2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的方法．2．會列頻率分布表,畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖．3．能夠利用圖形解決實(shí)際問題．［知識鏈接]1．已知函數(shù)f（x）＝－x2－2x＋3，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（－1，＋∞）．2．已知一組數(shù)分別為:2,3,5，7，8，10，11，則其中位數(shù)為7;數(shù)據(jù)2,3,5,7，8,10，則其中位數(shù)為6.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1．用樣本估計(jì)總體的兩種情況(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布．（2)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征．2．?dāng)?shù)據(jù)分析的基本方法（1)借助于圖形分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來,此法可以達(dá)到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息．（2）借助于表格分析數(shù)據(jù)的另一方法是用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，此法是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式．3．頻率分布直方圖和分布表的特征（1）頻率分布表中的數(shù)字和頻率分布直方圖的形狀都與分組數(shù)（組距）有關(guān)．頻率分布直方圖的處理還與坐標(biāo)系的單位長度有關(guān)．(2)隨機(jī)性：頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定，因此它們會隨著樣本的改變而改變．(3)規(guī)律性：若固定分組數(shù)，隨著樣本容量的增加，頻率分布表的各個頻率會穩(wěn)定在某個值的附近，從而頻率分布直方圖中的各個矩形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上．4．頻率分布折線圖順次連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．5．總體密度曲線一般地，當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時,抽樣時樣本容量就不能太?。梢韵胂?，隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．它能夠精確地反映出總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息．6．莖葉圖莖葉圖也是用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù),葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．中間的數(shù)字表示十位數(shù)，旁邊的數(shù)字表示個位數(shù).要點(diǎn)一頻率分布直方圖的繪制例1調(diào)查某校高三年級男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生,實(shí)測身高數(shù)據(jù)(單位:cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1）作出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖．解(1）最低身高151cm，最高身高180cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；確定組距為4，組數(shù)為8，列表如下:分組頻數(shù)頻率[149.5,153。5）10。025［153。5，157。5)30。075[157.5，161.5）60.15[161。5,165.5)90.225[165。5，169。5)140.35［169。5,173。5)30。075[173.5,177。5)30。075［177。5,181.5]10。025合計(jì)401（2)頻率分布直方圖如圖所示．規(guī)律方法1。在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：（1）若eq\f(極差,組距）為整數(shù)，則eq\f（極差，組距）＝組數(shù)．(2）若eq\f(極差，組距）不為整數(shù),則eq\f（極差，組距)的整數(shù)部分＋1＝組數(shù)．2．組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來,組數(shù)太多或太少都會影響了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容量不超過100,按照數(shù)據(jù)的多少常分為5~12組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多．跟蹤演練1美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年紀(jì)最小的是羅斯福，他于1901年就任,當(dāng)時年僅42歲;就任時年紀(jì)最大的是里根,他于1981年就任，當(dāng)時69歲．下面按時間順序(從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任）給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡:57，61,57，57,58,57，61，54,68,51，49,64，50，48,65,52，56，46,54,49,51,47,55，55,54，42，51,56,55,51，54，51，60,62,43,55，56，61，52,69,64，46,54,48（1)將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況．解（1）以4為組距,列表如下：分組頻數(shù)頻率[41。5，45.5）20.0455［45.5，49.5)70.1591[49.5，53。5）80.1818[53。5,57.5）160。3636［57.5，61。5）50.1136［61.5，65。5）40.0909［65.5,69.5]20。0455合計(jì)441。00（2)從頻率分布表中可以看出60%左右的美國總統(tǒng)就任時的年齡在50歲至60歲之間,45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較?。c(diǎn)二莖葉圖及其應(yīng)用例2某中學(xué)甲、乙兩名同學(xué)最近幾次的數(shù)學(xué)考試成績情況如下:甲的得分:95，81，75，89，71,65,76，88,94，110，107；乙的得分：83,86,93，99,88,103，98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進(jìn)行比較．解甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示．從這個莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是98分；甲同學(xué)的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是88分，但分?jǐn)?shù)分布相對于乙來說，趨向于低分階段．因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比甲同學(xué)好．規(guī)律方法1.畫莖葉圖時，用中間的數(shù)表示數(shù)據(jù)的十位和百位數(shù),兩邊的數(shù)分別表示兩組數(shù)據(jù)的個位數(shù)．要先確定中間的數(shù)取數(shù)據(jù)的哪幾位,填寫數(shù)據(jù)時邊讀邊填．比較數(shù)據(jù)時從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾方面來比較．2．繪制莖葉圖的關(guān)鍵是分清莖和葉，一般地說數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時，十位數(shù)字為“莖”，個位數(shù)字為“葉”；如果是小數(shù)的,通常把整數(shù)部分作為“莖”,小數(shù)部分作為“葉”，解題時要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理選擇莖和葉．跟蹤演練2(2013·重慶高考）如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16。8,則x，y的值分別為（)A．2，5 B．5,5C．5，8 D．8,8答案C解析由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15＝10＋x，∴x＝5。又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f（9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，∴y＝8，故選C.要點(diǎn)三頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用例3為了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示),圖中從左到右各小長方形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12。（1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少?(2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo),則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？解（1)頻率分布直方圖是以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的,因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3）＝0。08.又因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f(第二小組的頻數(shù)，樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率)＝eq\f（12，0。08)＝150。（2）由直方圖可估計(jì)該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3）×100％＝88%。規(guī)律方法1。頻率分布直方圖的性質(zhì)：（1）因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率，組距）＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大?。?2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1。（3）eq\f（頻數(shù),相應(yīng)的頻率)＝樣本容量．2．頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性，由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)的可能性．跟蹤演練3(2013·福建高考）某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成6組：［40，50），［50，60)，[60，70)，[70，80），[80，90），[90,100］加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為(）A．588 B．480C．450 D．120答案B解析不少于60分的學(xué)生的頻率為（0。030＋0.025＋0。015＋0。010）×10＝0.8，∴該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)應(yīng)為600×0.8＝480.1．用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是()A．總體容量越大，估計(jì)越精確B．總體容量越小，估計(jì)越精確C．樣本容量越大，估計(jì)越精確D．樣本容量越小，估計(jì)越精確答案C解析由用樣本估計(jì)總體的性質(zhì)可得．2．頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于()A．組距 B．頻率C．組數(shù) D．頻數(shù)答案B解析根據(jù)小長方形的寬及高的意義，可知小長方形的面積為一組樣本數(shù)據(jù)的頻率．3．（2013·岳陽高一檢測）某校為了解高三學(xué)生的身體狀況，抽取了100名女生的體重．將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖的頻率分布直方圖,則所抽取的女生中體重在40～45kg的人數(shù)是()A．10 B．2C．5 D．15答案A解析由圖可知頻率＝eq\f（頻率，組距）×組距，知頻率＝0。02×5＝0。1。∴0。1×100＝10人．4．一個容量為n的樣本,分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別為40，0.125,則n的值為（)A．640 B．320C．240 D．160答案B解析依題意得eq\f(40,n)＝0。125,∴n＝eq\f(40，0.125)＝320.5．在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是________________，________。答案4546解析甲組數(shù)據(jù)為：28,31,39，42，45，55，57,58,66，中位數(shù)為45.乙組數(shù)據(jù)為：29,34，35，42,46，48，53,55,67，中位數(shù)為46.1．總體分