靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題-03-1

FieldandWaveElectromagnetic電磁場(chǎng)與電磁波2011.10.10作業(yè)情況1班：人2班：人合計(jì)：人情況:1.

電場(chǎng)強(qiáng)度2.

真空中的靜電場(chǎng)點(diǎn)電荷復(fù)習(xí)電偶極子的電矩xPzyrO3.

電位電位的數(shù)學(xué)表示電位差的數(shù)學(xué)表示電荷q有P1點(diǎn)移至P2點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力作的總功為4.介質(zhì)極化6.and7.邊界條件

5.介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程

9.電場(chǎng)能量

8.電容若電荷分布已知，計(jì)算靜電場(chǎng)的三種方法是，直接根據(jù)電荷分布計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度通過(guò)電位求出電場(chǎng)強(qiáng)度利用高斯定律計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)電荷xPzyrOabqabq第三章靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題

主要內(nèi)容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。1.電位微分方程

2.鏡像法

3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法4.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

5.球坐標(biāo)系中的分離變量法

1.電位微分方程已知電位

與電場(chǎng)強(qiáng)度E

的關(guān)系為

對(duì)上式兩邊取散度，得對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度E

的散度為

那么，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

InCartesiancoordinates:Insphericalcoordinates:Incylindricalcoordinates:拉普拉斯方程對(duì)于無(wú)源區(qū)，，上式變?yōu)?/p>

已知分布在V

中的電荷在無(wú)限大的自由空間產(chǎn)生的電位為上式為泊松方程在自由空間的特解。

利用格林函數(shù)可以求出泊松方程在有限空間的通解。

靜電場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件初始條件邊界條件數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨時(shí)間和空間的變化特性。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題。此處邊界條件實(shí)際上是指給定的邊值，它不同于前一章描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量變化的邊界條件。根據(jù)已知區(qū)域邊界條件（定解條件）的不同，電位邊值問(wèn)題分為三類：第一類是給定區(qū)域邊界上的電位值，這類問(wèn)題又稱為狄里赫利(Dirichlet)問(wèn)題第二類是給定區(qū)域邊界上的電位的法向?qū)?shù)值，又稱為紐曼(Neumann)問(wèn)題第三類是混合邊值問(wèn)題，在區(qū)域的一部分邊界上給定電位值，另一部分邊界上給定電位的法向?qū)?shù)值。

表明:

在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。用電位函數(shù)

表示分界面上的銜接條件

設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，d→0,則電位的銜接條件在分界面兩側(cè)：電位法向?qū)?shù)發(fā)生躍變邊值問(wèn)題研究方法計(jì)算法解析法積分變換法分離變量法鏡像法（電軸法）微分方程法保角變換法實(shí)驗(yàn)法作圖法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法數(shù)值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法半解析法/半數(shù)值法格林函數(shù)法Example1.一維泊松方程的解ThetwometalplateshavinganareaAandaseparationdformaparallel-platecapacitor.TheupperplateisheldatpotentialofV0

,andthelowerplateisgrounded.Determine(a)thepotentialdistribution(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedistributiononeachplate(d)the

capacitanceoftheparallel-platecapacitorSolution:Choose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位V只是隨高度z的變化而變化4.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）3.方程的通解Example2.

The

inner

conductorofradius

a

ofa

coaxialcable

isheldatapotentialof

V0whiletheouterconductorofradius

b

isgroundedDetermine(a)the

potentialdistributionbetweentheconductors

(b)the

electricfieldintensity(c)the

chargedensity

ontheinnerconductor

(d)the

capacitanceofthe

perunitlengthChoose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.Solution:4.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）

3.方程的通解Example3

Theupperandlowerconductingplatesofalargeparallel-platecapacitorareseparatedbyadistancedandmaintainedatpotentialsV0and

0respectively.Adielectricslabofdielectricconstantanduniformthickness

0.8d

isplacedoverthelowerplate.?EandD

yxD2D1E2E1(1)

求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域(2)

分區(qū)：由于填充兩種介質(zhì)，因此場(chǎng)量在分界面上會(huì)發(fā)生突變，因此，分成兩個(gè)子區(qū)域(3)

建立坐標(biāo)系：豎直向上為y軸方向，建立坐標(biāo)系(4)

場(chǎng)分布分析：在兩種介質(zhì)中都是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位V只是隨高度y的變化而變化V(y)，而與x，z無(wú)關(guān)，(5)

寫(xiě)出場(chǎng)方程與邊界條件：待求量是兩個(gè)區(qū)域的電位V1

、V2，場(chǎng)方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（無(wú)源）

yxD2D1E2E1區(qū)域1：區(qū)域2：yxD2D1E2E1

寫(xiě)出通解：一維邊值問(wèn)題電位的邊界條件，兩個(gè)介質(zhì)的銜接條件：yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yxD2D1E2E1yQdHalf－spaceproblemExample.

Considerthecaseofa

positivepointcharge

Q,locatedatadistancedabovealarge

grounded(zero-potential)conductingplane.

Theproblemistofindthepotentialateverypointabovetheconductingplane(y>0).(1)chap2：感應(yīng)電荷很難求(2)直接解方程:yQdHalf－spaceproblem點(diǎn)電荷＆感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，靜態(tài)平衡后，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，電力線與其正交。而這種電力線的分布與以xoz平面為對(duì)稱面，在（0，d，0）處點(diǎn)電荷Q，（0，－d，0）處有－Q的一對(duì)點(diǎn)電荷在x>0空間的電力線分布相似。(3)另辟蹊徑：(等效原理)感應(yīng)（極化）電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，由假想的簡(jiǎn)單電荷（像點(diǎn)電荷線電荷等）分布產(chǎn)生的場(chǎng)來(lái)等效(4)問(wèn)題：引入像電荷后求得的場(chǎng)，是不是原問(wèn)題的場(chǎng)？判斷的依據(jù)

（靜電場(chǎng)的唯一性定理）是不是滿足原問(wèn)題的場(chǎng)方程＆邊界條件？uniquenesstheorem：meansthatasolutionofPoisson’sequation(ofwhichLaplace’sequationisaspecialcase)thatsatisfiesthegivenboundaryconditionsisauniquesolution.(滿足邊界條件的泊松方程的解是惟一的)

Itdoesnotmeanthatonlyonemethodcanbeusedtoobtainthesolutionoftheelectrostaticproblem.(不止一種方法求解)Theimplicationoftheuniquenesstheoremisthatasolutionofanelectrostaticproblemwithitsboundaryconditionsistheonlypossiblesolution

irrespectiveofthemethodbywhichthesolutionisobtained.(不管用什么方法得到的利用邊界條件求的方程的解都是正確的惟一解)Asolutionobtainedevenbyintelligentguessingistheonlycorrectsolution(甚至猜測(cè)得到的解也是正確的惟一解)

靜電場(chǎng)的惟一性定理電位滿足的泊松方程在給定第一類邊界條件或第二類邊界條件時(shí)，也就是邊界上的電位或者電位的法向?qū)?shù)值給定時(shí)，其解是唯一的。對(duì)于導(dǎo)體邊界的靜電場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)邊界上的電位或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷分布給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)被惟一性地確定，這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性定理。ImageChargeImagemethod

V(x,0,z)=0yQ–Q根據(jù)場(chǎng)疊加原理，寫(xiě)出點(diǎn)電荷和像電荷在上半空間任意一點(diǎn)P處產(chǎn)生的場(chǎng)的表達(dá)式判斷的條件：等效問(wèn)題的場(chǎng)就是原問(wèn)題的場(chǎng)2.鏡像法

實(shí)質(zhì):以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變成無(wú)限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉?lái)的邊界條件。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

（1）點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

以一個(gè)鏡像點(diǎn)電荷q'代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

無(wú)限大導(dǎo)體平面的電位為零

電場(chǎng)線與等位面的分布特性與電偶極子的上半部分完全相同。電場(chǎng)線等位線z*根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電荷量應(yīng)該等于導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。*上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。

介質(zhì)

導(dǎo)體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

q

對(duì)于半無(wú)限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個(gè)鏡像電荷。

/3/3q3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開(kāi)式為

令式中左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量x

求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對(duì)x

的導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。代入上式，兩邊再除以，得

同理，再分別對(duì)變量y

及z

求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為，求得式中kx

，ky

，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方程由上可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)變量分離后，三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同?；蛘呤街蠥,B,C,D為待定常數(shù)。例如，含變量x

的常微分方程的通解為當(dāng)kx為虛數(shù)時(shí)，令，則上述通解變?yōu)?/p>

或者含變量x

或y

的常微分方程的解完全相同。解中待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。

這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。例兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導(dǎo)電平面封閉，且與半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。Odxy

=0

=0

=0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榻膺x取直角坐標(biāo)系。槽中電位分布與z無(wú)關(guān)，這是一個(gè)二維場(chǎng)的問(wèn)題。應(yīng)用分離變量法，令為了滿足及，Y(y)

的解應(yīng)為