第一章-隨機(jī)事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)謹(jǐn)以此獻(xiàn)給我所有可愛的，才華橫溢的學(xué)生！是的，正是這樣！我們將開始神奇之旅，感動(dòng)上帝！

在第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣布：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用超過10個(gè)師的兵力。這句話有一個(gè)非同尋常的來歷。

1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國限于實(shí)力，無力增派更多的護(hù)航艦。一時(shí)間，德軍的“潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了一位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后認(rèn)為：艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，從數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它具有一定的規(guī)律性。一定數(shù)量的船（為100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個(gè)編次）。編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令艦隊(duì)在指定海域集合，再集體通過危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口。結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)．1名數(shù)學(xué)家＝10個(gè)師回顧引入概率論的歷史概率（Probability），亦稱為賭博法，機(jī)遇論，猜測(cè)藝術(shù)等，它的思想可追溯自公元前220年以前的中國的一些文獻(xiàn).不過真正的歷史卻只有三百來年而已.如今，但凡要進(jìn)行信息處理，決策制定，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等等，只要涉及數(shù)據(jù)，必用概率統(tǒng)計(jì)的模型和方法.例如，在經(jīng)濟(jì)，管理，工程，技術(shù)，物理，化學(xué)，生物，環(huán)境，天文，地理，衛(wèi)生，教育，語言，國防等領(lǐng)域有非常重要的應(yīng)用.

這一天，法國一位貴族、職業(yè)賭徒梅累（DeMere）向法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡（Pascal）提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”問題．問題是這樣的，一次梅累和賭友擲硬幣，各押賭注32個(gè)金幣．雙方約定先勝三局者為勝,取得全部64個(gè)金幣.

賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，梅累已經(jīng)贏了兩局，賭友已經(jīng)贏了一局．這時(shí)候梅累接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了．請(qǐng)問：兩個(gè)人應(yīng)該怎樣分這64個(gè)金幣才算合理呢?概率論的生日：1654年7月29日賭友說，他要再碰上兩次正面，或梅累要再碰上一次正面就算贏，所以他主張賭金應(yīng)按2：1來分。即自己分64個(gè)金幣的，梅累分64個(gè)金的。

梅累爭(zhēng)辯說，不對(duì)，即使下一次賭友擲出了正面，他還可以得到，即32個(gè)金幣；再加上下一次他還有一半希望得到16個(gè)金幣，所以他應(yīng)該分得64個(gè)金幣的，賭友只能分得64個(gè)金幣的。兩人到底誰說得對(duì)呢?帕斯卡是17世紀(jì)有名的“神童”數(shù)學(xué)家?？墒?，梅累提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了．他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點(diǎn)眉目，于是寫信給他的好友費(fèi)馬，兩人討論結(jié)果，取得了一致的意見：梅累的分法是對(duì)的，他應(yīng)得64個(gè)金幣的四分之三，賭友應(yīng)得64金幣的四分之一。這時(shí)有位荷蘭的數(shù)學(xué)家惠更斯在巴黎聽到這件新聞，也參加了他們的討論．結(jié)果他們這樣回答了梅累的問題；“先做一個(gè)樹結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)樹結(jié)構(gòu)圖A勝的概率是3／4時(shí)，就把賭錢的3／4分給A，把剩下的1／4分給B就可以了．”于是，概率的計(jì)算就這樣產(chǎn)生了．

在他們?nèi)颂岢龅慕夥ㄖ?首先都涉及了數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ).

討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做《論賭博中的計(jì)算》(1657年)，這就是概率論最早的一部著作．

概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域里有著十分廣泛的應(yīng)用．古典概率時(shí)期工具：排列組合主要工作：PascalFermatHuygensBernoulliJamesDeMoivreAbrahamBernoulliDaniel等等.《論賭博中的計(jì)算》，1657，（DeRatiociniisinLudoAleae)《猜測(cè)的藝術(shù)》,1713,ArsConjectandi,詳盡論述排列組合理論，提出了概率論在民間，道德，經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用.《論賭博法》,1711,《機(jī)遇說》,1722，

Laplace以前關(guān)于概率論的最大貢獻(xiàn).《賭博法新論》,1730,

《關(guān)于猜測(cè)的新問題的分析研究》,1759，將概率論推廣于人壽保險(xiǎn)，健康統(tǒng)計(jì)上.分析概率時(shí)期工具：微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要工作：DeMoivreAbrahamLaplaceTheDoctrineofChances,1733,由二項(xiàng)式公式推出正態(tài)分布曲線《概率分析理論》,1812,ThéorieAnalytiquedesProbabilités

,標(biāo)志進(jìn)入分析概率時(shí)期的偉大著作.等等.Kolmogorov(1903–1987)《概率論的基本概念》,1933,給出了概率論的公理化定義，標(biāo)志概率論進(jìn)入現(xiàn)代數(shù)學(xué)范疇.概率論研究的對(duì)象是什么？現(xiàn)象確定現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象§1.1 隨機(jī)事件第一章 隨機(jī)事件與概率它的原意是指刮風(fēng)、 下雨、陰天、晴天 這些天氣狀況很難 預(yù)料，后來它被引 申為：世界上很多 事情具有偶然性， 人們不能事先判定這些事情是否會(huì)發(fā)生。

降水概率90%“天有不測(cè)風(fēng)云”人們果真對(duì)這類偶然事件完全無法把握、束手無策嗎？隨著對(duì)事件發(fā)生的可能性的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)許多偶然事件的發(fā)生也具有規(guī)律可循的。概率這個(gè)重要的數(shù)字概念，正是在研究這些規(guī)律中產(chǎn)生的。人們用它描敘事件發(fā)生的可能性的大小。例如，天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率為90%，就意味著明天有很大可能下雨（雪）。降水概率90%試分析:“從一堆牌中任意抽一張抽到紅牌”這一事件的發(fā)生情況?可能發(fā)生,也可能不發(fā)生必然發(fā)生必然不會(huì)發(fā)生

木柴燃燒,產(chǎn)生熱量明天，地球還會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)問題情境在00C下，這些雪融化實(shí)心鐵塊丟入水中,鐵塊浮起煮熟的鴨子，飛了水從高處流向低處太陽從西邊升起

在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象.“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)”等.確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果.研究的數(shù)學(xué)工具：代數(shù)，微積分，微分方程等等.轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針指向黃色區(qū)域

在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.這兩人各買1張彩票，她們中獎(jiǎng)了實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.實(shí)例2

“在相同條件下生產(chǎn)同一種零件，觀察它們的尺寸”.結(jié)果:“它們的尺寸總會(huì)有一點(diǎn)差異

”.實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品、次品實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6

“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短.

個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象：原則上不能在相同條件下重復(fù)出現(xiàn)（例6）.隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果.隨機(jī)現(xiàn)象的分類

大量性隨機(jī)現(xiàn)象：在相同條件下可以重復(fù)出現(xiàn)（例1-5）.2°隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看，似乎雜亂無章,沒有規(guī)律.但實(shí)踐證明,如果同類的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn),它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性.1°隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.

這種規(guī)律性隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯.這種由大量同類隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的集體規(guī)律性叫做統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科.二、隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性必然性使人們?cè)敢馐孪群煤脺?zhǔn)備。隨機(jī)性使人們對(duì)未來，充滿著盼望與戒慎恐懼。光有必然性，亳無變異，對(duì)未來缺乏盼望，人們將少了努力的動(dòng)機(jī)。光有隨機(jī)性，只靠運(yùn)氣，將令人失去積極認(rèn)真的企圖心。機(jī)遇在愛情與工作上扮演著極其重要的角色。我們?cè)谌松衅鋵?shí)不是按明確路線前進(jìn)的汽車司機(jī)，而更像是彈珠游戲里到處碰運(yùn)氣的珠子。以開放的心態(tài)面對(duì)生活中的岔道口，能看到別人錯(cuò)過的機(jī)會(huì)。即使事與愿違，也能很快擺脫失望，走向下一個(gè)幸運(yùn)之地。他們更加快樂，更容易達(dá)成心愿。

三分天注定，五分靠打拼，兩分靠運(yùn)氣。由于變異無可避免的存在，要了解變異，設(shè)法減少變異。雖世事多變，但萬物有常，存在隨機(jī)法則。看似沒有規(guī)律，其實(shí)被大數(shù)法則規(guī)范。隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題

什么是隨機(jī)試驗(yàn)?隨機(jī)試驗(yàn)現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機(jī)性的世界，開始第一步的探索和研究.1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.每次測(cè)試的結(jié)果事前不可預(yù)言.定義：在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為

E.特點(diǎn)：可重復(fù)性，可觀察性，隨機(jī)性.實(shí)例“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.分析:(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:字面、花面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)3.記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.

三、樣本空間樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是不確定的，但所有可能結(jié)果是明確的.隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為樣本空間：樣本點(diǎn)的全體，記為

如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成：S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中

樣本空間在如下意義上提供了一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：

在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).例1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.

1)觀將一枚硬幣連拋N次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).2)拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.4)記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).5)

考察某地區(qū)12月份的平均氣溫.6)從一批燈泡中任取一只,測(cè)試其壽命.

2°

同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.如：

對(duì)于同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H（Heads）、反面T(Tails)出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為注

1°

試驗(yàn)不同,對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.3°建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題.如：只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間,它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面

或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無人排隊(duì)的模型等.

所以在具體問題的研究中

,描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.四、隨機(jī)事件（Event）事件：隨機(jī)試驗(yàn)中某些結(jié)果所構(gòu)成的集合，這些結(jié)果具有某一可觀察的特征.隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中，可能發(fā)生，亦可能不發(fā)生的事件.必然事件：必然發(fā)生的事件，記為不可能事件：一定不會(huì)發(fā)生的事件，記為基本事件：恰含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件.Remark一般可將必然事件，不可能事件視為隨機(jī)事件的極端情形，并統(tǒng)一簡(jiǎn)稱為事件.2.事件A與B相等：記作A=B，表示A

ìB并且BA.AB六、事件間的關(guān)系及運(yùn)算

1.事件A包含B（B包含于A）：表示事件B發(fā)生事件A必然發(fā)生，記作A

B

é（或B

Aì）。例如:A（擲出奇數(shù)點(diǎn)）B(擲出一點(diǎn))

解：1)顯然，B發(fā)生必然導(dǎo)致A發(fā)生，所以BA;.

2)又因?yàn)锳發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，所以AB，由此得A=B.Example

口袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地取球。A=“取到最后一個(gè)是白球”，B=“取到最后是白球段”。問A

與B

的關(guān)系？A+BAB5.事件A與B的差事件：表示A發(fā)生而B不發(fā)生，記作A-B。A-BABBAProperty8.有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事件的并與交9.完備事件組七、隨機(jī)事件的運(yùn)算律和的交換律：和的結(jié)合律：交的交換律：交的結(jié)合律：第一分配律：第二分配律：自反律：第一對(duì)偶律：第二對(duì)偶律：

記號(hào)概率論集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點(diǎn)

元素

AB

A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時(shí)發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對(duì)立事件A的余集Example試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個(gè)出現(xiàn)；④至少有一個(gè)出現(xiàn)；⑤至多有一個(gè)出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個(gè)出現(xiàn)；§1.2 隨機(jī)事件的概率概率的直觀定義

隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量（數(shù)值），稱為事件發(fā)生的概率，記為拉普拉斯有一個(gè)信念：偶然現(xiàn)象有穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性一般人或許認(rèn)為:生男生女的可能性是相等的,因而推測(cè)出男嬰和女嬰的出生數(shù)的比應(yīng)當(dāng)是1:1,可事實(shí)并非如此.1814年,法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace1794——1827)在他的新作《概率的哲學(xué)探討》一書中,記載了一下有趣的統(tǒng)計(jì).他根據(jù)倫敦,彼得堡,柏林和全法國的統(tǒng)計(jì)資料,得出了幾乎完全一致的男嬰和女嬰出生數(shù)的比值是22:21,即在全體出生嬰兒中,男嬰占51.2%,女嬰占48.8%.可奇怪的是,當(dāng)他統(tǒng)計(jì)1745——1784整整四十年間巴黎男嬰出生率時(shí),卻得到了另一個(gè)比是25:24,男嬰占51.02%,與前者相差0.14%.

對(duì)于這千分之一點(diǎn)四的微小差異!拉普拉斯對(duì)此感到困惑不解,他深信自然規(guī)律,他覺得這千分之一點(diǎn)四的后面,一定有深刻的因素.于是,他深入進(jìn)行調(diào)查研究,終于發(fā)現(xiàn):當(dāng)時(shí)巴黎人“重男輕女”,有拋棄女嬰的陋俗,育嬰堂嬤嬤撿去后又上報(bào)一次，以至于歪曲了出生率的真相,經(jīng)過修正,巴黎的男女嬰的出生比率依然是22:21.定義

一、概率及其頻率解釋

通常稱與試驗(yàn)有關(guān)的所有事件的集合為事件域，記為

F.則為

F上關(guān)于的函數(shù).二、從頻率的性質(zhì)看概率的性質(zhì)

對(duì)任意的事件若 兩兩互不相容，有頻率的核心性質(zhì)實(shí)例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。仿真產(chǎn)生數(shù)據(jù)。林覺民，在“與妻訣別書”中，寫不盡對(duì)愛妻的不舍。最后說“紙短情長(zhǎng)，所未盡者尚有幾萬千，汝可以模擬得之?！奔埳险劚囼?yàn)者拋擲次數(shù)n“正面向上”次數(shù)m“正面向上”頻率m/n棣莫弗204810610.518布豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005張老師100000隨著拋擲次數(shù)的增加,“正面向上”的頻率的變化趨勢(shì)有何規(guī)律?仔細(xì)看一看從上述數(shù)據(jù)可得拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動(dòng)幅(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的n,所得的f不一定相同;度較大,但隨n

的增大,頻率f

呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f

總是在0.5

附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.擲骰子實(shí)驗(yàn):把一個(gè)骰子拋擲多次，觀察其出現(xiàn)的結(jié)果，并記錄各結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)，然后計(jì)算各頻率.一枚硬幣引發(fā)的故事在擲硬幣試驗(yàn)中，當(dāng)較小時(shí)，比值 的波動(dòng)較大，而當(dāng)逐漸增大時(shí)，該值波動(dòng)亦逐漸穩(wěn)定于0.5.

若對(duì)一試驗(yàn)重復(fù)足夠多次，我們可認(rèn)為此試驗(yàn)的所有可能情形均已發(fā)生.那么，我們?cè)僮鲆淮卧囼?yàn)，只不過在重復(fù)曾經(jīng)的試驗(yàn)而已，結(jié)果當(dāng)然應(yīng)該與那次被重復(fù)的試驗(yàn)的結(jié)果一致.于是，我們只要看看我們要考慮的事件與總試驗(yàn)次數(shù)的比值的穩(wěn)定值，便可估計(jì)該事件發(fā)生的可能性大小.當(dāng)然，此穩(wěn)定值并非概率的本質(zhì)，不應(yīng)作為概率的定義.但正如上面所說，由于它揭示了隱藏于隨機(jī)現(xiàn)象中的內(nèi)在規(guī)律性，用于估計(jì)事件發(fā)生的可能性大小卻是合理的.孩子們，明白了嗎？不明白？好吧，理性點(diǎn)。大數(shù)定律告訴我們，當(dāng)n→∞時(shí)，頻率的極限是概率！概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的n

次試驗(yàn)中,事件A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng),

且隨n越大擺動(dòng)幅度越小,則稱p為事件A

的概率,記作P(A).統(tǒng)計(jì)概率的特性優(yōu)點(diǎn)：易于理解，生活中比比皆是缺點(diǎn)：大量重復(fù)試驗(yàn)的局限性只能得到近似值作為頻率的穩(wěn)定值，很自然地有：

對(duì)任意的事件若 兩兩互不相容，有概率的核心性質(zhì)(2)顯然成立;Proof(1)由于?是必然事件,每次試驗(yàn)均發(fā)生,則其頻率恒等于1,自然p=1;1

概率的統(tǒng)計(jì)定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容。Remark2

與P(A)的區(qū)別而P(A)是一個(gè)確定的數(shù)!隨機(jī)試驗(yàn)有關(guān);是一個(gè)隨機(jī)數(shù),是變數(shù),它與3

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，有4

概率統(tǒng)計(jì)定義的缺陷(1)不便于理論研究.需要作大量的試驗(yàn),才能觀察出的穩(wěn)定值,即無法根據(jù)此定義計(jì)算某事件的概率.(2)在數(shù)學(xué)上不夠嚴(yán)謹(jǐn).毛澤東，《滿江紅·和郭沫若同志

》：一萬年太久，只爭(zhēng)朝夕。對(duì)于機(jī)率：不爭(zhēng)一時(shí)而爭(zhēng)千秋。觀測(cè)次數(shù)夠多后，機(jī)率的威力就顯現(xiàn)。機(jī)率是千秋的事馬克吐溫(1907)：Therearethreekindsoflies:lies,damnedlies,and

statistics.(有三種謊言:謊言,可惡的謊言,及統(tǒng)計(jì))統(tǒng)計(jì)為何被當(dāng)做謊言？張老師說：有數(shù)據(jù)說明，擲硬幣時(shí)正面向上的概率為80%。張老師這么老實(shí)，肯定沒有說謊。那么，誰說謊了哩？ExampleinPractice

（統(tǒng)計(jì)數(shù)字會(huì)撒謊，『美』達(dá)萊爾·哈夫）

使用多克斯牌牙膏將使蛀牙減少23%，結(jié)論出自一家信譽(yù)良好的“獨(dú)立”實(shí)驗(yàn)室，并且還經(jīng)過了注冊(cè)會(huì)計(jì)師的證實(shí)。然而，如果你不是特別容易輕信他人或者盲目樂觀，經(jīng)驗(yàn)將告訴你：一種牙膏難以比其他牙膏好。那么多克斯公司是怎樣制造了上述結(jié)論？這里的主要把戲是不充分的樣本——統(tǒng)計(jì)角度的不充分，但對(duì)于多克斯公司來說已經(jīng)足夠了。只有當(dāng)你讀小字體的文字時(shí)才會(huì)發(fā)現(xiàn)：被測(cè)試的用戶僅由12人組成。單憑這點(diǎn)，你便不得不佩服多克斯公司，而且它留給你一個(gè)可能知道全部情況的機(jī)會(huì)。有的廣告商索性將類似的文字都略去，留給讀者——即便他是一個(gè)老練的統(tǒng)計(jì)專家——一個(gè)猜想：這里面到底玩了什么把戲？

讓規(guī)模不大的一組人連續(xù)記錄六個(gè)月的蛀牙數(shù)，接著使用多克斯牙膏。之后一定會(huì)發(fā)生以下的其中一種結(jié)果：蛀牙明顯增多，蛀牙明顯減少或者蛀牙數(shù)量無顯著變化。如果是第一或者第三種結(jié)果，多克斯公司編檔保存好這些數(shù)字，當(dāng)然最好是藏在別人找不到的地方，然后重新實(shí)驗(yàn)。由于機(jī)遇的作用，遲早有一組被測(cè)試者將證明有很好的效果，并且這個(gè)結(jié)果足以好到作為標(biāo)題甚至引發(fā)一場(chǎng)廣告戰(zhàn)。不過，不管實(shí)驗(yàn)者使用的是多克斯牙膏還是發(fā)酵粉，或者還是繼續(xù)使用原來的品牌，上述結(jié)果都會(huì)發(fā)生。任何由于機(jī)遇產(chǎn)生的差異，在大樣本的使用中都是微不足道的，不足以作為廣告標(biāo)題。

多克斯公司是怎樣輕易地獲得一個(gè)不存在漏洞并經(jīng)得起檢驗(yàn)的結(jié)論？張老師患了重感冒，奄奄一息地來到醫(yī)生面前。聽到醫(yī)生的話，你猜張老師有什么反應(yīng)?“你的病很重,在十個(gè)得這種病的人中只有一個(gè)能救活.”當(dāng)張老師被這個(gè)消息嚇得夠嗆時(shí),醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運(yùn)的。因?yàn)槟阏业搅宋?我已經(jīng)看過九個(gè)病人了,他們都死于此病.”

OR洗具醫(yī)生在檢查完的時(shí)候搖搖頭：嚇出一身冷汗，感冒好了～～～治療10個(gè)病人，相當(dāng)于做10次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以第10次治療的結(jié)果也是隨機(jī)的，張老師掛掉的概率依然是90%.

恭喜張老師死里逃生！繼續(xù)上課！赫拉克利特：

人不能兩次踏進(jìn)同一條河流有的事件無法重復(fù)試驗(yàn)，稱為一次性事件。如：張老師掛掉的可能性是90%,張老師肯定沒有說謊，明天是否下雨，這個(gè)病人是否能治愈，新產(chǎn)品銷路如何，火星上是否有生命，核彈爆炸的威力，…

主觀概率定義：合理的信念的測(cè)度，是認(rèn)識(shí)主體根據(jù)其所掌握的知識(shí)、信息和證據(jù)，而對(duì)某種情況出現(xiàn)可能性大小所做的數(shù)量判斷。如：降水率，治愈率，洲際導(dǎo)彈命中率，明年國民經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率，…

主觀概率 對(duì)于不可重復(fù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，在符合概率的公理化定義的三個(gè)基本條件下所定義的概率。

主觀概率的確定或是依賴于經(jīng)驗(yàn)所形成的個(gè)人信念，或是依賴于對(duì)歷史信息的提煉，概括和應(yīng)用。主觀概率的確定雖然帶有很大的個(gè)人成分，但并不是完全的臆測(cè)，并且主觀概率在一定的條件下，還可使用貝葉斯公式加以修正。主觀概率至少是頻率方法及古典方法的一種補(bǔ)充．有了主觀概率，至少可以使人們?cè)陬l率觀點(diǎn)不適用時(shí)也能談?wù)摳怕?，且能使用概率統(tǒng)計(jì)方法解決相應(yīng)的實(shí)際問題。

主觀概率的應(yīng)用主要在于決策問題。在數(shù)據(jù)分析方面，貝葉斯概率起著重要的作用。它在20世紀(jì)得到發(fā)揚(yáng)光大，被稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的貝葉斯學(xué)派。與頻率學(xué)派（基于頻率的概率，不允許有主觀慨率的作用）間曾發(fā)生令人矚目的爭(zhēng)論(部分是主觀概率合法性之爭(zhēng))。主觀概率適用于對(duì)只出現(xiàn)一次而不能重復(fù)的事件進(jìn)行概率描述，而頻率的解釋則適用于能大量重復(fù)的隨機(jī)事件。批評(píng)：如果概率是人的主觀信念的數(shù)量度量，那么概率論就很象心理學(xué)的一個(gè)分支，而對(duì)概率進(jìn)行純主觀的解釋最終將導(dǎo)致唯心論。辯解：客觀上有很多只出現(xiàn)一次而又需要作出決策的事件，決策人通過主觀概率把自己的以數(shù)據(jù)、分析和經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)的判斷表示為數(shù)量形式，就可以利用概率的整套數(shù)學(xué)理論和工具得到結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)決策往住非常有用。ExampleinPractice1999年1月14日的《科學(xué)時(shí)報(bào)》對(duì)“神農(nóng)架是否存在野人”問題的討論做了報(bào)道。這當(dāng)然是一個(gè)一次性事件，因?yàn)槠仗煜虏o第二個(gè)神農(nóng)架。從報(bào)道上看，學(xué)者們的意見基本一致，即可能性很小。但仍有不同：有的學(xué)者認(rèn)為完全不可能，即把“神農(nóng)架存在野人”這個(gè)事件的概率判為0，另一位學(xué)者將其判為0.05，還有的學(xué)者只判斷“很小”但未給出數(shù)值。這就是各學(xué)者對(duì)這事件發(fā)生所判的主觀概率。

三、概率的公理化定義1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(1903-1987)提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.(A.H.Колмогоров1903-1987)

1939年任蘇聯(lián)科學(xué)院院士.先后當(dāng)選美,法,意,荷,英,德等國的外籍院士及皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.為20

世紀(jì)最有影響的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫設(shè)為樣本空間，F(xiàn)

為上的事件域，稱

F上的實(shí)值函數(shù)為上的一個(gè)概率測(cè)度，若它滿足：公理一： （規(guī)范性）公理二：對(duì)任意的事件 （非負(fù)性）公理三：若 兩兩互不相容，有

（可列可加性）其中，對(duì)任意給定的具體事件 稱為事件的概率.一個(gè)具有概率測(cè)度的樣本空間稱為一個(gè)概率空間，記為 F

簡(jiǎn)記為

證明由公理3知所以四、概率測(cè)度的其他性質(zhì)不可能事件的概率為零

１.最小性注意事項(xiàng)但反過來，如果P（A）=0，未必有A=Φ

例如：

隨機(jī)在閉區(qū)間[0,5]取值，在某次試驗(yàn)中，取到的數(shù)字為2.我們知道，在這類試驗(yàn)中，剛好取到2的概率為0，但它卻真實(shí)發(fā)生了，并非不可能事件.設(shè)A1，A2，…,An兩兩互不相容，則證明

在公理3中,?。羒=（i=n+1,n+2,…）.2.有限可加性證明由于Ａ與其對(duì)立事件互不相容，由有限可加性有

而

所以

3.逆事件的概率若AB，則P(B－A)=P(B)－P(A)

Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）4.差事件的概率推論1(單調(diào)性)推論2(性質(zhì)５：有界性)推論3(減法公式)對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件Ａ、Ｂ，有

６.加法定理又由減法公式，得因此得BCA

加法定理的推廣例１：如果某種彩票的中獎(jiǎng)概率為

，那么買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？為什么？不一定.買1000張這種彩票的中獎(jiǎng)概率約為1-0.9991000≈0.632，即有63.2%的可能性中獎(jiǎng)，但不能肯定中獎(jiǎng).97321456810解法1例２解法2ExampleTheWallStreetJournal,2004.4.10,

公布了30家最大的股票和對(duì)沖基金的1年期收益率和5年期收益率，截止日期為2000.3.31.假定1年期收益率超過50％，或5年期收益率超過300％稱為高收益.有9項(xiàng)基金1年期收益率超過50％，7項(xiàng)基金5年期收益率超過300％，其中5項(xiàng)基金1年期收益率超過50％且5年期收益率超過300％.現(xiàn)在我們隨機(jī)選擇一個(gè)基金，問選到的基金1年期和5年期收益率均非高收益的概率是多少？若隨機(jī)試驗(yàn)E具有下列兩個(gè)特征：1)有限性

樣本空間中，只有有限個(gè)樣本點(diǎn)：2)等可能性

則稱E所描述的概率模型為古典概型.古典概型隨機(jī)試驗(yàn)一、古典概型定義§1.3 古典概型與幾何概型古典概型中事件概率的計(jì)算公式A為E的任意一個(gè)事件,且包含m個(gè)樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率為:

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成,

例1將骰子先后拋擲2次，計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的數(shù)之和是5的概率是多少？問題1

設(shè)箱中有只白球和

β只黑球,現(xiàn)從袋中(1)無放回地摸球基本事件總數(shù)為:A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為解設(shè)A={所取球恰好含a個(gè)白球,b個(gè)黑球}無放回地依次摸出a+b只球,求所取球恰好含a個(gè)白球,b個(gè)黑球的概率(a,bβ)?古典概型的問題一般可轉(zhuǎn)化為摸球模型有一個(gè)黑壺，一個(gè)白壺.黑壺中有5個(gè)紅球，6個(gè)綠球；白壺中有3個(gè)紅球，4個(gè)綠球.你可以先選擇一個(gè)壺，然后從這個(gè)壺中隨機(jī)抽取一球.假如你抽到紅球的話，你將會(huì)獲得獎(jiǎng)勵(lì).你愿意選擇哪個(gè)壺進(jìn)行抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是5/11=0.455；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是3/7=0.429.應(yīng)選擇黑壺.Example再考慮另外的一個(gè)黑壺和一個(gè)白壺.這個(gè)黑壺中有6個(gè)紅球，3個(gè)綠球；白壺中有9個(gè)紅球，5個(gè)綠球.現(xiàn)在打算選擇哪個(gè)壺來抽球哩？選擇黑壺的話，抽中紅球的概率是6/9=0.667；選擇白壺的話，抽中紅球的概率是9/14=0.643.還是應(yīng)該選擇黑壺.最后，我們把第二次試驗(yàn)中黑壺的球倒入第一次試驗(yàn)中的黑壺，把第二次試驗(yàn)中白壺的球倒入第一次試驗(yàn)中的白壺.同樣地你可以先選擇一個(gè)壺來抽取紅球，你愿意選擇哪個(gè)壺？直觀告訴我們，選擇黑壺.我們還是算一算來驗(yàn)證吧.黑壺中有11個(gè)紅球，9個(gè)綠球，抽到紅球的概率是11/20=0.55.白壺中有12個(gè)紅球，9個(gè)綠球，抽到紅球的概率是12/21=0.571.應(yīng)當(dāng)選擇白壺，與我們的直覺完全相反.辛普森悖論（Simpson’sparadox）.量與質(zhì)是不等價(jià)的，無奈的是量比質(zhì)來得容易量測(cè)，所以人們總是習(xí)慣用量來評(píng)定好壞.念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下。如果我們?cè)谌松木駬裆线x擇了一條比較難走的路，就更有可能不被賞識(shí)。迎合普世價(jià)值，讓我們成為全才，同時(shí)也陷入“懷才不遇”困境。獨(dú)特的人生更精彩！陳子昂，《登幽州臺(tái)歌》：（2）有放回地摸球例2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地解第1次摸球10種第2次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.第3次摸球10種基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個(gè)數(shù)為Example3請(qǐng)問：在個(gè)人中，至少有一對(duì)生日相同的概率有多大？（假定一年365天）本問題可摸球化為：黑箱中有365個(gè)球，隨機(jī)有放回地取次，問必有重復(fù)取球的概率有多大？

世界杯正在舉行,5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場(chǎng)券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場(chǎng)券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”

到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！背楹灢槐貭?zhēng)先恐后.二、幾何概型定義若試驗(yàn)E具有下列特征：1)無限性：E的樣本空間是某幾何空間中的2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的，則稱E所描述的概率模型為幾何概型，并稱E為幾何概型隨機(jī)試驗(yàn).一個(gè)區(qū)域，其包含無窮多個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)由區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的隨機(jī)位置所確定.即樣本點(diǎn)落在內(nèi)幾何度量相同的子區(qū)域是等可能的，例如，考慮平面區(qū)域其面積記為 在中等可能任意投點(diǎn).“等可能”的確切含義是：點(diǎn)落于中任意子區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比.即：若仍以表示“點(diǎn)落于中”，則存在常數(shù)使再利用有注1幾何空間一維二維三維…幾何度量長(zhǎng)度面積體積…

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，以m(A)表示事件A的幾何度量，為樣本空間.若0<m()<+,則對(duì)于任一事件A，其概率為2

那末

兩人會(huì)面的充要條件為連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.解甲、乙兩人相約在0到T

這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽例1.18（會(huì)面問題）故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有浦豐問題相交的概率.alMx解

設(shè)M表示針落下后，針的中心，x表示M與最近一平行線的距離，表示針與這平行線的夾角，則樣本空間：l/21777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，向平面任意投一長(zhǎng)為l(l<a)的針，試求針與平行線針與一平行線相交設(shè)A=“針與一平行線相交”，則0xa/2A蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，當(dāng)投針試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，算出針與平行直線相交的次數(shù)m,則頻率值即可作為P(A)的近似值代入上式，那么上述方法被稱為MonteCarlo方法.由于現(xiàn)今可通過計(jì)算機(jī)模擬大量重復(fù)試驗(yàn)，此法如今應(yīng)用廣泛.歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長(zhǎng)時(shí)間試驗(yàn)者薩特，法國思想家、作家， 存在主義哲學(xué)的大師：

“Hellisotherpeople”

他人即地獄對(duì)“我”來說，其他的人就像一個(gè)賊，要將“我”的世界偷去，將我納入他們的軌道中，成為一個(gè)“在己存有”（being-in-itself），成為一個(gè)對(duì)象或東西?！?.4 條件概率WhatshouldIdo?ShouldIbewhoyouwantmetobe?Justdoit!

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A|B)=？擲骰子

已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A)=3/10，

又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)則P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7

本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，

計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.

這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.條件概率的直觀定義

某個(gè)事件發(fā)生的可能性大小經(jīng)常會(huì)受到另一相關(guān)事件發(fā)生與否的影響.若在事件已發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率為則稱為在已知發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件概率，記為Example考慮美國東部某大城市警察局男性與女性警官的升職情況.警察局有1200名警官，男性960人，女性240人.在過去兩年中有324名警官得到提升，男性288人，女性36人.在瀏覽了升職記錄后，一個(gè)由女性警官組成的委員會(huì)指出在升職過程中存在性別歧視.其依據(jù)是升職人數(shù)男性與女性比為288：36；而警察局官員否認(rèn)歧視，認(rèn)為男性升職多只是因?yàn)榫僦心行员緛砭捅扰远嗪芏?經(jīng)過計(jì)算，男性警官升職概率為0.30，女性警官升職概率為0.15.條件概率的使用本身不能表明歧視的存在，但條件概率的數(shù)值則成為女警官們指控的有力證據(jù)！稍后，我們還可以利用獨(dú)立性分析，斷言升職過程中，升職與否絕對(duì)與性別有關(guān)！1.在古典概型中，討論 時(shí)，樣本空間已縮小為“包含的所有事件”，故2.同樣，在幾何概型中

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,則稱

(1)定義1.3為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.Samplespace

ReducedsamplespacegiveneventB條件概率

P(A|B)的樣本空間條件概率的性質(zhì)譬如

2)從加入條件后改變了的情況去算條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2

點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)例

人壽保險(xiǎn)公司常常需要知道存活到某一個(gè)年齡段的人在下一年仍然存活的概率。根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，某城市的人由出生活到50歲的概率為0.90718，存活到51歲的概率為0.90135。問現(xiàn)在已經(jīng)50歲的人，能夠活到51歲的概率是多少？

解記因此要求顯然因?yàn)閺亩?/p>

可知該城市的人在50歲到51歲之間死亡的概率約為0.00643。在平均意義下，該年齡段中每千個(gè)人中間約有6.43人死亡。由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)三、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式應(yīng)用舉例

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.

”

b個(gè)白球,r個(gè)紅球

隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.

解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)Recall樣本空間的劃分全概率公式與貝葉斯公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因

，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.諸Ai是原因B是結(jié)果例有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式貝葉斯資料證明[證畢]貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.

它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.全概率公式貝葉斯公式若干原因結(jié)果

如果把隨機(jī)事件B

看成是結(jié)果，隨機(jī)事件組A1，…，An

看成可能導(dǎo)致結(jié)果B

發(fā)生的若干原因，

貝葉斯公式在決策理論中有重要應(yīng)用：不斷地根據(jù)新得到的信息來修正原來的觀點(diǎn)。

例

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？

如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066

2.即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.Example甲、乙、丙三囚犯，國王宣布以抽簽決定釋放一位，處決另兩位。他告訴獄卒那一位將被釋放，但要求獄卒不可先透露。甲請(qǐng)獄卒透露那一位被釋放遭拒后，改問獄卒：乙及丙中，那一位會(huì)被處決？獄卒經(jīng)一番思考，遂(誠實(shí)地)告訴甲：乙會(huì)遭處決。他認(rèn)為這樣做并未違反國王規(guī)定：乙、丙二人，至少有一會(huì)遭處決，這是大家都知道的，因此他并未提供甲任何有關(guān)甲會(huì)被釋放的有用信息。甲聽到獄卒說乙會(huì)被處決后很高興。原先他有1/3的機(jī)率遭釋放，現(xiàn)在因只剩他與丙了，所以機(jī)率提高至1/2。獄卒與甲的分析，何者正確？解.令A(yù),B,C分別表甲、乙、丙三人會(huì)被釋放的事件。K表獄卒說乙會(huì)被處決的事件。樣本空間Ω=A∪B∪C。由假設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=1/3。想求P(A|K)。若丙偷聽到獄卒與甲的對(duì)話，則知他會(huì)被釋放的機(jī)率提高至2/3。若乙偷聽到獄卒與甲的對(duì)話，則知他沒有活命機(jī)會(huì)。乙、丙二人中，有一人被釋放之機(jī)率為2/3，若給定乙被處決，則丙便獨(dú)自擁有全部被釋放之機(jī)率2/3。獄卒所提供的信息是否無用？至于甲，被釋放之機(jī)率不會(huì)改變，還是1/3。而三人被釋放之條件機(jī)率和：P(A|K)+P(B|K)+P(C|K)=1/3+0+2/3=1。此例有時(shí)候以不同的型式出現(xiàn)，如汽車與山羊問題(Car-GoatProblem)。在電影斗智21點(diǎn)(21)中曾出現(xiàn)。三羊問題《斗智21點(diǎn)》的一個(gè)場(chǎng)景：參加一個(gè)游戲,有三扇門。一門后有一輛車,另兩門后有羊,主持人讓你隨意挑。當(dāng)你選擇了一扇門后,主持人隨后打開了其余兩扇門中一扇有羊的門。此時(shí)問你是否換到剩下的一扇門？是否換？為什么？概率多少？主人公選擇：換！選擇正確！換的話得到車的概率是2/3.2008年美國總統(tǒng)大選

9月4日，美國共和黨的全國代表大會(huì)上，阿拉斯加州長(zhǎng)佩林(SarahPalin)，被提名為共和黨的副總統(tǒng)候選人。原先共和黨總統(tǒng)候選人麥凱恩(JohnMcCain)的民意支持度，落后民主黨的總統(tǒng)候選人奧巴馬(BarackObama)。提名佩林后，麥凱恩人氣迅速竄升，聲勢(shì)立漲，在幾份民調(diào)中，均勝過奧巴馬。維吉尼亞大學(xué)政治學(xué)者薩巴托(LarrySabato)，根據(jù)1960年以來的分析，指出全代會(huì)后民調(diào)結(jié)果與大選結(jié)果相符者，只有一半：跟丟銅板預(yù)測(cè)差不多Youcouldflipacoinandbeaboutaspredictive.對(duì)共和黨而言，是否全代會(huì)后隨即做的民調(diào)，不論領(lǐng)先或落后，于當(dāng)年11月的總統(tǒng)大選，其提名人當(dāng)選或落選之機(jī)率相同？民調(diào)無用？只需丟銅板？依薩巴托的分析，設(shè)

P(當(dāng)選|領(lǐng)先)=P(落選|領(lǐng)先)=1/2，(*)其中

領(lǐng)先表兩黨已決定正副總統(tǒng)候選人后，對(duì)兩組候選人所立即做的民調(diào)，共和黨領(lǐng)先；當(dāng)選表在當(dāng)年總統(tǒng)大選時(shí)，共和黨獲勝。P(當(dāng)選|落后)=P(落選|落后)？(**)若成立，則全代會(huì)后的民調(diào)領(lǐng)先或落后，共和黨便可不必在意。甚至此民調(diào)根本就是多余的。令P(當(dāng)選|落后)=a,?P(落選|落后)=1-a。由(*)并無法決定a。再令

P(當(dāng)選)=r，P(領(lǐng)先)=s。

?P(當(dāng)選)=P(當(dāng)選|領(lǐng)先)P(領(lǐng)先)+P(當(dāng)選|落后)P(落后)。r=s=1/2?

a=1/2?

(**)成立。r=0.48，s=0.5?

a=0.46<1/2；r=0.52，s=0.6?

a=0.55>1/2。a值乃與r及s有關(guān)！Example小汽車油耗小，但不如大汽車安全.小汽車事故中死亡率為0.128，大汽車事故中死亡率為0.05.某城市小汽車的市場(chǎng)占有率為18%.1.請(qǐng)問該市事故中的死亡率是多少？（假定事故發(fā)生與車型無關(guān)）2.若某次事故中有死亡發(fā)生，請(qǐng)問該事故由小汽車引起的概率是多少？每周一題3 17世紀(jì),法國的ChevaliesDeMere注意到在賭博中一對(duì)骰子拋25次,把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利.但他本人找不出原因.后來請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的法國數(shù)學(xué)家帕斯卡(Pascal)才解決了這一問題.

這問題是如何解決的呢?QuestionThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17April1761inTunbridgeWells,Kent,England概率論理論創(chuàng)立人，如果你使用過Google，你就已經(jīng)從貝葉斯的理論中收益了。

搜索巨人Google和Autonomy(一家出售信息恢復(fù)工具的公司)，都使用了Bayesianprinciples為數(shù)據(jù)搜索提供近似的.研究人員還使用貝葉斯模型來判斷癥狀和疾病之間的相互關(guān)系,開發(fā)能夠根據(jù)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)來決定行動(dòng)的人工智能設(shè)備,創(chuàng)建個(gè)人機(jī)器人.值得一提的是，后來的學(xué)者還依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”.可見貝葉斯公式的影響.ThomasBayes，一位偉大的數(shù)學(xué)大師,1702年出生于倫敦,后來成為了一名Presbyterianminister.和他的同事們不同：他認(rèn)為上帝的存在可以通過方程式證明,雖然他看到了自己的兩篇論文被發(fā)表了,但是《EssayTowardSolvingaProblemintheDoctrineofChances》卻一直到他死后的第三年(1764年)才被發(fā)表.他的理論很有效,照亮了今天的計(jì)算領(lǐng)域,研究者正在把對(duì)這種思想的應(yīng)用從基因研究推廣到filleringemail的研究.

顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.§1.5 事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由