一化波函數(shù)

取復(fù)共軛

這一節(jié)內(nèi)容將討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化代入（1）式后，有

40（2）令稱為幾率流密度幾率連續(xù)性方程（3）（3）式對(duì)空間V作體積分(4)

的物理意義表示單位時(shí)間內(nèi)，通過垂直于粒子運(yùn)動(dòng)方向單位面積的概率，類似于電流密度41當(dāng)時(shí)(4)式表明:單位時(shí)間內(nèi)粒子在內(nèi)幾率的增量等于單位時(shí)間內(nèi)流入內(nèi)的幾率(負(fù)號(hào)表示流入)。(3)式是幾率守恒定律的積分形式。(4)式即表明粒子的總幾率不變,即幾率守恒。表明波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。42——量子力學(xué)的電荷密度——量子力學(xué)的質(zhì)量流密度

——量子力學(xué)的電流密度——量子力學(xué)的質(zhì)量密度2．電荷守恒定律，粒子數(shù)守恒設(shè)粒子的電荷為，質(zhì)量為——量子力學(xué)的電荷守恒律——量子力學(xué)的物質(zhì)守恒律注意：以上所有的物理量都帶有幾率的意義433．波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（1）根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋，是粒子

時(shí)刻出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求應(yīng)是的單值函數(shù)且有限。（2）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:

波函數(shù)對(duì)時(shí)間和空間的坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)存在，所以函數(shù)在空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)。

概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。

注意：波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)44§2.5定態(tài)薛定諤方程

1．定態(tài)，定態(tài)波函數(shù)（1）

（2）

若與無關(guān)，即外力為保守力，則可以分離變量，令(2)代入(1)式，兩邊同除，得到（3）

等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與無關(guān)的常數(shù)（4）對(duì)于薛定諤方程45（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可見分離變量中引入的常數(shù)為粒子的能量，當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（6）所描述的狀態(tài)時(shí)，粒子的能量有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（6）稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)條件下，能量取確定值2．定態(tài)Schr?dinger方程

當(dāng)粒子處在定態(tài)中時(shí)，具有確定的能量，其空間波函數(shù)可由方程（3）求得，即由 46在給定的定解條件下（邊界條件確定的條件下）求出，方程（7）稱為定態(tài)Schr?dinger方程。

（7）3.Hamilton算符和能量本征值方程可將定態(tài)Schr?dinger方程(7)寫成（8）

該方程稱為哈密頓算符(能量算符)的本征方程，其物理意義：在該方程的解所表示的態(tài)中，能量具有確定的取值，該態(tài)稱為能量的本征態(tài)，E的取值稱為本征值。47

由此討論定態(tài)問題就是要求出體系可能的定態(tài)波函數(shù)及相應(yīng)于這些態(tài)中的能量；求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為解定態(tài)Schr?dinger方程+定解條件構(gòu)成的本征值問題:

定解條件：波函數(shù)所滿足的邊界條件本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

484.求解定態(tài)問題的步驟（1）列出定態(tài)Schrodinger方程（2）利用邊界條件及波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量的本征值及本征函數(shù)（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第個(gè)本征值

的定態(tài)波函數(shù)49與無關(guān)5．定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時(shí)間無關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無關(guān)與無關(guān)判別定態(tài)的方法：（1）能量是否為確定值（2）幾率與時(shí)間無關(guān)（3）幾率流密度與時(shí)間無關(guān)50下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？（1）

（2）

（3）

思考題511、波函數(shù)基本條件單值性、有限性、連續(xù)性2、定態(tài)及定態(tài)薛定諤方程若薛定諤方程中U（r，t）不顯含時(shí)間，則可化為如下兩個(gè)方程前一節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)52由此可得，其解形式為該形式波函數(shù)所描述的態(tài)稱為定態(tài)，相應(yīng)的空間部分方程稱為定態(tài)薛定諤方程

定態(tài)的基本性質(zhì)（1）能量具有確定值（2）幾率與時(shí)間無關(guān)（3）幾率流密度與時(shí)間無關(guān)53通過定態(tài)薛定諤方程及邊界條件，可以解出波函數(shù)及相應(yīng)的能量，其解通常是一系列分立的譜系本征函數(shù)能量本征值這些解是方程的特解，其一般解為54§2.6一維無限深勢(shì)阱在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題（一維無限深勢(shì)阱，線性諧振子，勢(shì)壘貫穿）。（1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；（2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；

（4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。其好處主要有：55無限深勢(shì)阱-aa0U(x)考慮一維粒子的運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)能為:經(jīng)典情況：相當(dāng)于兩個(gè)非常堅(jiān)硬的墻壁（非常強(qiáng)大的斥力場(chǎng)），經(jīng)典粒子只能在墻壁內(nèi)來回反彈，不可能逃出勢(shì)阱量子力學(xué)研究方法：寫出體系的定態(tài)薛定諤方程，波函數(shù)在阱內(nèi)、外即全空間都要滿足該方程561．定態(tài)Schr?dinger方程哈密頓算符(1)(2)572．定態(tài)Schr?dinger方程的解因及有限，由（2）

（3）令（4）（1）

從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢(shì)壁。其通解為：（5）

利用的連續(xù)性，由（3）和（5）得58（8）

本征能量：（9）

該方程組是關(guān)于A、B的線性齊次方程，有非零解得條件為系數(shù)行列式為0，即

由此59當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

本征函數(shù)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

（10）

為偶數(shù)60（11）

為奇數(shù)(10)和(11)兩式統(tǒng)一寫成由歸一化條件求得歸一化常數(shù)61推導(dǎo):（取實(shí)數(shù)）（12）

歸一化的本征函數(shù)62or

由此可見：一維無限深勢(shì)阱粒子的每個(gè)定態(tài)波函數(shù)是由兩個(gè)沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波。3．對(duì)粒子的定態(tài)波函數(shù)意義的討論634．幾率幅與幾率密度曲線圖

下面為n=1、2、3、4時(shí)的波函數(shù)及相應(yīng)幾率密度曲線64從中可以看出以下的一些特性1、波函數(shù)及幾率密度曲線在x軸的節(jié)點(diǎn)數(shù)（波函數(shù)為0的點(diǎn)）為n-1，即第n個(gè)態(tài)的波函數(shù)與x軸節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-12、波函數(shù)具有確定的奇偶性，即確定的宇稱，這是由于勢(shì)阱具有空間反演對(duì)稱性造成的，且最低態(tài)為偶宇稱3、當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，體系的能量趨于連續(xù)，且粒子在阱內(nèi)各個(gè)位置出現(xiàn)幾率相同，且能量趨于連續(xù)，其行為類似于經(jīng)典粒子。65總結(jié)基態(tài)能量（1）能量取分離譜，即能量是量子化的。(2)粒子能量最低的態(tài)稱為基態(tài)與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)，因?yàn)椤办o止的波”是沒有意義的，亦即的態(tài)不存在，無意義。66（3）束縛態(tài)——通常將在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。67為偶數(shù)為奇數(shù)復(fù)習(xí)：無限深勢(shì)阱問題1、能量的本征值與本征函數(shù)682基本性質(zhì)（1）能量取分離譜，即能量是量子化的。（2）本征函數(shù)在x軸上的節(jié)點(diǎn)數(shù)（波函數(shù)為0的位置的個(gè)數(shù)）等于量子數(shù)減1。（3）體系的波函數(shù)具有確定的宇稱（4）體系處于束縛態(tài)——在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。69§2.7線性諧振子

在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力作用時(shí)，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子稱為（線性）諧振子。經(jīng)典允許的振動(dòng)范圍諧振子在運(yùn)動(dòng)中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。1.經(jīng)典諧振子諧振子哈密頓量：引言諧振子能量：70

量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的粒子2.量子諧振子

例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)是二者相對(duì)距離的函數(shù)，如圖所示。

自然界廣泛碰到簡諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動(dòng)。簡諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。71在處，有一極小值。在附近，勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0若取，即平衡位置處于勢(shì)點(diǎn)；并記，并作坐標(biāo)平移，則有72定態(tài)Schr?dinger方程：

1.Schr?dinger方程（1）

則方程改寫成令

（為待定常數(shù)）（2）

（3）

上式兩邊同除以73于是方程（2）可寫成（4）

2.方程的求解當(dāng)時(shí)，方程（4）的漸近形式為

（5）

方程（5）在處的有限解為

令方程（4）的解

（6）

代入方程（4）可得滿足的微分方程

74相應(yīng)于每一個(gè)n，方程的解由無窮級(jí)數(shù)退化為一個(gè)n階多項(xiàng)式，稱為厄米多項(xiàng)式,用Hn(ξ）表示

用常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法可以求出方程的解，但并非參數(shù)λ取任何值都能保證解H(ξ)有限，即方程的解有物理意義。計(jì)算表明，只有在λ取奇數(shù)的情況下，才能滿足這個(gè)條件，即：(8)（稱為厄密方程）(7)(9)厄密多項(xiàng)式75幾個(gè)厄密多項(xiàng)式：從上式可以看出，n階厄密多項(xiàng)式是n次多項(xiàng)式：(1)其最高項(xiàng)系數(shù)為2n；（2）厄米多項(xiàng)式要么為奇函數(shù)，要么為偶函數(shù)，且最低階為偶函數(shù)76厄密多項(xiàng)式的兩個(gè)常用公式（對(duì)材物不作要求）第一式證明由令λ=2n-1（1）77（2）（3）把（2）（3）代入（1）式得（4）又（5）由（4）（5）得78由歸一化條件(11)3.線性諧振子的能量本征函數(shù)歸一化常數(shù)的推導(dǎo)（對(duì)材物專業(yè)不作要求）由歸一化條件可得分步積分79分步積分80求得歸一化常數(shù)(12)(13)歸一化的本征函數(shù)而由此81本征波函數(shù)(14)4.線性諧振子的能量本征值由(2)和(9)式,即由和得本征能量:

(15)821能量的本征值：

（1）能量譜為分離譜，兩能級(jí)的間隔為

（2）基態(tài)能量：（又稱零點(diǎn)能）

零點(diǎn)能不等于零是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)，已被絕對(duì)零點(diǎn)情況下光被晶體散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。討論83基態(tài)能量：基態(tài)本征函數(shù)：2.基態(tài)在處的勢(shì)能：在范圍內(nèi)經(jīng)典動(dòng)能由幾率密度看出,粒子在處出現(xiàn)的幾率最大；在范圍內(nèi)，粒子出現(xiàn)的幾率不為零。對(duì)其它各能級(jí)狀態(tài)下的波函數(shù)可作類似的分析。

84

在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谔?，其?shì)能，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，經(jīng)典的粒子動(dòng)能不可以小于零，因此粒子被限制在內(nèi)。

可見，量子與經(jīng)典情況完全不同，這是由微觀粒子的波動(dòng)性確定的,這并不違反能量守恒定律，因?yàn)榱孔恿W(xué)中粒子的能量不再是位置的函數(shù)。3.具有宇稱

上式諧振子波函數(shù)說明體系的宇稱具有確定的奇偶性為854．本征函數(shù)與幾率密度8687n=10時(shí)諧振子的幾率密度

從以上本征函數(shù)與幾率密度曲線圖看出，量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒有節(jié)點(diǎn)。88經(jīng)典諧振子的幾率密度

總結(jié)

以上討論的定態(tài)問題即一維無限深勢(shì)阱及諧振子問題都屬于束縛態(tài)問題，其特點(diǎn)是波函數(shù)分布在有限范圍內(nèi)，即無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為0，且能量取分立值

89諧振子內(nèi)容復(fù)習(xí)定態(tài)Schr?dinger方程：

能量的本征值：

本征函數(shù)：

90是厄密多項(xiàng)式諧振子的波函數(shù)具有確定的宇稱，且為束縛態(tài)91量子諧振子與經(jīng)典諧振子的區(qū)別（1)相比于經(jīng)典諧振子，量子諧振子存在零點(diǎn)能（2)相比于經(jīng)典諧振子，量子諧振子可以進(jìn)入經(jīng)典禁區(qū)以上兩點(diǎn)區(qū)別本質(zhì)上源于微觀粒子的波動(dòng)性，因?yàn)椤办o止的”波是不存在的，另外由于粒子位置不能精確確定，“粒子在某一點(diǎn)能量、勢(shì)能、動(dòng)能”的說法是沒有意義的，所以經(jīng)典能量關(guān)系式不再有意義，因此不能用經(jīng)典能量關(guān)系式判斷粒子能否進(jìn)入某一區(qū)域92§2.8

勢(shì)壘貫穿一維無限深勢(shì)阱以及諧振子問題中，體系的勢(shì)能在無窮遠(yuǎn)處為無限大，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為0，這個(gè)條件使得體系的能級(jí)是分立的，體系屬于束縛態(tài)。這一節(jié)討論的問題是勢(shì)能在無窮遠(yuǎn)處為有限值的情況，這時(shí)粒子可以在無窮遠(yuǎn)處出現(xiàn)，波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處可以不為零，由于沒有邊界條件的限制，體系能量可以取任意值，即組成連續(xù)譜。93設(shè)粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為經(jīng)典情況：無窮遠(yuǎn)處過來的粒子，若總能量小于勢(shì)能，則粒子被反彈回去，若能量大于勢(shì)能則粒子能穿過勢(shì)壘

量子力學(xué)情況，粒子具有波動(dòng)性，運(yùn)動(dòng)情況需要通過解薛定諤波動(dòng)方程獲得，所解得的波函數(shù)滿足整個(gè)空間的薛定諤方程1.勢(shì)壘問題中的定態(tài)定薛諤方程94（1）E>U0情形0aV(x)V0IIIIIIE令

假設(shè)一個(gè)粒子從無窮遠(yuǎn)處射向勢(shì)壘，它相當(dāng)于一列波向勢(shì)壘傳播。在勢(shì)壘不同區(qū)域，體系波函數(shù)滿足以下的定態(tài)方程

95則方程變?yōu)榉謪^(qū)求解ⅠⅡⅢ2.方程的求解向右傳播的入射平面波向左傳播的反射平面波由左向右的透射波因Ⅲ區(qū)無由右向左傳播的平面波，故三式均為兩個(gè)左右傳播的平面波的疊加96可得透射波振幅及反射波振幅與入射波振幅間的關(guān)系聯(lián)立這四個(gè)方程式，并消除與（4）在勢(shì)能有限的情況下，不僅波函數(shù)連續(xù)，其一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)97（5）以下是對(duì)兩式推導(dǎo),對(duì)以下（7）（8）（9）進(jìn)行變形可得（6）（7）（8）（9）（10）98（11）（12）由（6）+（10）可得（13）由（11）+（12）可得（15）由（6）-（10）可得（14）99（16）把（15）（16）分別代入（13）（14）可得（17）（18）解（17）（18）可得關(guān)系式（4）（5）以下求入射粒子被反射及透射的概率100利用幾率流密度公式:求得入射波

的幾率流密度

透射波的幾率流密度

反射波的幾率流密度

101

為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3.透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)（6）反射系數(shù)（7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到的III區(qū)域，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。表明粒子數(shù)守恒

它們的物理意義表示：入射粒子被勢(shì)壘透射以及反射的幾率102（2）E<U0情形

是虛數(shù)Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是實(shí)數(shù)其中在(4)和(6)式中，把換為

，得到透射波振幅:

（8）103透射系數(shù):

（9）隧道效應(yīng)（tunneleffect）

粒子能夠穿透比它能量更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢(shì)壘穿透的波動(dòng)圖象。此結(jié)果表明，即使，透射系數(shù)一般不等于零。0aV(x)V0入射波+反射波透射波x同樣，勢(shì)壘貫穿也是經(jīng)典理論無法理解的104當(dāng)