數(shù)據(jù)結構緒論

第1章緒論

1.2算法及其描述

1.1什么是數(shù)據(jù)結構1.3算法分析

本章小結1.4數(shù)據(jù)結構＋算法＝程序

1.1.1數(shù)據(jù)結構的定義1.1.2邏輯結構類型

1.1.3存儲結構類型1.1.4數(shù)據(jù)結構和數(shù)據(jù)類型1.1什么是數(shù)據(jù)結構

數(shù)據(jù)：是所有能被輸入到計算機中,且能被計算機處理的符號的集合。它是計算機操作的對象的總稱,也是計算機處理的信息的某種特定的符號表示形式。

數(shù)據(jù)元素：是數(shù)據(jù)(集合)中的一個“個體”,是數(shù)據(jù)的基本單位。

1.1.1數(shù)據(jù)結構的定義

數(shù)據(jù)對象：是具有相同性質(zhì)的若干個數(shù)據(jù)元素的集合。

例如,200402班為一個學生數(shù)據(jù)對象,而其中的“張三”是一個數(shù)據(jù)元素)。

數(shù)據(jù)結構：是指數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)元素相互之間的聯(lián)系?？梢钥醋魇窍嗷ブg存在著某種特定關系的數(shù)據(jù)元素的集合。因此,可時把數(shù)據(jù)結構看成是帶結構的數(shù)據(jù)元素的集合。

數(shù)據(jù)結構包括如下幾個方面：

(1)數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關系,即數(shù)據(jù)的邏輯結構。

(2)數(shù)據(jù)元素及其關系在計算機存儲器中的存儲方式,即數(shù)據(jù)的存儲結構,也稱為數(shù)據(jù)的物理結構。

(3)施加在該數(shù)據(jù)上的操作,即數(shù)據(jù)的運算。

例1.1

有一個學生表如表1.1所示。這個表中的數(shù)據(jù)元素是學生記錄,每個數(shù)據(jù)元素由四個數(shù)據(jù)項(即學號、姓別、性別和班號)組成。學號姓名性別班號1張斌男99018劉麗女990234李英女990120陳華男990212王奇男990126董強男99025王萍女9901表1.1學生表

該表中的記錄順序反映了數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關系,用學號標識每個學生記錄,這種邏輯關系可以表示為：

<1,8>,<8,34>,<34,20>,<20,12>,<12,26>,<26,5>

其中尖括號“<ai,ai+1>”表示元素ai和ai+1之間是相鄰的,即ai在ai+1之前,ai+1在ai之后。數(shù)據(jù)在計算機存儲器中的存儲方式就是存儲結構。

C/C++語言中，通常采用結構體數(shù)組和鏈表兩種方式實現(xiàn)其存儲結構。存放學生表的結構體數(shù)組Stud定義為：

struct

{ intno;/*存儲學號*/ charname[8];/*存儲姓名*/ charsex[2];/*存儲性別*/ charclass[4];/*存儲班號*/}Stud[7]={{1,“張斌”,“男”,“9901”},…,{5,"王萍","女","9901"}};結構體數(shù)組Stud各元素在內(nèi)存中順序存放,即第i(1≤i≤6)個學生對應的元素Stud[i]存放在第i+1個學生對應的元素Stud[i+1]之前,Stud[i+1]正好在Stud[i]之后。9901女王萍5…9901男張斌1Stud[0]Stud[6]Stud數(shù)組起始地址

存放學生表的鏈表的結點類型StudType定義為：

typedef

struct

studnode{ intno; /*存儲學號*/ charname[8]; /*存儲姓名*/ charsex[2]; /*存儲性別*/ charclass[4]; /*存儲班號*/

struct

studnode*next;/*存儲指向下一個學生的指針*/}StudType；鏈表首結點地址head1張斌男99018劉麗女990234李英女990120陳華男990212王奇男990126董強男99025王萍女9901∧

學生表構成的鏈表如右圖所示。其中的head為第一個數(shù)據(jù)元素的指針。學生表構成的鏈表

對于“學生表”這種數(shù)據(jù)結構,可以進行一系列的運算,例如,增加一個學生記錄、刪除一個學生記錄、查找性別為“女”的學生記錄、查找班號為“9902”的學生記錄等等。從前面介紹的兩種存儲結構看到,同樣的運算,在不同的存儲結構中,其實現(xiàn)過程是不同的。

例如,查找學號為20的學生的姓名：對于Stud數(shù)組,可以從Stud[0]開始比較,Stud[0].no不等于20,再與Stud[1].no比較,…,直到Stud[3].no等于20,返回Stud[3].name。對于head為首結點指針的鏈表,從head所指結點開始比較,head->no不等于20,從它的next得到下一個結點的地址,再與下一個結點的no域比較,…,直到某結點的no域等于20,返回其name域。

為了更確切地描述一種數(shù)據(jù)結構,通常采用二元組表示：

B=(K,R)

其中,B是一種數(shù)據(jù)結構,它由數(shù)據(jù)元素的集合K和K上二元關系的集合R所組成。其中：

K={ki|1≤i≤n,n≥0}R={rj|1≤j≤m,m≥0}

邏輯結構的描述或表示：

其中：

ki表示集合K中的第i個結點或數(shù)據(jù)元素。

n為K中結點的個數(shù),特別地,若n=0,則K是一個空集,因而B也就無結構可言,有時也可以認為它具有任一結構。

rj表示集合R中的第j個二元關系(后面均簡稱關系)。

m為R中關系的個數(shù),特別地,若m=0,則R是一個空集,表明集合K中的元結點間不存在任何關系,彼此是獨立的。序偶<x,y>(x,y∈K)x為第一結點,y為第二結點。

x為y的直接前驅(qū)結點(通常簡稱前驅(qū)結點)y為x的直接后繼結點(通常簡稱后繼結點)。若某個結點沒有前驅(qū)結點,則稱該結點為開始結點；若某個結點沒有后繼結點,則稱該結點為終端結點。說明：<x,y>表示有向關系，(x,y)表示無向關系。采用離散數(shù)學的表示方法。

例如,采用二元組表示例1.1的學生表。學生表中共有7個結點,依次用k1～k7表示,則對應的二元組表示為B=(K,R),其中：

K={k1,k2,k3,k4,k5,k6,k7} R={r}//只有一種關系

r={<k1,k2>,<k2,k3>,<k3,k4>,<k4,k5>,<k5,k6>,<k6,k7>}又例如,有如下數(shù)據(jù)即一個矩陣：

對應的二元組表示為B=(K,R),其中：

K={2,6,3,1,8,12,7,4,5,10,9,11}R={r1,r2}其中,r1表示行關系,r2表示列關系

r1={<2,6>,<6,3>,<3,1>,<8,12>,<12,7>,<7,4>,<5,10>,<10,9>,<9,11>}r2={<2,8>,<8,5>,<6,12>,<12,10>,<3,7>,<7,9>,<1,4>,<4,11>}一個二維數(shù)組

可以利用圖形形象地表示邏輯結構。例如，上述“學生表”數(shù)據(jù)結構用下圖的圖形表示。學生表數(shù)據(jù)結構圖示

(1)線性結構

結點之間關系：一對一。

特點：開始結點和終端結點都是惟一的,除了開始結點和終端結點以外,其余結點都有且僅有一個前驅(qū)結點,有且僅有一個后繼結點。順序表就是典型的線性結構。1.1.2邏輯結構類型

…

(2)樹形結構

結點之間關系：一對多。

特點：開始結點惟一,終端結點不惟一。除終端結點以外,每個結點有一個或多個后續(xù)結點；除開始結點外，每個結點有且僅有一個前驅(qū)結點。

(3)圖形結構

結點之間關系：多對多。

特點：沒有開始結點和終端結點，所有結點都可能有多個前驅(qū)結點和多個后繼結點。(2)鏈式存儲方法

(3)索引存儲方法(4)散列存儲方法

1.1.3存儲結構類型(1)順序存儲方法

(1)數(shù)據(jù)類型高級程序語言中,一般須對程序中出現(xiàn)的每個變量、常量或表達式,明確說明它們所屬的數(shù)據(jù)類型。不同類型的變量,其所能取的值的范圍不同,所能進行的操作不同。

數(shù)據(jù)類型是一個值的集合和定義在此集合上的一組操作的總稱。1.1.4數(shù)據(jù)結構和數(shù)據(jù)類型

如C/C++中的int就是整型數(shù)據(jù)類型。它是所有整數(shù)的集合(在16位計算機中為－32768~32767的全體整數(shù))和相關的整數(shù)運算(如＋、－、＊、／等)。

(2)抽象數(shù)據(jù)類型

抽象數(shù)據(jù)類型(AbstractDataType簡寫為ADT)指的是用戶進行軟件系統(tǒng)設計時從問題的數(shù)學模型中抽象出來的邏輯數(shù)據(jù)結構和邏輯數(shù)據(jù)結構上的運算,而不考慮計算機的具體存儲結構和運算的具體實現(xiàn)算法。

抽象數(shù)據(jù)類型=數(shù)據(jù)元素集合＋抽象運算例如,抽象數(shù)據(jù)類型復數(shù)的定義：ADTComplex{數(shù)據(jù)對象：

D={e1,e2|e1,e2均為實數(shù)}數(shù)據(jù)關系：

R1={<e1,e2>|e1是復數(shù)的實數(shù)部分,e2是復數(shù)的虛數(shù)部分}e1＋e2i基本操作：

AssignComplex(&Z,v1,v2)：構造復數(shù)Z。

DestroyComplex(&Z):復數(shù)Z被銷毀。

GetReal(Z,&real):返回復數(shù)Z的實部值。

GetImag(Z,&Imag):返回復數(shù)Z的虛部值。

Add(z1,z2,&sum):返回兩個復數(shù)z1,z2的和。}ADTComplex1.2算法及其描述

1.2.1什么是算法

1.2.2算法描述1.2.1什么是算法

數(shù)據(jù)元素之間的關系有邏輯關系和物理關系,對應的操作有邏輯結構上的操作功能和具體存儲結構上的操作實現(xiàn)。通常把具體存儲結構上的操作實現(xiàn)步驟或過程稱為算法。算法的五個重要的特性

(1)有窮性:在有窮步之后結束。(2)確定性:無二義性。

(3)可行性:可通過基本運算有限次執(zhí)行來實現(xiàn)。(4)有輸入

(5)有輸出

例1.2

考慮下列兩段描述：(1)描述一

voidexam1() { n＝2; while(n%2＝＝0) n＝n+2;

printf("%d\n",n); }華中科大考研題

(2)描述二

voidexam2() { y=0; x=5/y;

printf(“%d,%d\n”,x,y); }

這兩段描述均不能滿足算法的特征,試問它們違反了哪些特征？

解：(1)算法是一個死循環(huán),違反了算法的有窮性特征。

(2)算法包含除零錯誤,違反了算法的可行性特征。

1.2.2算法描述

本書中采用C/C++語言描述算法。說明：C++語言中提供了一種引用運算符“&”,引用是個別名,當建立引用時,程序用另一個已定義的變量或?qū)ο?目標)的名字初始化它,從那時起,引用作為目標的別名而使用,對引用的改動實際就是對目標的改動。注意：TurboC不支持引用類型。編寫一個函數(shù)swap1(x,y)，當執(zhí)行語句swap1(a,b)時,交換a和b的值。

voidswap1(intx,inty){

int

tmp;

tmp=x;x=y;y=tmp;}

注意：a和b的值不會發(fā)生了交換。為此，采用指針的方式來回傳形參的值，需將上述函數(shù)改為：

voidswap2(int*x,int*y){

int

tmp;

tmp=*x; /*將x的值放在tmp中*/ *x=*y; /*將x所指的值改為*y*/*y=tmp；/*將y所指的值改為tmp*/}

上述函數(shù)的調(diào)用改為swap2(&a,&b)，顯然遠不如采用引用方式簡潔。所以本書后面很多算法都采用引用形參。引入“引用”的概念例如：

inta=4; /*a為普通的整型變量*/

int&b=a;/*b是a的引用變量*/

這里說明b變量是變量a的引用,b也等于4,之后這兩個變量同步改變。當a改變時b也同步改變，同樣，當b改變時a也同步改變。難點main(){

inta=2;

int&b=a;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=2,b=2*/b++;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=3,b=3*/a++;

printf("a=%d,b=%d\n",a,b);/*輸出：a=4,b=4*/}

引用常用于函數(shù)形參中,采用引用型形參時,在函數(shù)調(diào)用時將形參的改變回傳給實參,例如,有如下函數(shù)(其中的形參均為引用型形參)：

voidswap(int&x,int&y)/*形參前的“&”符號不是指針運算符*/{

int

tmp=x;x=y;y=tmp}

當用執(zhí)行語句swap(a,b)時,a和b的值發(fā)生了交換。

例1.3

編寫一個算法,讀入三個整數(shù)x,y和z的值,要求從大到小輸出這三個數(shù)。解：依次輸入x,y和z這三個整數(shù),通過比較交換后,使得x≥y≥z,然后輸出x,y,z。在算法中應考慮對這三個元素作盡可能少的比較和移動,如下述算法在最壞的情況下只需進行3次比較和7次移動。voidDescending(){printf("輸入x,y,z");

scanf("%d,%d,%d",&x,&y,&z);if(x<y){temp=x;x=y;y=temp；/*交換x,y,使x>=y*/}if(y<z){temp=z;z=y;/*使temp>z*/if(x>=temp)y=temp；

else{y=x;x=temp;}}

printf("%d,%d,%d\n",x,y,z);}1.3算法分析

1.3.1算法時間復雜度分析

1.3.2算法空間復雜度分析

一個算法是由控制結構(順序、分支和循環(huán)三種)和原操作(指固有數(shù)據(jù)類型的操作)構成的,則算法時間取決于兩者的綜合效果。1.3.1算法時間復雜度分析

控制語句1原操作控制語句n原操作…一個算法同一問題可以采用多種算法實現(xiàn)。如何比較算法執(zhí)行效率？

?算法描述的語言不同

?算法執(zhí)行的環(huán)境不同

?其他因素

所以不能用絕對執(zhí)行時間進行比較為了便于比較同一問題的不同算法,通常從算法中選取一種對于所研究的問題來說是基本運算的原操作(以下將基本運算的原操作簡稱為基本運算)。算法執(zhí)行時間大致為基本運算所需的時間與其運算次數(shù)(也稱為頻度)的乘積。被視為算法基本運算的一般是最深層循環(huán)內(nèi)的語句。

在一個算法中,進行基本運算的次數(shù)越少,其運行時間也就相對地越少；基本運算次數(shù)越多,其運行時間也就相對地越多。所以,通常把算法中包含基本運算次數(shù)的多少稱為算法的時間復雜度,也就是說,一個算法的時間復雜度是指該算法的基本運算次數(shù)。

算法中基本運算次數(shù)T(n)是問題規(guī)模n的某個函數(shù)f(n),記作：

T(n)=O(f(n))

記號“O”讀作“大O”,它表示隨問題規(guī)模n的增大算法執(zhí)行時間的增長率和f(n)的增長率相同?！癘”的形式定義為：

若f(n)是正整數(shù)n的一個函數(shù),則T(n)=O(f(n))表示存在一個正的常數(shù)M,使得當n≥n0時都滿足：

|T(n)|≤M|f(n)|

也就是只求出T(n)的最高階,忽略其低階項和常系數(shù),這樣既可簡化T(n)的計算,又能比較客觀地反映出當n很大時,算法的時間性能。例如,T(n)=3n2-5n+10000=O(n2)本質(zhì)上講，是一種最高數(shù)量級的比較

一個沒有循環(huán)的算法的基本運算次數(shù)與問題規(guī)模n無關,記作O(1),也稱作常數(shù)階。一個只有一重循環(huán)的算法的基本運算次數(shù)與問題規(guī)模n的增長呈線性增大關系,記作O(n),也稱線性階。其余常用的還有平方階O(n2)、立方階O(n3)、對數(shù)階O(log2n)、指數(shù)階O(2n)等。

各種不同數(shù)量級對應的值存在著如下關系：

O(1)<O(log2n)<O(n)<O(n*log2n)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)

例1.4

求兩個n階方陣的相加C=A+B的算法如下,分析其時間復雜度。

#defineMAX20/*定義最大的方階*/voidmatrixadd(int

n,intA[MAX][MAX],

int

B[MAX][MAX],intC[MAX][MAX]){ inti,j; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];}

該算法中的基本運算是兩重循環(huán)中最深層的語句C[i][j]=A[i][j]+B[i][j],分析它的頻度,即：

T(n)==O(n2)例1.5

分析以下算法的時間復雜度。

int

fun(intn){

inti,j,k,s;s=0;for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=i;j++) for(k=0;k<=j;k++)s++;return(s);}基本語句或基本操作

解：該算法的基本操作是語句s++,其頻度：

T(n)==O(n3)則該算法的時間復雜度為O(n3)。例1.6

分析以下算法的時間復雜度。voidfunc(intn){

inti=0,s=0;while(s<n){i++; s=s+i;}}基本語句解：對于while循環(huán)語句，設執(zhí)行的次數(shù)為m，i從0開始遞增1，直到m為止，有：

s=0+1+2+…+m-1=m(m-1)/2，并滿足s=m(m-1)/2<n，則有m＜。

T(n)=O()

所以，該算法的時間復雜度為O()。

例1.7

有如下算法：

voidfun(int

a[],int

n,intk)/*數(shù)組a共有n個元素*/{

inti; if(k==n-1) for(i=0;i<n;i++)

printf("%d\n",a[i]); else {for(i=k;i<n;i++) a[i]=a[i]+i*i; fun(a,n,k+1); }}

調(diào)用上述算法的語句為fun(a,n,0)，求其時間復雜度。解：設fun(a,n,0)的時間復雜度為T(n),則fun(a,n,k)的執(zhí)行時間為T1(n,k)，由fun()算法可知：

T1(n,k)=n 當k=n-1時

T1(n,k)=(n-k)+T1(n,k+1)其他情況

則

T(n)=T1(n,0)=n+T1(n,1)=n+(n-1)+T1(n,2)

=…=n+(n-1)+…+2+T1(n,n-1)

=n+(n-1)+…+2+n

=O(n2)

所以調(diào)用fun(a,n,0)的時間復雜度為O(n2)。

空間復雜度是對一個算法在運行過程中臨時占用的存儲空間大小的量度,一般也作為問題規(guī)模n的函數(shù),以數(shù)量級形式給出,記作：

S(n)=O(g(n))

若所需額外空間相對于輸入數(shù)據(jù)量來說是常數(shù),則稱此算法為原地工作。若所需存儲量依賴于特定的輸入,則通常按最壞情況考慮。1.3.2算法空間復雜度分析

返回

例1.8

分析例1.4和例1.5的空間復雜度。解：由于這兩個算法中臨時變量的個數(shù)與問題規(guī)模n無關,所以空間復雜度均為O(1)。1.4數(shù)據(jù)結構＋算法＝程序

數(shù)據(jù)結構對算法的影響主要在兩方面（1）數(shù)據(jù)結構的存儲能力數(shù)據(jù)結構存儲能力強、存儲信息多＝＞算法將會較好設計（時間少），存儲空間大。時間和空間的平衡（2）定義在數(shù)據(jù)結構上的操作在數(shù)據(jù)結構上定義基本操作＝＞算法調(diào)用這些基本操作?；静僮髟酵暾?，算法設計就越容易算法基本操作基本算法應用程序應用程序是通過調(diào)用基本算法實現(xiàn)的選擇數(shù)據(jù)結構需要考慮的幾個方面：（1）數(shù)據(jù)結構要適應問題的狀態(tài)描述（2）數(shù)據(jù)結構應與所選擇的算法相適應（3）數(shù)據(jù)結構的選擇同時要兼顧程序設計的方便（4）靈活應用已有知識例如，有若干學生數(shù)據(jù)（學生數(shù)小于50），每個學生數(shù)據(jù)包含學號（每個學生學號是惟一的，但學生記錄不一定按學號順序存放）、姓名、班號和若干門課程成績（每個學生所選課程數(shù)目可能不等，但最多不超過6門）。要求設計一個程序輸出每個學生的學號、姓名和平均分以及每門課程（課程編號從1～6）的平均分。

設計方案1：將學生的全部數(shù)據(jù)項放在一個表中，一個學生的全部數(shù)據(jù)對應一條記錄。由于課程最多可選6門，對應的成績項也應有6個。對應的數(shù)據(jù)結構如下：

structstud

{

intno; /*學號*/

charname[10]; /*姓名*/

int

bno; /*班號*/

intdeg1; /*課程1分數(shù)*/

intdeg2; /*課程2分數(shù)*/

intdeg3; /*課程3分數(shù)*/

intdeg4; /*課程4分數(shù)*/

intdeg5; /*課程5分數(shù)*/

intdeg6; /*課程6分數(shù)*/

};nonamebnodeg1deg2deg3deg4deg5deg61張斌99017882639285838劉麗9902659572788079………………………特點：存儲空間：中（若學生沒有選該課程，對應空間仍存在）算法時間：少算法簡潔性差：算法完全依賴數(shù)據(jù)結構