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文檔簡介
學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精2。3數(shù)學歸納法(二)[學習目標]1.進一步掌握數(shù)學歸納法的實質與步驟,掌握用數(shù)學歸納法證明等式、不等式、整除問題、幾何問題等數(shù)學命題.2.掌握證明n=k+1成立的常見變形技巧:提公因式、添項、拆項、合并項、配方等.[知識鏈接]1.數(shù)學歸納法的兩個步驟有何關系?答案使用數(shù)學歸納法時,兩個步驟缺一不可,步驟(1)是遞推的基礎,步驟(2)是遞推的依據(jù).2.用數(shù)學歸納法證明的問題通常具備怎樣的特點?答案與正整數(shù)n有關的命題[預習導引]1.歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法,分完全歸納法和不完全歸納法兩種,而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性,必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明.2.數(shù)學歸納法(1)應用范圍:作為一種證明方法,用于證明一些與正整數(shù)有關的數(shù)學命題;(2)基本要求:它的證明過程必須是兩步,最后還有結論,缺一不可;(3)注意點:在第二步遞推歸納時,從n=k到n=k+1必須用上歸納假設.要點一用數(shù)學歸納法證明不等式問題例1用數(shù)學歸納法證明:eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+eq\f(1,42)+…+eq\f(1,n2)<1-eq\f(1,n)(n≥2,n∈N*).證明(1)當n=2時,左式=eq\f(1,22)=eq\f(1,4),右式=1-eq\f(1,2)=eq\f(1,2).因為eq\f(1,4)〈eq\f(1,2),所以不等式成立.(2)假設n=k(k≥2,k∈N*)時,不等式成立,即eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+eq\f(1,42)+…+eq\f(1,k2)<1-eq\f(1,k),則當n=k+1時,eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+eq\f(1,42)+…+eq\f(1,k2)+eq\f(1,k+12)<1-eq\f(1,k)+eq\f(1,k+12)=1-eq\f(k+12-k,kk+12)=1-eq\f(k2+k+1,kk+12)〈1-eq\f(kk+1,kk+12)=1-eq\f(1,k+1),所以當n=k+1時,不等式也成立.綜上所述,對任意n≥2的正整數(shù),不等式都成立.規(guī)律方法用數(shù)學歸納法證明不等式時常要用到放縮法,即在歸納假設的基礎上,通過放大或縮小等技巧變換出要證明的目標不等式.跟蹤演練1用數(shù)學歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù)n,不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2n-1)))>eq\f(\r(2n+1),2)成立.證明(1)當n=2時,左=1+eq\f(1,3)=eq\f(4,3),右=eq\f(\r(5),2),左>右,∴不等式成立.(2)假設n=k(k≥2且k∈N*)時,不等式成立,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2k-1)))〉eq\f(\r(2k+1),2),那么當n=k+1時,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,5)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2k-1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1+\f(1,2k+1-1)))〉eq\f(\r(2k+1),2)·eq\f(2k+2,2k+1)=eq\f(2k+2,2\r(2k+1))=eq\f(\r(4k2+8k+4),2\r(2k+1))〉eq\f(\r(4k2+8k+3),2\r(2k+1))=eq\f(\r(2k+3)·\r(2k+1),2·\r(2k+1))=eq\f(\r(2k+1+1),2),∴n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)知,對一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.要點二用數(shù)學歸納法證明整除性問題例2用數(shù)學歸納法證明:f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除.證明①當n=1時,f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被36整除.②假設n=k(k∈N*)時,f(k)能被36整除,即(2k+7)·3k+9能被36整除,則當n=k+1時,f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),由歸納假設3[(2k+7)·3k+9]能被36整除,而3k-1-1是偶數(shù),所以18(3k-1-1)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除.由①②可知,對任意的n∈N*,f(n)能被36整除.規(guī)律方法應用數(shù)學歸納法證明整除性問題時,關鍵是“湊項",采用增項、減項、拆項和因式分解等方法,也可以說將式子“硬提公因式”,即將n=k時的項從n=k+1時的項中“硬提出來”,構成n=k的項,后面的式子相對變形,使之與n=k+1時的項相同,從而達到利用假設的目的.跟蹤演練2用數(shù)學歸納法證明62n-1+1(n∈N*)能被7整除.證明(1)當n=1時,62-1+1=7能被7整除.(2)假設當n=k(k∈N*,且k≥1)時,62k-1+1能被7整除.那么當n=k+1時,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35?!?2k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴當n=k+1時,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1),(2)知命題成立.要點三用數(shù)學歸納法證明幾何問題例3用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線有eq\f(1,2)n(n-3)條.證明①當n=3時,eq\f(1,2)n(n-3)=0,這就說明三角形沒有對角線,故結論正確.②假設當n=k(k≥3,k∈N*)時結論正確,即凸k邊形的對角線有eq\f(1,2)k(k-3)條,當n=k+1時,凸(k+1)邊形是在k邊形基礎上增加了一邊,增加了一個頂點,設為Ak+1,增加的對角線是頂點Ak+1與不相鄰頂點的連線再加上原k邊形一邊A1Ak,共增加了對角線的條數(shù)為k-2+1=k-1。∴f(k+1)=eq\f(1,2)k(k-3)+k-1=eq\f(1,2)(k2-k-2)=eq\f(1,2)(k+1)(k-2)=eq\f(1,2)(k+1)[(k+1)-3]故當n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,對任意n≥3,n∈N*,命題成立.規(guī)律方法用數(shù)學歸納法證明幾何問題,關鍵在于分析由n=k到n=k+1的變化情況,即分點(或頂點)增加了多少,直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾部分等,或先用f(k+1)-f(k)得出結果,再結合圖形給予嚴謹?shù)恼f明,幾何問題的證明:一要注意數(shù)形結合;二要注意要有必要的文字說明.跟蹤演練3平面內有n(n∈N*,n≥2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,求證交點的個數(shù)f(n)=eq\f(nn-1,2)。證明(1)當n=2時,兩條直線的交點只有一個,又f(2)=eq\f(1,2)×2×(2-1)=1,∴當n=2時,命題成立.(2)假設當n=k(k∈N*,k≥2)時命題成立,即平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)=eq\f(1,2)k(k-1),那么,當n=k+1時,任取一條直線l,除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)=eq\f(1,2)k(k-1),l與其他k條直線交點個數(shù)為k,從而k+1條直線共有f(k)+k個交點,即f(k+1)=f(k)+k=eq\f(1,2)k(k-1)+k=eq\f(1,2)k(k-1+2)=eq\f(1,2)k(k+1)=eq\f(1,2)(k+1)[(k+1)-1],∴當n=k+1時,命題成立.由(1),(2)可知,對任意n∈N*(n≥2)命題都成立.要點四歸納-猜想—證明例4在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測{an},{bn}的通項公式,并證明你的結論;(2)證明:eq\f(1,a1+b1)+eq\f(1,a2+b2)+…+eq\f(1,an+bn)<eq\f(5,12).(1)解由條件得2bn=an+an+1,aeq\o\al(2,n+1)=bnbn+1。由此可以得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜測an=n(n+1),bn=(n+1)2.用數(shù)學歸納法證明:①當n=1時,由上可得結論成立.②假設當n=k(k∈N*)時,結論成立.即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么當n=k+1時,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],bk+1=eq\f(a\o\al(2,k+1),bk)=(k+2)2=[(k+1)+1]2,所以當n=k+1時,結論也成立.由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切正整數(shù)都成立.(2)證明eq\f(1,a1+b1)=eq\f(1,6)<eq\f(5,12).n≥2時,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n。故eq\f(1,a1+b1)+eq\f(1,a2+b2)+…+eq\f(1,an+bn)<eq\f(1,6)+eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2×3)+\f(1,3×4)+…+\f(1,nn+1)))=eq\f(1,6)+eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,3)+\f(1,3)-\f(1,4)+…+\f(1,n)-\f(1,n+1)))=eq\f(1,6)+eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,n+1)))<eq\f(1,6)+eq\f(1,4)=eq\f(5,12).綜上,原不等式成立.規(guī)律方法探索性命題是近幾年高考試題中經常出現(xiàn)的一種題型,此種問題未給出問題的結論,往往需要由特殊情況入手,歸納、猜想、探索出結論,然后再對探索出的結論進行證明,而證明往往用到數(shù)學歸納法.這類題型是高考的熱點之一,它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有很好的訓練作用.跟蹤演練4已知數(shù)列eq\f(1,1×4),eq\f(1,4×7),eq\f(1,7×10),…,eq\f(1,3n-23n+1),…,計算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計算結果,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法進行證明.解S1=eq\f(1,1×4)=eq\f(1,4);S2=eq\f(1,4)+eq\f(1,4×7)=eq\f(2,7);S3=eq\f(2,7)+eq\f(1,7×10)=eq\f(3,10);S4=eq\f(3,10)+eq\f(1,10×13)=eq\f(4,13).可以看到,上面表示四個結果的分數(shù)中,分子與項數(shù)n一致,分母可用項數(shù)n表示為3n+1。于是可以猜想Sn=eq\f(n,3n+1)(n∈N*).下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1時,左邊=S1=eq\f(1,4),右邊=eq\f(n,3n+1)=eq\f(1,3×1+1)=eq\f(1,4),猜想成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即eq\f(1,1×4)+eq\f(1,4×7)+eq\f(1,7×10)+…+eq\f(1,3k-23k+1)=eq\f(k,3k+1),那么,eq\f(1,1×4)+eq\f(1,4×7)+eq\f(1,7×10)+…+eq\f(1,3k-23k+1)+eq\f(1,[3k+1-2][3k+1+1])=eq\f(k,3k+1)+eq\f(1,3k+13k+4)=eq\f(3k2+4k+1,3k+13k+4)=eq\f(3k+1k+1,3k+13k+4)=eq\f(k+1,3k+1+1),所以,當n=k+1時猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.1.某個命題與正整數(shù)n有關,若n=k(k∈N*)時命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得()A.n=6時該命題不成立B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立D.n=4時該命題成立答案C解析∵n=k(k∈N*)時命題成立,那么可推得當n=k+1時該命題成立.∴若n=5時,該命題不成立,則n=4時該命題不成立.2.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”時,第一步驗證n=1時,命題成立,第二步歸納假設應寫成()A.假設n=2k+1(k∈N*)時命題正確,再推證n=2k+3時命題正確B.假設n=2k-1(k∈N*)時命題正確,再推證n=2k+1時命題正確C.假設n=k(k∈N*)時命題正確,再推證n=k+2時命題正確D.假設n≤k(k∈N*)時命題正確,再推證n=k+2時命題正確答案B解析因n為正奇數(shù),所以否定C、D項;當k=1時,2k-1=1,2k+1=3,故選B。3.用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N*)第一步應驗證________.答案n=3時是否成立解析n的最小值為3,所以第一步驗證n=3時是否成立.4.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k"到“n=k+1",左邊需增添的代數(shù)式是________.答案(2k+2)+(2k+3)解析當n=k時,左邊是共有2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).1.數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的命題,包括等式、不等式、數(shù)列問題、整除問題、幾何問題等.2.證明問題的初始值n0不一定,可根據(jù)題目要求和問題實際確定n0。3.從n=k到n=k+1要搞清“項"的變化,不論是幾何元素,還是式子,一定要用到歸納假設.一、基礎達標1.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=eq\f(n+3n+4,2)(n∈N*),驗證n=1時,左邊應取的項是()A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4答案D解析等式左邊的數(shù)是從1加到n+3。當n=1時,n+3=4,故此時左邊的數(shù)為從1加到4。2.用數(shù)學歸納法證明“2n〉n2+1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應取()A.2 B.3C.5 D.6答案C解析當n取1、2、3、4時2n>n2+1不成立,當n=5時,25=32>52+1=26,第一個能使2n〉n2+1的n值為5,故選C。3.用數(shù)學歸納法證明不等式1+eq\f(1,2)+eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)>eq\f(127,64)(n∈N*)成立,其初始值至少應取()A.7 B.8C.9 D.10答案B解析左邊=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2n-1)=eq\f(1-\f(1,2n),1-\f(1,2))=2-eq\f(1,2n-1),代入驗證可知n的最小值是8.4.用數(shù)學歸納法證明不等式eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,2n)〉eq\f(11,24)(n∈N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時,下列說法正確的是()A.增加了一項eq\f(1,2k+1)B.增加了兩項eq\f(1,2k+1)和eq\f(1,2k+1)C.增加了B中的兩項,但又減少了一項eq\f(1,k+1)D.增加了A中的一項,但又減少了一項eq\f(1,k+1)答案C解析當n=k時,不等式左邊為eq\f(1,k+1)+eq\f(1,k+2)+…+eq\f(1,2k),當n=k+1時,不等式左邊為eq\f(1,k+2)+eq\f(1,k+3)+…+eq\f(1,2k)+eq\f(1,2k+1)+eq\f(1,2k+2),故選C。5.用數(shù)學歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用歸納假設證n=k+1時的情況,只需展開________.答案(k+3)3解析假設當n=k時,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.當n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設,只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可.6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).依次計算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表達式為________.答案Sn=eq\f(2n,n+1)解析S1=1,S2=eq\f(4,3),S3=eq\f(3,2)=eq\f(6,4),S4=eq\f(8,5),猜想Sn=eq\f(2n,n+1)。7.已知正數(shù)數(shù)列{an}(n∈N*)中,前n項和為Sn,且2Sn=an+eq\f(1,an),用數(shù)學歸納法證明:an=eq\r(n)-eq\r(n-1).證明(1)當n=1時.a1=S1=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1+\f(1,a1))),∴aeq\o\al(2,1)=1(an〉0),∴a1=1,又eq\r(1)-eq\r(0)=1,∴n=1時,結論成立.(2)假設n=k(k∈N*)時,結論成立,即ak=eq\r(k)-eq\r(k-1).當n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak+\f(1,ak)))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)-\r(k-1)+\f(1,\r(k)-\r(k-1))))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak+1+\f(1,ak+1)))-eq\r(k).∴aeq\o\al(2,k+1)+2eq\r(k)ak+1-1=0,解得ak+1=eq\r(k+1)-eq\r(k)(an>0),∴n=k+1時,結論成立.由(1)(2)可知,對n∈N*都有an=eq\r(n)-eq\r(n-1)。二、能力提升8.k(k≥3,k∈N*)棱柱有f(k)個對角面,則(k+1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k+1)為()A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1C.f(k)+k D.f(k)+k-2答案A解析三棱柱有0個對角面,四棱柱有2個對角面[0+2=0+(3-1)];五棱柱有5個對角面[2+3=2+(4-1)];六棱柱有9個對角面[5+4=5+(5-1)];…。猜想:若k棱柱有f(k)個對角面,則(k+1)棱柱有f(k)+k-1個對角面.9.對于不等式eq\r(n2+n)≤n+1(n∈N*),某學生的證明過程如下:①當n=1時,eq\r(12+1)≤1+1,不等式成立.②假設n=k(n∈N*)時,不等式成立,即eq\r(k2+k)≤k+1,則n=k+1時,eq\r(k+12+k+1)=eq\r(k2+3k+2)<eq\r(k2+3k+2+k+2)=eq\r(k+22)=(k+1)+1,所以當n=k+1時,不等式成立,上述證法()A.過程全部正確B.n=1驗證不正確C.歸納假設不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確答案D解析從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設,不符合數(shù)學歸納法的證題要求.10.用數(shù)學歸納法證明eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+…+eq\f(1,n+12)〉eq\f(1,2)-eq\f(1,n+2).假設n=k時,不等式成立.則當n=k+1時,應推證的目標不等式是________.答案eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+…+eq\f(1,k2)+eq\f(1,k+12)+eq\f(1,k+22)>eq\f(1,2)-eq\f(1,k+3)解析觀察不等式中的分母變化知,eq\f(1,22)+eq\f(1,32)+…+eq\f(1,k2)+eq\f(1,k+12)+eq\f(1,k+22)〉eq\f(1,2)-eq\f(1,k+3)。11.求證:eq\f(1,n+1)+eq\f(1,n+2)+…+eq\f(1,3n)〉eq\f(5,6)(n≥2,n∈N*).證明(1)當n=2時,左邊=eq\f(1,3)+eq\f(1,4)+eq\f(1,5)+eq\f(1,6)>eq\f(5,6),不等式成立.(2)假設當n=k(k≥2,k∈N*)時命題成立,即eq\f(1,k+1)+eq\f(1,k+2)+…+eq\f(1,3k)>eq\f(5,6)。則當n=k+1時,eq\f(1,k+1+1)+eq\f(1,k+1+2)+…+eq\f(1,3k)+eq\f(1,3k+1)+eq\f(1,3k+2)+eq\f(1,3k+1)=eq\f(1,k+1)+eq\f(1,k+2)+…+eq\f(1,3k)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k+1)+\f(1,3k+2)+\f(1,3k+3)-\f(1,k+1)))>eq\f(5,6)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k+1)+\f(1,3k+2)+\f(1,3k+3)-\f(1,k+1)))>eq\f(5,6)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3k+3)-\f(1,k+1)))=eq\f(5,6),所以當n=k+1時不等式也成立.由(1)和(2)可知,原不等式對一切n≥2,n∈N*均成立.12.已知數(shù)列{an}中,a1=-eq\f(2,3),其前n項和Sn滿足an=Sn+eq\f(1,Sn)+2(n≥2),計算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法加以證明.解當n≥2時,an=Sn-Sn-1=Sn+eq\f(1,Sn)+2。∴Sn=-eq\f(1,Sn-1+2)(n≥2).則有:S1=a1=-eq\f(2,3),S2=-eq\f(1,S1+2)=-eq\f(3,4),S3=-eq\f(1,S2+2)=-eq\f(4,5),S4=-eq\f(1,S3+2)=-eq\f(5,6),由此猜想:Sn=-eq\f(n+1,n+2)(n∈N*).用數(shù)學歸納法證明:(1)當n=1時,S1=-eq\f(2,3)=a1,猜想成立.(2)假設n=k(k∈N*)猜想成立,即Sk=-eq\f(k+1,k+2)成立,那么n=k+1時,Sk+1=-eq\f(1,Sk+2)=-eq\f(1,-\f(k+1,k+2)+2)=-eq\f(k+2,k+3)=-eq\f(k+1+1,k+1+2)。即n=k+1時猜想成立.由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n,猜想結論均成立.三、探究與創(chuàng)新13.已知遞增等差數(shù)列{an}滿足:a1=1,且a1,a2,a4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2a1)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1
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