第5章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第五章

測(cè)量誤差基礎(chǔ)知識(shí)一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因一.產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因產(chǎn)生測(cè)量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗(yàn),等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光)

結(jié)論：觀測(cè)誤差不可避免(粗差除外)觀測(cè)條件:

上述三大因素總稱為觀測(cè)條件等精度觀測(cè):在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各次觀測(cè)（一般指相同等級(jí)儀器、相同作業(yè)方法，這種觀測(cè)值也稱等精度觀測(cè)值），稱為等精度觀測(cè)。§5-1測(cè)量誤差概述二、測(cè)量誤差的分類與對(duì)策（一）測(cè)量誤差分類1.系統(tǒng)誤差:在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長(zhǎng)誤差Dk

鋼尺溫度誤差Dt

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C……處理方法計(jì)算改正計(jì)算改正操作時(shí)抵消(前后視等距)操作時(shí)抵消(盤(pán)左盤(pán)右取平均)

……系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響很大，但它們的符號(hào)和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱其影響。通常可采用以下三種方法：

1）測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，對(duì)觀測(cè)值加以改正

2）采用對(duì)稱觀測(cè)的方法

3）儀器檢校2.偶然誤差:在相同的觀測(cè)條件下，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒(méi)有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差。粗差：也稱為錯(cuò)誤，是由于觀測(cè)者使用儀器不正確或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽(tīng)錯(cuò)、算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。3、粗差粗差在測(cè)量結(jié)果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施或進(jìn)行多余觀測(cè)。測(cè)量誤差可以通過(guò)“多余觀測(cè)”反映出來(lái)。（二）處理原則粗差:細(xì)心，多余觀測(cè)系統(tǒng)誤差:找出規(guī)律，加以改正偶然誤差:多余觀測(cè)，制定限差如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對(duì)同一量觀測(cè)了n次觀測(cè)值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的精度？三.偶然誤差的特性

1.偶然誤差的定義：

設(shè)某一量的真值為X，對(duì)該量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值，則產(chǎn)生了n個(gè)真誤差：真誤差真值觀測(cè)值例如：對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為:i=180–(i+i+i)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差i的規(guī)律。誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)

有界性：偶然誤差應(yīng)小于限值。趨向性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的平均值的極限趨近于零。偶然誤差的特性

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時(shí)存在的。當(dāng)觀測(cè)值中有顯著的系統(tǒng)誤差時(shí)，偶然誤差就居于次要地位，觀測(cè)誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)誤差的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然誤差的性質(zhì)。因此，對(duì)一組剔除了粗差的觀測(cè)值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性對(duì)該組觀測(cè)值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱為最或是值；同時(shí)，評(píng)定觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評(píng)定精度。這項(xiàng)工作在測(cè)量上稱為測(cè)量平差，簡(jiǎn)稱平差。結(jié)論3.平均誤差2.中誤差:在等精度觀測(cè)列中，各真誤差平方的平均數(shù)的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即中誤差的幾何意義：偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)?！?-2衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)1.標(biāo)準(zhǔn)差：它要求觀測(cè)個(gè)數(shù)無(wú)限多次、還需知道真值；實(shí)際工作中無(wú)法實(shí)現(xiàn)。按觀測(cè)值的真誤差計(jì)算中誤差m1較小,誤差分布比較集中，觀測(cè)值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測(cè)值精度較低。兩組觀測(cè)值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6對(duì)于衡量精度來(lái)說(shuō)，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量。例如，測(cè)得某兩段距離，一段長(zhǎng)200m，另一段長(zhǎng)1000m，觀測(cè)值的中誤差均為±0.2m

。從表面上看，似乎二者精度相同，但就單位長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，二者的精度并不相同。這時(shí)應(yīng)采用另一種衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，即相對(duì)誤差。2相對(duì)誤差相對(duì)誤差：是中誤差與觀測(cè)值之比，是個(gè)無(wú)量綱數(shù)，在測(cè)量上通常將其分子化為1。即用K=1/N的形式來(lái)表示。上例前者的相對(duì)中誤差為0.2/200=1/1000，后者為0.2/1000=1/5000。顯然，相對(duì)中誤差愈?。ǚ帜赣螅?，說(shuō)明觀測(cè)結(jié)果的精度愈高，反之愈低。相對(duì)中誤差的分子也可以是閉合差（如量距往返量測(cè)的兩個(gè)結(jié)果的較差）或容許誤差，這時(shí)分別稱為相對(duì)閉合差及相對(duì)容許誤差。與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，中誤差、極限（容許）誤差等稱為絕對(duì)誤差。返回三、極限誤差在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值，這個(gè)限值就是極限誤差。標(biāo)準(zhǔn)差或中誤差是衡量觀測(cè)精度的一種指標(biāo)，它不能代表個(gè)別觀測(cè)值真誤差的大小。四、容許誤差前者要求較寬，后者要求較嚴(yán)，觀測(cè)值大于實(shí)施誤差的偶然誤差，應(yīng)舍去，并重測(cè)。在實(shí)際測(cè)量工作中，以三倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為容許誤差，即在對(duì)精度要求較高時(shí)，常取二倍中誤差作為容許誤差，即§5.3誤差傳播定律在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而需要由其它的直接觀測(cè)值按一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。即觀測(cè)其它未知量，并通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算求得的。非線性函數(shù)由于獨(dú)立觀測(cè)值存在誤差，導(dǎo)致其函數(shù)也必然存在誤差，這種關(guān)系稱為誤差傳播。表述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)的中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)誤差傳播定律：一.觀測(cè)值的函數(shù)和或差函數(shù)例：高差平均距離實(shí)地距離三角邊線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)……倍數(shù)函數(shù)：Z=KX則例1： 在1：500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離 d=234.5mm, 其中誤差md=±0.2mm

，求該兩點(diǎn)的 地面水平距離D的值及其中誤差mD解:§5.3.1倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)Z=X1+X2

且X1、X2獨(dú)立例2： 已知當(dāng)水準(zhǔn)儀距標(biāo)尺75m時(shí)，一次讀數(shù)中誤差為 （包括照準(zhǔn)誤差、氣泡置中誤差及水準(zhǔn)標(biāo)尺刻劃中誤差），若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)n站所得高差閉合差的容許誤差。§5.3.2和函數(shù)解：水準(zhǔn)測(cè)量每一站高差：則每站高差中誤差觀測(cè)n站所得總高差則n站總高差h的總誤差若以三倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為例3：用DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測(cè)角度一測(cè)回的測(cè)角中誤差解：∵已知DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀一個(gè)測(cè)回一個(gè)方向的中 誤差mα=±6″

∴由得∴線性函數(shù)Z=K1X1+K2X2+….+KnXn+K0例： 設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中α、β兩個(gè)角， 測(cè)角中誤差分別為mα=±3.5″，mβ=±6.2″解：§5.3.3線性函數(shù)現(xiàn)按公式γ=180°-α-β

求得γ

角，試求γ角的中誤差mγ

一般函數(shù)§5.3.4一般函數(shù)例4：函數(shù)式，測(cè)得求的中誤差。解：返回觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

例1已知某矩形長(zhǎng)a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對(duì)函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫(xiě)出中誤差式。解：例2量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度

=168.5mm0.2mm,

計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式例3已知有求：錯(cuò)誤例3已知

有；求：例4

在地面上有一矩形ABCD，AB＝40.38m±0.03m，BC＝33.42m±0.02m，求面積及其中誤差。解設(shè)AB＝a＝40.38m，ma＝±0.03m，BC＝

b＝33.42m，mb＝±0.02m

面積計(jì)算如下：

對(duì)函數(shù)式求其偏導(dǎo)數(shù)得面積中誤差根據(jù)公式得：例5

如圖5-1，測(cè)得AB的垂直角為α＝30?00′00″±30″，平距AC為D＝200.00m±0.05m，求A、B兩點(diǎn)間高差h及其中誤差mh。解

A、B兩點(diǎn)間高差為對(duì)函數(shù)式求其偏導(dǎo)數(shù)得

由式（5-31），得高差的中誤差為解：由題意：每個(gè)角的測(cè)角中誤差：由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：例6：要求三角形最大閉合差

，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差。DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：例7：已知直線MP的坐標(biāo)方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差、，以及P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差。測(cè)量平差：對(duì)一系列帶有多余觀測(cè)值的觀測(cè)值，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法，消除它們之間的不符值，求出未知量的可靠值，并評(píng)定觀測(cè)結(jié)果的精度。而未知量的這個(gè)最可靠值叫最或是值。如果對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，就叫直接觀測(cè)平差?！?.4等精度直接觀測(cè)平差§5.4.1求最或是值設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，其真值為X，觀測(cè)值為，相應(yīng)的真誤差為則...

相加除以n式中：L為算術(shù)平均值根據(jù)偶然誤差第四個(gè)特征， 即當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限多時(shí)，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，可以認(rèn)為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值，稱為最或是值或最或然值，用最或是值作為未知量真值的估值?！?.4.2評(píng)定精度1、觀測(cè)值中誤差同精度觀測(cè)值中誤差為：由于未知量的真值X無(wú)法確知，真誤差

也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。實(shí)際工作中，多利用觀測(cè)值的改正數(shù)（其意義等同于最或是誤差）來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。改正數(shù)：由改正數(shù)可以計(jì)算同精度觀測(cè)值中誤差：改正值的特性2、最或是值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值為，觀測(cè)值中誤差為m，最或是值為L(zhǎng)。有按中誤差傳播關(guān)系式故例：設(shè)對(duì)某角進(jìn)行了5次同精度觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果如下表，試求其觀測(cè)值的中誤差，及最或是值的中誤差。觀測(cè)值+30+1-3-190191觀測(cè)值中誤差最或是值中誤差為返回小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則似真值：二、中誤差二、中誤差似真誤差例6距離誤差例：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測(cè)值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差：凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。*§5-5不等精度直接觀測(cè)平差在對(duì)某量進(jìn)行不同精度觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差不同。顯然，不能將具有不同可靠程度的各觀測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單地取算術(shù)平均值作為最或是值并評(píng)定精度。此時(shí)，需要選定某一個(gè)比值來(lái)比較各觀測(cè)值的可靠程度，此比值稱為權(quán)。不等精度的直接觀測(cè)，考慮的是觀測(cè)條件不同的時(shí)候，而不同條件下觀測(cè)條件的可靠性不同，這個(gè)可靠性可以用權(quán)值P來(lái)表達(dá)。而不等精度觀測(cè)值，它們的最或是值是這組觀測(cè)值的加權(quán)平均值?！?.5.1權(quán)的定義設(shè)一組不同精度觀測(cè)值為，相應(yīng)的中誤差為，選定任一大于零的常數(shù)λ

，定義權(quán)為：一定的觀測(cè)條件，對(duì)應(yīng)著一定的誤差分布，而一定的誤差分布對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的中誤差。對(duì)不同精度的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，顯然中誤差越小，精度越高，觀測(cè)結(jié)果越可靠，因而應(yīng)具有較大的權(quán)。故可以用中誤差來(lái)定義權(quán)。稱為觀測(cè)值的權(quán)。對(duì)一組已知中誤差的觀測(cè)值而言，選定一個(gè)λ值，就有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)。由式（6-17）可以定出個(gè)觀測(cè)值的權(quán)之間的比例關(guān)系為§5.5.2求不同精度觀測(cè)值的最或是值 ---加權(quán)平均值設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次不同精度觀測(cè)，觀測(cè)值為，其相應(yīng)的權(quán)為，測(cè)量上取加權(quán)平均值為該量的最或是值，即§5.5.3不同精度觀測(cè)的精度評(píng)定1、最或是值的中誤差2、單位權(quán)觀測(cè)中誤差例：在水準(zhǔn)測(cè)量中，已知從三個(gè)已知高程點(diǎn)A、B、C出發(fā)，測(cè)量E點(diǎn)的三個(gè)高程觀測(cè)值，為各水準(zhǔn)路線的長(zhǎng)度，求E點(diǎn)高程的最或是值及其中誤差。解：取各水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度的倒數(shù)乘以C為權(quán)，并令C=1，計(jì)算如下表測(cè)段高程觀測(cè)值

/m水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6E點(diǎn)高程的最或是值為單位權(quán)觀測(cè)值中誤差為最或是值中誤差為返回加權(quán)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的算例例：對(duì)