第5章 梁的應(yīng)力

材料力學(xué)第5章梁的應(yīng)力姓名：魯曉俊單位：武昌理工學(xué)院第5章梁的應(yīng)力5.1梁橫截面上的正應(yīng)力5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力5.3梁的強(qiáng)度條件5.4梁的合理截面及變截面梁5.1.1純彎曲與橫力彎曲5.1梁橫截面上的正應(yīng)力mmFSM當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力FS.mmFSmmM彎矩M是由正應(yīng)力合成的.剪力FS有由切應(yīng)力合成的；所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力s，又有切應(yīng)力t。這種梁段的彎曲稱為橫力彎曲。簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎曲.若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲.aaFSMxx+FCDABF+－5.1梁橫截面上的正應(yīng)力5.1.2純彎曲梁段橫截面上的正應(yīng)力一、彎曲試驗(yàn)與假設(shè)彎曲試驗(yàn)5.1梁橫截面上的正應(yīng)力試驗(yàn)現(xiàn)象

橫線為直線,仍與縱線正交

靠頂部縱線縮短,靠底部縱線伸長(zhǎng)縱線伸長(zhǎng)區(qū),截面寬度減小縱線縮短區(qū),截面寬度增大彎曲假設(shè)

橫截面變形后保持平面，仍與縱線正交－彎曲平面假設(shè)

各縱向“纖維”處于單向受力狀態(tài)－單向受力假設(shè)（純彎與正彎矩作用）5.1梁橫截面上的正應(yīng)力推

論

梁內(nèi)存在一長(zhǎng)度不變的過渡層－中性層中性層與橫截面得交線－中性軸

橫截面間繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)

中性軸⊥截面縱向?qū)ΨQ軸5.1梁橫截面上的正應(yīng)力幾何方面:物理方面:靜力學(xué)方面:二、對(duì)稱彎曲正應(yīng)力公式5.1梁橫截面上的正應(yīng)力(a)(b)中性軸通過橫截面形心(a)(c)(d)(a)－抗彎截面系數(shù)(d)－慣性矩5.1梁橫截面上的正應(yīng)力結(jié)論中性軸過截面形心

中性軸位置：

正應(yīng)力公式：

中性層曲率：,對(duì)稱彎曲,純彎與非純彎應(yīng)用條件：總

結(jié)假設(shè)平面假設(shè)，單向受力假設(shè)綜合考慮三方面5.1梁橫截面上的正應(yīng)力一些易混淆的概念對(duì)稱彎曲－對(duì)稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力時(shí)的受力與變形形式純彎曲－梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)中性軸－橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線形心軸－通過橫截面形心的坐標(biāo)軸彎曲剛度EI－代表梁截面抵抗彎曲變形的能力

抗彎截面系數(shù)Wz－代表梁截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲強(qiáng)度的影響中性軸與形心軸對(duì)稱彎曲與純彎曲截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù)5.1梁橫截面上的正應(yīng)力三、Iz及Wz矩形截面圓形截面圓環(huán)截面bhzyzdyzDdy5.1梁橫截面上的正應(yīng)力zy四、于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離ytmax和ycmax直接代入公式5.1梁橫截面上的正應(yīng)力5.1.3橫力曲梁段橫截面上的正應(yīng)力5.1梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲，橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立.雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，對(duì)于跨度與橫截面高度之比l/h大于5的梁，橫截面上的正應(yīng)力變化規(guī)律與純彎曲時(shí)幾乎相同，因此，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，也可以應(yīng)用于橫力彎曲的梁.例

已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm試計(jì)算：截面

B-B的最大拉應(yīng)力st,max與壓應(yīng)力sc,max解：1.彎矩計(jì)算2.形心位置計(jì)算由矩形

1

與矩形

2

組成的組合截面5.1梁橫截面上的正應(yīng)力3.慣性矩計(jì)算4.最大彎曲正應(yīng)力5.1梁橫截面上的正應(yīng)力5.2.1矩形截面梁的剪應(yīng)力5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力假設(shè)t

(y)

//

截面?zhèn)冗?，并沿截面寬度均勻分布狹窄矩形截面梁(h>b)Sz(w)－面積

w

對(duì)中性軸

z

的靜矩5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力5.2.2工字形截面梁的剪應(yīng)力5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力假設(shè):t//腹板側(cè)邊,并沿其厚度均勻分布w－y下側(cè)部分截面對(duì)中性軸

z的靜矩5.2.3圓形截面梁的剪應(yīng)力5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力分析表明，最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，并可近似認(rèn)為沿中性軸均勻分布5.2.4薄壁圓環(huán)形截面梁的剪應(yīng)力5.2梁橫截面上的剪應(yīng)力式中：在中性軸處有最大剪應(yīng)力tmax:5.3

梁的強(qiáng)度條件5.3.1梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.概念危險(xiǎn)點(diǎn)——發(fā)生最大正應(yīng)力（包括最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力）的各點(diǎn)，叫做梁的危險(xiǎn)點(diǎn)。

危險(xiǎn)截面——最大彎矩或較大彎矩所在截面叫梁的危險(xiǎn)截面。2.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：梁的橫截面上的最大工作正應(yīng)力smax不容許超過材料的許用彎曲正應(yīng)力[s]，即

當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)的強(qiáng)度條件為：

當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱軸時(shí)，拉應(yīng)力強(qiáng)度條件為：當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱軸時(shí)，壓應(yīng)力強(qiáng)度條件為：5.3梁的強(qiáng)度條件例題5.2

圖5.12（a）所示的樓板主梁欲用二個(gè)工字型鋼制成。已知鋼的許用彎曲正應(yīng)力，試選擇工字鋼的型號(hào)。解先作簡(jiǎn)支梁的彎矩圖（如圖5.12（b））,可知，發(fā)生在梁的跨中截面處。每一個(gè)工字鋼的抗彎截面模量由型鋼規(guī)格表可查得45b工字鋼為故所選工字形截面型號(hào)為45b。5.3梁的強(qiáng)度條件試校核該梁的強(qiáng)度。例題5.3

某T形截面鑄鐵梁尺寸如圖所示。已知解（1）作出梁的彎矩圖。這時(shí)可能出現(xiàn)的危險(xiǎn)截面應(yīng)為B、C兩截面，且有5.3梁的強(qiáng)度條件中性軸z距梁截面上、下邊緣最遠(yuǎn)距離為y1=52mm和y2=88mm。截面對(duì)形心主軸z的慣性矩為（2）求形心位置。選參考軸z1，有5.3梁的強(qiáng)度條件（3）校核B截面的強(qiáng)度。B截面上負(fù)彎矩、梁截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示，中性軸以上為受拉區(qū)，中性軸以下為受壓區(qū)。B截面上的最大壓應(yīng)力B截面上的最大拉應(yīng)力5.3梁的強(qiáng)度條件因此，該梁不滿足抗拉強(qiáng)度條件。（4）校核C截面強(qiáng)度。C截面上為正彎矩，梁截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示，中性軸以上為受壓區(qū)，中性軸以下為受拉區(qū)。C截面上的最大拉應(yīng)力為5.3梁的強(qiáng)度條件對(duì)于橫力彎曲的等直梁，在剪力最大橫截面上的中性軸處，通常產(chǎn)生最大剪應(yīng)力，而正應(yīng)力為零，此時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。需滿足的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為：5.3.2梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件式中表示橫截面在中性軸以上(或以下)部分面積對(duì)中性軸z的面積矩，為材料在橫力彎曲時(shí)的許用剪應(yīng)力。b——表示橫截面在中性軸處的寬度，5.3梁的強(qiáng)度條件5.3.3梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件的主次關(guān)系兩個(gè)強(qiáng)度條件中正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主要的，需要滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件，一般情況下，不校核剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，也會(huì)滿足。但對(duì)以下三種特殊情況，就必須注意校核梁內(nèi)的剪應(yīng)力強(qiáng)度：（1）梁的跨度較短，或在支座附近作用有較大的荷載，梁內(nèi)出現(xiàn)彎矩較小而剪力很大；（2）在鉚接或焊接的組合截面（例如工字形）鋼梁中，其橫截面的腹板厚度與高度之比小于一般型鋼截面的相應(yīng)比值；5.3梁的強(qiáng)度條件例題簡(jiǎn)支梁在距支座0.2m處作用有P=200kN的集中力若鋼材的許用正應(yīng)力[s]=160MPa，許用剪應(yīng)力[t]=100MPa。試選擇工字形型鋼號(hào)碼。解（1）作梁的彎矩圖與剪力圖，如圖（b）、（c）。5.3梁的強(qiáng)度條件選工字形鋼20b，（3）剪應(yīng)力強(qiáng)度校核不滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。(2)由正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇型鋼號(hào)碼5.3梁的強(qiáng)度條件（4）根據(jù)剪應(yīng)力強(qiáng)度條件重選型鋼號(hào)碼，采用試算法仍不滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度要求。（a）選22b：（b）選25b：故選25b可以滿足要求。

5.3梁的強(qiáng)度條件5.4

梁的合理截面及變截面梁5.4.1梁的合理截面形狀選取原因：2.截面面積愈小，自重也小，引起的附加自重應(yīng)力也小，還有利于安裝和現(xiàn)場(chǎng)施工。1.在選擇材料相同及外力不變的條件下，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，若截面面積不變，抗彎截面模量較大者梁的承載能力高。一、梁的合理截面形狀請(qǐng)問哪種擺放形式合理?將梁的抗彎截面模量WZ與其橫截面面積A之比作為選定合理截面形狀的一個(gè)指標(biāo)。1、梁的合理擺放5.4梁的合理截面及變截面梁將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的位置2、梁的合理截面形狀5.4梁的合理截面及變截面梁常見截面的WZ/A

值

因此：工程上常采用工字形、圓環(huán)形、箱形等截面形式。5.4梁的合理截面及變截面梁2.若梁的截面設(shè)計(jì)得過高過窄，則可能使梁在不大的外力作用下，出現(xiàn)側(cè)向翹曲而失穩(wěn)破壞。如圖：1.分析梁的截面的合理形式時(shí)，還應(yīng)考慮剛度、穩(wěn)定性以及施工、制造、安裝等方面的要求。注意：5.4梁的合理截面及變截面梁

1.變截面梁：在彎矩較大的梁段采用較大的截面，