第8講 第七章 參數(shù)估計(jì)

第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)第二節(jié) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)第四節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)概念求估計(jì)量的方法課堂練習(xí)小結(jié)

引言上一章，我們介紹了總體、樣本、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理.它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).

總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機(jī)抽樣

現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).參數(shù)估計(jì)估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的體重估計(jì)湖中魚數(shù)……估計(jì)降雨量在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù).這類問題稱為參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì),或估計(jì)的某個(gè)已知函數(shù).現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體,總體的分布函數(shù)為F(x,)，其中為未知參數(shù)(可以是向量).

參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（假定身高服從正態(tài)分布）設(shè)這5個(gè)數(shù)是:1.651.671.681.781.69估計(jì)為1.68，這是點(diǎn)估計(jì).這是區(qū)間估計(jì).估計(jì)在區(qū)間[1.57,1.84]內(nèi)，例如我們要估計(jì)某隊(duì)男生的平均身高.現(xiàn)從該總體選取容量為5的樣本，我們的任務(wù)是要根據(jù)選出的樣本（5個(gè)數(shù)）求出總體均值的估計(jì).而全部信息就由這5個(gè)數(shù)組成.一、點(diǎn)估計(jì)概念隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒,…得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應(yīng)如何估計(jì)和而全部信息就由這100個(gè)數(shù)組成.例1

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重,未知

為估計(jì):我們需要構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臉颖镜暮瘮?shù)T(X1,X2,…Xn)

，每當(dāng)有了樣本，就代入該函數(shù)中算出一個(gè)值，用來作為的估計(jì)值.把樣本值代入T(X1,X2,…Xn)

中，估計(jì)值

.T(X1,X2,…Xn)

稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，得到

的一個(gè)點(diǎn)我們知道,若,由大數(shù)定律,自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個(gè)估計(jì).樣本體重的平均值則.用樣本體重的均值估計(jì).類似地，用樣本體重的方差估計(jì).使用什么樣的統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)？可以用樣本均值;也可以用樣本中位數(shù);還可以用別的統(tǒng)計(jì)量.問題是:二、尋求估計(jì)量的方法1.矩估計(jì)法2.極大似然法3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這里我們主要介紹前面兩種方法.1.矩估計(jì)法矩估計(jì)法是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽定理,若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).

這表明

,當(dāng)樣本容量很大時(shí)

,在統(tǒng)計(jì)上,可以用用樣本矩去估計(jì)總體矩.這一事實(shí)導(dǎo)出矩估計(jì)法.定義用樣本原點(diǎn)矩估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩,又用樣本原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體原點(diǎn)矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點(diǎn)估計(jì)法稱為矩估計(jì)法

.理論依據(jù):大數(shù)定律矩估計(jì)法的具體做法如下設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù),那么它的前k階矩,一般都是這k個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為：i=1,2,…,k從這k個(gè)方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k那么用諸的估計(jì)量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計(jì)量：矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值

.例2

設(shè)總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來自X

的樣本,試求a,b

的矩估計(jì)量.解

即

解得于是a,b的矩估計(jì)量為樣本矩總體矩解

例3

設(shè)總體X的均值和方差都存在,未知.是來自X

的樣本,試求的矩估計(jì)量.解得于是的矩估計(jì)量為樣本矩總體矩

矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時(shí)，選取那些總體矩用相應(yīng)樣本矩代替帶有一定的隨意性.

2.最大似然法它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個(gè)方法通常歸功于英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾.費(fèi)歇爾在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).最大似然法的基本思想先看一個(gè)簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學(xué)與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會(huì)如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下.你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率.看來這一槍是獵人射中的.這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法的基本思想.

最大似然估計(jì)原理：當(dāng)給定樣本X1,X2,…Xn時(shí)，定義似然函數(shù)為：設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為f(x1,x2,…,xn

;).f(x1,x2,…,xn;

)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.似然函數(shù)：

最大似然估計(jì)法就是用使達(dá)到最大值的去估計(jì).稱為的最大似然估計(jì)值.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.

f(x1,x2,…,xn;)而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為的最大似然估計(jì)量.兩點(diǎn)說明：

1、求似然函數(shù)L(

)

的最大值點(diǎn)，可以應(yīng)用微積分中的技巧。由于ln(x)是

x的增函數(shù),lnL()與L()在

的同一值處達(dá)到它的最大值，假定是一實(shí)數(shù)，且lnL()是的一個(gè)可微函數(shù)。通過求解方程：可以得到的MLE.若是向量，上述方程必須用方程組代替.

2、用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的MLE有時(shí)行不通，這時(shí)要用最大似然原則來求.L(p)=f(x1,x2,…,xn;p)下面舉例說明如何求最大似然估計(jì)

例5

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X~B(1,p)的一個(gè)樣本，求參數(shù)p的最大似然估計(jì)量.解：似然函數(shù)為:對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：即為p

的最大似然估計(jì)值

.對(duì)p求導(dǎo)并令其為0，=0得從而

p

的最大似然估計(jì)量為

(4)在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中,用樣本值代入就得參數(shù)的最大似然估計(jì)值

.求最大似然估計(jì)(MLE)的一般步驟是：

(1)由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度);

(3)求似然函數(shù)L()的最大值點(diǎn)(常常轉(zhuǎn)化為求ln

L()的最大值點(diǎn))，即

的MLE;

(2)把樣本聯(lián)合分布率(或聯(lián)合密度)中自變量看成已知常數(shù),而把參數(shù)看作自變量,得到似然

函數(shù)L();

例6

設(shè)總體X~N(),未知.是來自X

的樣本值,試求的最大似然估計(jì)量.似然函數(shù)為解X的概率密度為于是令解得的最大似然估計(jì)量為解：似然函數(shù)為例7

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本其中>0,求的最大似然估計(jì).i=1,2,…,n對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解：似然函數(shù)為i=1,2,…,n對(duì)分別求偏導(dǎo)并令其為0,=0(2)由(1)得=0

(1)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為用求導(dǎo)方法無法最終確定用最大似然原則來求.對(duì)是故使達(dá)到最大的即的MLE于是

取其它值時(shí)，即為的MLE.且是的增函數(shù)第二次捕出的有記號(hào)的魚數(shù)X是r.v,X具有超幾何分布：為了估計(jì)湖中的魚數(shù)N，第一次捕上r條魚，做上記號(hào)后放回.隔一段時(shí)間后,再捕出S

條魚

,結(jié)果發(fā)現(xiàn)這S條魚中有k條標(biāo)有記號(hào).根據(jù)這個(gè)信息，如何估計(jì)湖中的魚數(shù)呢？最后，我們用最大似然法估計(jì)湖中的魚數(shù)應(yīng)取使L(N;k)達(dá)到最大的N，作為N的極大似然估計(jì).但用對(duì)N求導(dǎo)的方法相當(dāng)困難,我們考慮比值：把上式右端看作N的函數(shù)，記作L(N;k).經(jīng)過簡單的計(jì)算知，這個(gè)比值大于或小于1，或而定.由經(jīng)過簡單的計(jì)算知，這個(gè)比值大于或小于1，或而定.由這就是說，當(dāng)N增大時(shí)，序列P(X=k;N)先是上升而后下降;當(dāng)N為小于的最大整數(shù)時(shí),達(dá)到最大值.故N的極大似然估計(jì)為

例1

設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù),X1,X2,…,Xn

是取自X的樣本,求參數(shù)

的矩估計(jì).三、課堂練習(xí)

例1

設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù),X1,X2,…,Xn

是取自X的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì).解

樣本矩總體矩解得的矩估計(jì)量為故解由密度函數(shù)知例

2

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本其中>0,求的矩估計(jì).具有均值為的指數(shù)分布即E(X-)=

D(X-)=

E(X)=

D(X)=故解得也就是

E(X)=

D(X)=的矩估計(jì)量為于是解似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為例3設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X的一個(gè)樣本求的最大似然估計(jì)值.其中

>0,求導(dǎo)并令其為0=0從中解得即為的最大似然估計(jì)值

.對(duì)數(shù)似然函數(shù)為這一節(jié)，我們介紹了參數(shù)點(diǎn)估計(jì),給出了尋求估計(jì)量最常用的矩法和極大似然法.參數(shù)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)確定的值去估計(jì)未知的參數(shù).看來似乎精確，實(shí)際上把握不大.四、小結(jié)第二節(jié)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性相合性小結(jié)樣本均值是否是的一個(gè)好的估計(jì)量？(2)怎樣決定一個(gè)估計(jì)量是否比另一個(gè)估計(jì)量“好”？樣本方差是否是的一個(gè)好的估計(jì)量？這就需要討論以下幾個(gè)問題:(1)我們希望一個(gè)“好的”估計(jì)量具有什么特性？(3)如何求得合理的估計(jì)量？X~N()估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)在介紹估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)之前，我們必須強(qiáng)調(diào)指出：評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞，不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果，而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來衡量.這是因?yàn)楣烙?jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量.因此，由不同的觀測結(jié)果，就會(huì)求得不同的參數(shù)估計(jì)值.因此一個(gè)好的估計(jì)，應(yīng)在多次試驗(yàn)中體現(xiàn)出優(yōu)良性.

常用的幾條標(biāo)準(zhǔn)是：1．無偏性2．有效性3．相合性這里我們重點(diǎn)介紹前面兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn).估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值.我們希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng)，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值.這就導(dǎo)致無偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn).一、無偏性則稱為的無偏估計(jì)

.設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若例如，用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí)，雖無法說明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機(jī)地在0的周圍波動(dòng)，對(duì)同一統(tǒng)計(jì)問題大量重復(fù)使用不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.無偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見而重要的要求.無偏性的實(shí)際意義是指沒有系統(tǒng)性的偏差.例1

設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布

,

其概率密度為為未知,X1,X2,…Xn是取自總體的一個(gè)樣本,試證

和都是參數(shù)的無偏估計(jì)量

.證所以是參數(shù)的無偏估計(jì)量

.而具有概率密度故知即也是參數(shù)的無偏估計(jì)量

.所以無偏估計(jì)以方差小者為好,這就引進(jìn)了有效性這一概念.的大小來決定二者誰更優(yōu).和一個(gè)參數(shù)往往有不止一個(gè)無偏估計(jì),若和都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，我們可以比較由于二、有效性D()≤D()則稱較有效.都是參數(shù)

的無偏估計(jì)量，若對(duì)任意，設(shè)和且至少對(duì)于某個(gè)上式中的不等號(hào)成立，故較有效.例2(續(xù)例1)

試證

當(dāng)n>1時(shí)的無偏估計(jì)量較有效.證故有而故有當(dāng)n>1時(shí),三、相合性任意，當(dāng)時(shí)依概率收斂于,則稱為的相合估計(jì)量.設(shè)是參數(shù)

的估計(jì)量，若對(duì)于為的相合估計(jì)量對(duì)于任意,有由辛欽定理若總體的數(shù)學(xué)期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).故為的相合估計(jì)量.

若為連續(xù)函數(shù),為的相合估計(jì)量.則有四、小結(jié)對(duì)于一個(gè)未知參數(shù)可以提出不同的估計(jì)量,因此自然提出比較估計(jì)量的好壞的問題，這就需要給出評(píng)定估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn).在本節(jié)中,介紹了評(píng)定估計(jì)量好壞的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn):無偏性、有效性、和相合性.第三節(jié)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法單側(cè)置信區(qū)間課堂練習(xí)小結(jié)

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.

譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000條.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信度或置信水平.習(xí)慣上把置信水平記作，這里是一個(gè)很小的正數(shù).例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.置信區(qū)間.稱區(qū)間為

的置信水平為的一、置信區(qū)間定義滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為的置信區(qū)間.和分別稱為置信下限和置信上限.若由樣本這里有兩個(gè)要求:可見，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).一但有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.

2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn).二、置信區(qū)間的求法設(shè),對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位點(diǎn).定義若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則有所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)分布的上分位數(shù)自由度為n的F分布的上分位數(shù)自由度為n1,n2的~N(0,1)選

的點(diǎn)估計(jì)為,求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例1

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解

尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得對(duì)于給定的置信水平,根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣??？從中解得對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使也可簡記為于是所求的置信區(qū)間為從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…Xn)

3.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T

的函數(shù)U(T,),且其分布為已知.

5.對(duì)“a<S(T,)<b”作等價(jià)變形,得到如下形式:即于是就是的100(

)％的置信區(qū)間.

4.對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)U(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a<U(T,)<b)=可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)U(T,),且U(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.

需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.例如，設(shè)X1,…,Xn

是取自

的樣本，求參數(shù)的置信水平為的置

~N(0,1)信區(qū)間.由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得P(a<U<b).~N(0,1)例如，由P(-1.96≤U≤1.96)=0.95我們得到均值的置信水平為的置信區(qū)間為由P(-1.75≤U≤2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長一些.置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間.任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a=-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長度為最短.a=-b即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長.也就是說，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長度就長，估計(jì)的精度就差.這是一對(duì)矛盾.實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長度短一些.三、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.

例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了.這時(shí),可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.定義稱為的置信水平為的單側(cè)置信下限.對(duì)于任意,滿足若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為的置信水平為的單側(cè)置信上限.對(duì)于任意,設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例2

從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差未知解的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值,對(duì)給定的置信水平

，確定分位點(diǎn)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即請(qǐng)自己畫一張表，將各種情況下的區(qū)間估計(jì)加以總結(jié).四、課堂練習(xí)隨機(jī)地取炮彈10發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差,炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.由解隨機(jī)地取炮彈10發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差,炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信區(qū)間.于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為這里可得到的置信水平為的置信區(qū)間為同學(xué)們可通過練習(xí)，掌握各種求未知參數(shù)的

置信區(qū)間的具體方法.這一節(jié)，我們介紹了區(qū)間估計(jì).五、小結(jié)

第四節(jié)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體的情況兩個(gè)總體的情況課堂練習(xí)小結(jié)一、單個(gè)總體的情況并設(shè)為來自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.均值的置信區(qū)間為已知可得到的置信水平為的置信區(qū)間為或?yàn)槲粗傻玫降闹眯潘綖榈闹眯艆^(qū)間為此分布不依賴于任何未知參數(shù)由或

例1

有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(以克計(jì))如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體均值的置信水平0.95為的置信區(qū)間.解這里于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為即方差的置信區(qū)間由可得到的置信水平為的置信區(qū)間為由可得到標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為的置信區(qū)間為

例2

有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(以克計(jì))如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平0.95為的置信區(qū)間.解這里于是得到的置信水平為的置信區(qū)間為即二、兩個(gè)總體的情況設(shè)已給定置信水平為,并設(shè)是來自第一個(gè)總體的樣本,是來自第二個(gè)總體的樣本,這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.且設(shè)分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值,為第一、二個(gè)總體的樣本方差

.兩個(gè)總體均值差的置信區(qū)間為已知因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以相互獨(dú)立.故或于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為為已知其中于是得到

的置信水平為的置信區(qū)間為其中例3