第6講 分支界限法

第6章分支限界法1廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)要點(diǎn)理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法2廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)要點(diǎn)通過(guò)應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。（1）單源最短路徑問(wèn)題（2）裝載問(wèn)題；（3）布線問(wèn)題（4）0-1背包問(wèn)題；（5）最大團(tuán)問(wèn)題；（6）旅行售貨員問(wèn)題（7）電路板排列問(wèn)題（8）批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題3廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹(shù)中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。

（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹(shù)。

4廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問(wèn)題的解空間樹(shù)。此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。5廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.1 分支限界法的基本思想常見(jiàn)的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。6廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明單源最短路徑問(wèn)題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

7廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.2 單源最短路徑問(wèn)題1.問(wèn)題描述下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問(wèn)題產(chǎn)生的解空間樹(shù)。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。8廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)2.算法思想解單源最短路徑問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來(lái)存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開(kāi)始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過(guò)程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。9廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)3.剪枝策略在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)。在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)剪去。10廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.2 單源最短路徑問(wèn)題

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束

dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列

MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);}//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

catch(OutOfBounds){break;}//優(yōu)先隊(duì)列空

}}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)11廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.3裝載問(wèn)題1.問(wèn)題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

12廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.3裝載問(wèn)題2.隊(duì)列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。13廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)2.隊(duì)列式分支限界法while(true){//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

if(Ew+w[i]<=c)//x[i]=1EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的

EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);//x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

if(Ew==-1){//同層結(jié)點(diǎn)尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

i++;}//進(jìn)入下一層}}14廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.3裝載問(wèn)題3.算法的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)表示將此集裝箱裝上船，右子樹(shù)表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹(shù)剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹(shù)成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹(shù)的時(shí)候更新bestw的值。15廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewt=Ew+w[i];

//左兒子結(jié)點(diǎn)的重量

if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)

if(wt>bestw)bestw=wt;//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列

if(i<n)Q.Add(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);

//可能含最優(yōu)解

Q.Delete(Ew);//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)右兒子剪枝

16廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.3裝載問(wèn)題4.構(gòu)造最優(yōu)解

為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹(shù)中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

classQNode{

QNode*parent;//指向父結(jié)點(diǎn)的指針

boolLChild;//左兒子標(biāo)志

Typeweight;//結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量17廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。4.構(gòu)造最優(yōu)解//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解for(intj=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}18廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.3裝載問(wèn)題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解裝載問(wèn)題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。活結(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹(shù)中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過(guò)它的優(yōu)先級(jí)。子集樹(shù)中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。

19廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.4布線問(wèn)題1.算法思想解此問(wèn)題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開(kāi)始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過(guò)的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。20廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.4布線問(wèn)題Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右

offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下

offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左

offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部

for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼設(shè)置邊界的圍墻21廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.4布線問(wèn)題for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線

Q.Add(nbr);}}找到目標(biāo)位置后，可以通過(guò)回溯方法找到這條最短路徑。22廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.50-1背包問(wèn)題算法的思想首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹(shù)和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問(wèn)題的最優(yōu)值。23廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.50-1背包問(wèn)題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft){

//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值i++;}if(i<=n)

b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)24廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.50-1背包問(wèn)題

while(i!=n+1){//非葉結(jié)點(diǎn)

//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)

Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);//檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)

if(up>=bestp)//右子樹(shù)可能含最優(yōu)解

AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}分支限界搜索過(guò)程25廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解0-1背包問(wèn)題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30FIFO隊(duì)列：A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BC{B,C}DEJKFGLMNO{C,E}{E,F,G}{F,G}{G}{}45502525026廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)一般情況下，解空間樹(shù)中第i層的每個(gè)結(jié)點(diǎn)，都代表了對(duì)物品1～i做出的某種特定選擇，這個(gè)特定選擇由從根結(jié)點(diǎn)到該結(jié)點(diǎn)的路徑唯一確定：左分支表示裝入物品，右分支表示不裝入物品。對(duì)于第i層的某個(gè)結(jié)點(diǎn)，假設(shè)背包中已裝入物品的重量是w，獲得的價(jià)值是v，計(jì)算該結(jié)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)上界的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是把已經(jīng)裝入背包中的物品取得的價(jià)值v，加上背包剩余容量c-w與剩下物品的最大單位重量?jī)r(jià)值vi+1/wi+1的積，于是，得到限界函數(shù)：

27廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解0-1背包問(wèn)題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30FIFO隊(duì)列，帶上界函數(shù)。A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BC{B,C}DEJKFGLM{C,E}{E,F,G}{F,G}{G}{}45502568.3>050>068.3>050>4525<5028廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解0-1背包問(wèn)題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30價(jià)值大者優(yōu)先隊(duì)列：A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BC{B,C}DEJKFGLMNO{E,C}{C}{F,G}{G}{}4550252504545250029廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解0-1背包問(wèn)題n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30價(jià)值上界大者優(yōu)先隊(duì)列，帶上界函數(shù)。A活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BC{B,C}DEJKFGLM{E,C}{C,K}{F,K,G}{L,K,G}L為葉子結(jié)點(diǎn)，算法結(jié)束。455068.368.3505068.3>4550>4545=4525<502530廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.6最大團(tuán)問(wèn)題給定無(wú)向圖G=(V，E)。如果UV，且對(duì)任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。

1.問(wèn)題描述31廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.6最大團(tuán)問(wèn)題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹(shù)中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。

在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。

32廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想子集樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。

算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其它頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹(shù)中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹(shù)中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹(shù)中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。33廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.6最大團(tuán)問(wèn)題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。對(duì)于子集樹(shù)中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過(guò)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。

34廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.7旅行售貨員問(wèn)題1.問(wèn)題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。旅行售貨員問(wèn)題的解空間可以組織成一棵樹(shù)，從樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問(wèn)題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。

35廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法開(kāi)始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒(méi)有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。

算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹(shù)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：36廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。

37廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.7旅行售貨員問(wèn)題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹(shù)的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。

38廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解旅行售貨員問(wèn)題1234302010654FIFO隊(duì)列：活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BCDEGIKFHJMOQLNP222223333344444592525666659{C,D,E}{D,E,F,G}{E,F,G,H,I}{F,G,H,I,J,K}{G,H,I,J,K}{H,I,J,K}{I,J,K}{J,K}{K}{}39廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)某條路徑的一些邊被確定后，就可以并入這些信息并計(jì)算部分解的目標(biāo)函數(shù)值的下界。一般情況下，對(duì)于一個(gè)正在生成的路徑，假設(shè)已確定的頂點(diǎn)集合U=(r1,r2,…,rk)，即路徑上已確定了k個(gè)頂點(diǎn)。該部分解的目標(biāo)函數(shù)值的計(jì)算方法如下：

40廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解旅行售貨員問(wèn)題1234302010654FIFO隊(duì)列，帶下界函數(shù)?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BCDEGIKFHJMLNP222333334444459252566{C,D,E}{D,E,F,G}{E,F,G,H,I}{F,G,H,I,J,K}{G,H,I,J,K}{H,I,J,K}{I,J,K}{J,K}{K}{}44<10120<10118<10144<10149<5920<5935>2524<2534>2541廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解旅行售貨員問(wèn)題1234302010654最小費(fèi)用優(yōu)先隊(duì)列：活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}BCDEGIKFHJMOQLNP2222233333444443064402624351114592525666659{E,D,C}{D,J,K,C}{H,J,K,I,C}{J,K,I,C}{K,I,C}{I,C}{C}{F,G}{G}{}42廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)分支限界法解旅行售貨員問(wèn)題1234302010654最小費(fèi)用優(yōu)先隊(duì)列，帶下界函數(shù)。活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列：{}CDEIKHJNP2223334443064262411142525{E,D,C}{D,J,K,C}{H,J,K,I,C}{J,K,N,I,C}{K,N,P,I,C}{N,P,I,C}18<10120<10120<10124<2534>25N為葉結(jié)點(diǎn)，結(jié)束。B43廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.8電路板排列問(wèn)題算法描述算法開(kāi)始時(shí)，將排列樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹(shù)中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。44廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.8電路板排列問(wèn)題算法描述do{//結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展

if(E.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)

intld=0;//最后一塊電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列

delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。45廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.8電路板排列問(wèn)題算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)

for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板

N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];46廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.8電路板排列問(wèn)題intld=0;//新插入電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn)

N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s]=E.x[i];N.x[i]=E.x[N.s];H.Insert(N);}elsedelete[]N.now;}delete[]E.x;}算法描述計(jì)算出每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)的密度與bestd進(jìn)行比較大于bestd時(shí)加入隊(duì)列47廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)6.9批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題1.問(wèn)題的描述給定n個(gè)作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個(gè)作業(yè)Ji都有2項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成。每一個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間。則所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時(shí)間和稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時(shí)間和。批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題要求對(duì)于給定的n個(gè)作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時(shí)間和達(dá)到最小。48廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院算法分析與設(shè)計(jì)